方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 教學(xué)設(shè)計 兩篇

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1、 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 教學(xué)設(shè)計 兩篇 一．內(nèi)容和內(nèi)容解析 本節(jié)內(nèi)容有函數(shù)零點(diǎn)概念、函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理． 函數(shù)零點(diǎn)是研究當(dāng)函數(shù)的值為零時，相應(yīng)的自變量的取值，反映在函數(shù)圖象上，也就是函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)． 由于函數(shù)的值為零亦即，其本身已是方程的形式，因而函數(shù)的零點(diǎn)必然與方程有著不可分割的聯(lián)系，事實上，若方程有解，則函數(shù)存在零點(diǎn)，且方程的根就是相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，也是函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)．順理成章的，方程的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點(diǎn)的問題．這是函數(shù)與方程關(guān)系認(rèn)識的第一步． 零點(diǎn)存在性定理，是函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件．如果

2、函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且滿足f(a)f(b)<0，則函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，但零點(diǎn)的個數(shù)，需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進(jìn)行判斷．定理的逆命題不成立． 方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的研究方法，符合從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律，從特殊的、具體的二次函數(shù)入手，建立二次函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)二次方程的聯(lián)系，然后將其推廣到一般的、抽象的函數(shù)與相應(yīng)方程的情形；零點(diǎn)存在性的研究，也同樣采用了類似的方法，同時還使用了“數(shù)形結(jié)合思想”及“轉(zhuǎn)化與化歸思想”． 方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系研究，不僅為“用二分法求方程的近似解”的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，而且揭示了方程與函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系，這種聯(lián)系正是中學(xué)數(shù)學(xué)

3、重要思想方法——“函數(shù)與方程思想”的理論基礎(chǔ)．可見，函數(shù)零點(diǎn)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中具有核心地位． 本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是，方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理． 二．目標(biāo)和目標(biāo)解析 通過本課教學(xué)，要求學(xué)生：理解并掌握方程的根與相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，學(xué)會將求方程的根的問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的問題；理解零點(diǎn)存在性定理，并能初步確定具體函數(shù)存在零點(diǎn)的區(qū)間． 1．能夠結(jié)合具體方程（如二次方程），說明方程的根、相應(yīng)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)以及相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系； 2．正確理解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：了解圖象連續(xù)不斷的意義及作用；知道定理只是函數(shù)存在零點(diǎn)的一個充分條件；了解函數(shù)零點(diǎn)只能不止一

4、個； 3．能利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)； 4．能順利將一個方程求解問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)零點(diǎn)問題，寫出與方程對應(yīng)的函數(shù)；并會判斷存在零點(diǎn)的區(qū)間（可使用計算器）． 三．教學(xué)問題診斷分析 學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是，初中學(xué)習(xí)過二次函數(shù)圖象和二次方程，并且解過“當(dāng)函數(shù)值為0時，求相應(yīng)自變量的值”的問題，初步認(rèn)識到二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系，對二次函數(shù)圖象與軸是否相交，也有一些直觀的認(rèn)識與體會．在高中階段，已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念與性質(zhì)，掌握了部分基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 教學(xué)的重點(diǎn)是方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系及零點(diǎn)存在性定理的深入理解與應(yīng)用． 以二次方程及相應(yīng)的二次函數(shù)為例，引入函數(shù)零點(diǎn)的概

5、念，說明方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，學(xué)生并不會覺得困難．學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是準(zhǔn)確理解零點(diǎn)存在性定理，并針對具體函數(shù)（或方程），能求出存在零點(diǎn)（或根）的區(qū)間． 教學(xué)過程中，通過引導(dǎo)學(xué)生通過探究，發(fā)現(xiàn)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；而零點(diǎn)存在性定理的教學(xué)，則應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的情況，來研究函數(shù)零點(diǎn)的情況，通過研究：①函數(shù)圖象不連續(xù)；②；③，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)；④，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，等各種情況，加深學(xué)生對零點(diǎn)存在性定理的理解． 四．教學(xué)支持條件分析 本節(jié)教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)，需要借助計算機(jī)或者計算器，一方面是繪制函數(shù)圖象，通過觀察圖象加深方程的根、函數(shù)零點(diǎn)以及同時函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的關(guān)系；另一方面

