山東省棗莊市嶧城區(qū)吳林街道中學八年級數(shù)學下冊 42 黃金分割教案 北師大版

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1、 4.2黃金分割教案 教學目標： 1.知道黃金分割的定義. 2.會找一條線段的黃金分割點. 3.會判斷某一點是否為一條線段的黃金分割點. 教學重點與難點： 重點：了解黃金分割的意義，并能運用. 難點：找黃金分割點和畫黃金矩形. 教法與學法指導： 教法：貫徹“自主參與、自主探究、合作交流、自主構(gòu)建”的教育理念，采用探究性課堂教學開放模式，讓學生在自主、合作、探究的濃厚氛圍中掌握知識、形成技能、培養(yǎng)情感，充分體現(xiàn)科學性與人文性的統(tǒng)一. 學法：自主探究與小組合作相結(jié)合 課前準備：多媒體課件． 教學過程： 一、 創(chuàng)設情境，自然引入 同學們認識圖片中的人嗎？ 對了，這

2、就是大師達?芬奇的名作——《蒙娜麗莎》 大家看到這幅畫有什么感覺呢？ 是不是覺得很美，為什么500年來，大家對她的微笑一直迷戀不已呢？ 在這節(jié)課中，就讓我們?nèi)ヌ剿鬟@個秘密！ 設計意圖：從學生熟悉的現(xiàn)實生活出發(fā)，喚醒學生對美的感受，營造一個感受美、關(guān)注美、探究美的氛圍，搭建一個自主體驗、合作探究、自主構(gòu)建的認知平臺，提高了學生的學習興趣，同時也讓學生體會到數(shù)學來源于生活，服務于生活的道理． 二、交流討論 探索新知 師：我們曾無數(shù)次的參加過升旗儀式，不知你可曾留意紅旗上的五角星，它有什么特點呢？ 生：…… 師：下面我們就來研究這個問題 師：上圖是一個五角星圖案，我們不妨在

3、圖上找出