6、，判斷零點(diǎn)所在區(qū)間過程中，一些函數(shù)值的計算也必須借助計算機(jī)或計算器． 五．教學(xué)過程設(shè)計 1．方程的根與相應(yīng)函數(shù)圖象的關(guān)系 復(fù)習(xí)總結(jié)一元二次方程與相應(yīng)函數(shù)與軸的交點(diǎn)及其坐標(biāo)的關(guān)系： 一元二次方程根的個數(shù) 圖象與軸交點(diǎn)個數(shù) 圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo) 意圖：回顧二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根的關(guān)系，為一般函數(shù)及相應(yīng)方程關(guān)系作準(zhǔn)備． 問題一、上述結(jié)論對其他函數(shù)成立嗎？為什么？ 在《幾何畫板》下展示如下函數(shù)的圖象： 、、、、， 比較函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根的關(guān)系。 函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)，即當(dāng)，該方程有幾個根，的圖象與

7、軸就有幾個交點(diǎn)，且方程的根就是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 意圖：通過各種函數(shù)，將結(jié)論推廣到一般函數(shù)。 2．函數(shù)零點(diǎn)概念 對于函數(shù)，把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)． 說明：函數(shù)零點(diǎn)不是一個點(diǎn)，而是具體的自變量的取值． 3．方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系 方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn) 以上關(guān)系說明：函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，從而有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，同樣，函數(shù)問題有時也可轉(zhuǎn)化為方程問題．這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)． 4．零點(diǎn)存在性定理 問題二、觀察圖象（氣溫變化圖）片段，根據(jù)該圖象片段，將其補(bǔ)充成完整函數(shù)圖象，并問：是否有某時刻的溫度為0℃？為什么？（假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的）

8、 意圖：通過類比得出零點(diǎn)存在性定理． 給出零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).即存在，使得，這個c也就是方程的根. 問題三、不是連續(xù)函數(shù)結(jié)論還成立嗎？請舉例說明。 在《幾何畫板》下結(jié)合函數(shù)的圖象說明。 問題四、若，函數(shù)在區(qū)間在上一定沒有零點(diǎn)嗎？ 問題五、若，函數(shù)在區(qū)間在上只有一個零點(diǎn)嗎？可能有幾個？ 問題六、時，增加什么條件可確定函數(shù)在區(qū)間在上只有一個零點(diǎn)？ 在《幾何畫板》下結(jié)合函數(shù)的圖象說明問題四、五、六。 意圖：通過四個問題使學(xué)生準(zhǔn)確理解零點(diǎn)存在性定理． 5．例題：求函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)． 問題七、能否確定一個區(qū)間，

9、使函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)． 問題八、該函數(shù)有幾個零點(diǎn)？為什么？ 意圖：通過例題分析，學(xué)會用零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)存在區(qū)間，并且結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，判斷零點(diǎn)個數(shù)的方法． 六．目標(biāo)檢測設(shè)計 1.已知函數(shù)f (x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表，則函數(shù)在哪幾個區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)？為什么？ x 1 2 3 4 6 10 f (x) 20 -5.5 -2 6 18 -3 2.函數(shù)在區(qū)間[-5，6]上是否存在零點(diǎn)？若存在，有幾個？ 3.利用函數(shù)圖象判斷下列方程有幾個根 （1） （2） 4．指出下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間 （1） （2） 最后，師生共同小結(jié)（略

10、） 思考題：函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，如何求出這個零點(diǎn)？設(shè)計意圖：為下一節(jié)“二分法”的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備． “方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)設(shè)計2 一、教學(xué)內(nèi)容解析 本節(jié)課的主要內(nèi)容有函數(shù)零點(diǎn)的的概念、函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理。 函數(shù)f(x)的零點(diǎn),是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要概念,從函數(shù)值與自變量對應(yīng)的角度看,就是使函數(shù)值為0的實數(shù)x;從方程的角度看,即為相應(yīng)方程f（x）=0的實數(shù)根，從函數(shù)的圖形表示看,函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個鏈結(jié)點(diǎn),它從不同的角度,將數(shù)與形,函

11、數(shù)與方程有機(jī)的聯(lián)系在一起。 函數(shù)零點(diǎn)的存在性判定定理，其目的就是通過找函數(shù)的零點(diǎn)來研究方程的根，進(jìn)一步突出函數(shù)思想的應(yīng)用，也為二分法求方程的近似解作好知識上和思想上的準(zhǔn)備。定理不需證明，關(guān)鍵在于讓學(xué)生通過感知體驗并加以確認(rèn)，由些需要結(jié)合具體的實例，加強(qiáng)對定理進(jìn)行全面的認(rèn)識，比如定理應(yīng)用的局限性，即定理的前提是函數(shù)的圖象必須是連續(xù)的，定理只能判定函數(shù)的“變號”零點(diǎn)；定理結(jié)論中零點(diǎn)存在但不一定唯一，需要結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)作進(jìn)一步的判斷。 對函數(shù)與方程的關(guān)系有一個逐步認(rèn)識的過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進(jìn)的原則．從學(xué)生認(rèn)為較簡單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方

12、程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形。 函數(shù)與方程相比較,一個“動”，一個“靜”；一個“整體”，一個“局部”。用函數(shù)的觀點(diǎn)研究方程，本質(zhì)上就是將局部的問題放在整體中研究，將靜態(tài)的結(jié)果放在動態(tài)的過程中研究，這為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)與不等式等其它知識的聯(lián)系奠定了堅實的基礎(chǔ)。 本節(jié)是函數(shù)應(yīng)用的第一課，因此教學(xué)時應(yīng)當(dāng)站在函數(shù)應(yīng)用的高度，從函數(shù)與其他知識的聯(lián)系的角度來引入較為適宜。 二、教學(xué)目標(biāo)解析 1．結(jié)合具體的問題，并從特殊推廣到一般，使學(xué)生領(lǐng)會函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系。 2．結(jié)合函數(shù)圖象，通過觀察分析特殊函數(shù)的零點(diǎn)存

13、在的特點(diǎn)，通過問題，理解連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法，并能由此方法判定函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點(diǎn)。了解定理應(yīng)用的前提條件，應(yīng)用的局限性，及定理的準(zhǔn)確結(jié)論。 3．通過具體實例，學(xué)生能結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)一步判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)。 4．在學(xué)習(xí)過程中，體驗函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想。 三、教學(xué)問題診斷分析 1．通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)了解一些基本初等函數(shù)的模型，掌握了函數(shù)圖象的一般畫法，及一定的看圖識圖能力,這為本節(jié)課利用函數(shù)圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎(chǔ)。對于函數(shù)零點(diǎn)的概念本質(zhì)的理解，學(xué)生缺乏的是函數(shù)的觀點(diǎn)，或是函數(shù)應(yīng)用的意識，造成對函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏了解。由

14、此作為函數(shù)應(yīng)用的第一課時，有必要點(diǎn)明函數(shù)的核心地位，即說明函數(shù)與其他知識的聯(lián)系及其在生活中的應(yīng)用，初步樹立起函數(shù)應(yīng)用的意識。并從此出發(fā)，通過問題的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生思考，再通過實例的確認(rèn)與體驗，從直觀到抽象，從特殊到一般的學(xué)習(xí)方式，捅破學(xué)生認(rèn)識上的這層“窗戶紙”。 2．對于零點(diǎn)存在的判定定理，教材不要求給予其證明，這需要教師提供一定量的具體案例讓學(xué)生操作感知，同時鼓勵學(xué)生舉例來驗證，最終能自主地獲得并確認(rèn)該定理的結(jié)論。對于定理的條件和結(jié)論，學(xué)生往往考慮不夠深入，需要教師通過具體的問題，引導(dǎo)學(xué)生從正面、反面、側(cè)面等不同的角度重新進(jìn)行審視。 3．函數(shù)的零點(diǎn)，體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的密切聯(lián)系，教學(xué)中應(yīng)

15、遵循高中數(shù)學(xué)以函數(shù)為主線的這一原則進(jìn)行聯(lián)結(jié)，側(cè)重在從函數(shù)的角度看方程，同時為二分法求方程的近似解作知識和思想上的準(zhǔn)備。 四、教學(xué)過程設(shè)計 (一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，它不僅在生活中有著大量的應(yīng)用，與其他數(shù)學(xué)知識有著千絲萬縷的聯(lián)系，若能抓住這一聯(lián)系，你就擁有了一把解決問題的金鑰匙。 案例1：周長為定值的矩形 不妨取l=12 問題1：求其面積的值： ， 顯然面積是一個關(guān)于x的一個二次多項式， 用幾何畫板演示矩形的變化： 問題2：求矩形面積的最大值？ 當(dāng)x取不同值時，代數(shù)式的值也相應(yīng)隨之變化，你能從函數(shù)的角度審視其中的關(guān)系嗎？ 問題3：能否使得矩

16、形的面積為8？你是如何分析的？ （1）實驗演示的角度進(jìn)行估計，拖動時難以恰好出現(xiàn)面積為8的情況； （2）解方程：x（6-x）=8 （3）方程x（6-x）=8能否從函數(shù)的角度來進(jìn)行描述？ 問題4： 一般地，對于一般的二次三項式，二次方程與二次函數(shù)，它們之間有何聯(lián)系？ 結(jié)論： 代數(shù)式的值就是相應(yīng)的函數(shù)值； 方程的根就是使相應(yīng)函數(shù)值為0的x的值。 更一般地 方程f（x）=0的根，就是使函數(shù)值y=f（x）的函數(shù)值為0的x值，從函數(shù)的角度我們稱之為零點(diǎn)。 設(shè)計意圖:本節(jié)課是函數(shù)應(yīng)用的第一課，有必要讓學(xué)生對函數(shù)的應(yīng)用有所了解。從具體的問題出發(fā),揭示函數(shù)與代數(shù)式、方程之間的內(nèi)在

17、聯(lián)系，并從學(xué)生所熟悉的具體的二次函數(shù)，推廣到一般的二次函數(shù)，再進(jìn)一步推廣到一般的函數(shù)。 （二） 互動交流 研討新知 1．函數(shù)零點(diǎn)的概念： 對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)． 2．對零點(diǎn)概念的理解 案例2：觀察圖象 問題1：此圖象是否能表示函數(shù)？ 問題2：你能從中分析函數(shù)有哪些零點(diǎn)嗎？ 問題3：從函數(shù)圖象的角度，你能對函數(shù)的零點(diǎn)換一種說法嗎？ 結(jié)論：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即： 方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)． 設(shè)計意圖：進(jìn)一步掌握函數(shù)的核心概念，同時通過圖象進(jìn)行一步完善對函數(shù)零點(diǎn)的全面理解，為下面借助圖象探究零點(diǎn)存在

18、性定理作好一定的鋪墊。 2.零點(diǎn)存在定理的探究 案例3：下表是三次函數(shù)的部分對應(yīng)值表： 問題1：你能從表中找出函數(shù)的零點(diǎn)嗎？ 問題2：結(jié)合圖象與表格，你能發(fā)現(xiàn)此函數(shù)零點(diǎn)的附近函數(shù)值有何特點(diǎn)？ 生：兩邊的函數(shù)值異號！ 問題3：如果一個函數(shù)f（x）滿足f（a）f（b）<0,在區(qū)間(a,b)上是否一定存在著函數(shù)的零點(diǎn)? 注意:函數(shù)在區(qū)間上必須是連續(xù)的(圖象能一筆畫),從而引出零點(diǎn)存在性定理. 問題4: 有位同學(xué)畫了一個圖,認(rèn)為定理不一定成立,你的看法呢? 問題5:你能改變定理的條件或結(jié)論,得到一些新的命題嗎? 如1:加強(qiáng)定理的結(jié)論:若在區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)f（x）滿

19、足f(a)f(b)<0,是否意味著函數(shù)f(x)在[a,b]上恰有一個零點(diǎn)? 如2.將定理反過來:若連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上有一個零點(diǎn),是否一定有f(a)f(b)<0? 如3:一般化:一個函數(shù)的零點(diǎn)是否都可由上述的定理進(jìn)行判斷?(反例:同號零點(diǎn),如案例2中的零點(diǎn)-2) 設(shè)計意圖：通過表格，是為了進(jìn)一步鞏固對函數(shù)這一概念的全面認(rèn)識，并為觀察零點(diǎn)存在性定理中函數(shù)值的異號埋下伏筆。通過教師的設(shè)問讓學(xué)生進(jìn)一步全面深入地領(lǐng)悟定理的內(nèi)容，而鼓勵學(xué)生提問，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動性和創(chuàng)造能力必要的過程。 （三）鞏固深化，發(fā)展思維 例1、求函數(shù)f(x)=㏑x＋2x －6的零點(diǎn)個數(shù)。 設(shè)計問題： （1）你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點(diǎn)？ （2）你是如何來確定零點(diǎn)所在的區(qū)間的？請各自選擇。 （3）零點(diǎn)是唯一的嗎？為什么？ 設(shè)計意圖：對所學(xué)內(nèi)容鞏固，可以借助<幾何畫板>畫出函數(shù)f(x)的圖象觀察,也可借助列出函數(shù)值表觀察。 本題可以使學(xué)生意識對零點(diǎn)的區(qū)間是不唯一的，為下一節(jié)二分法求方程的近似解奠定基礎(chǔ)。 讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟，零點(diǎn)的唯一性需要借助函數(shù)的單調(diào)性。 （四）歸納整理，整體認(rèn)識 請回顧本節(jié)課所學(xué)知識內(nèi)容有哪些？ 所涉及到的主要數(shù)學(xué)思想又有哪些？ 你還獲得了什么？ 　(五)作業(yè)（略）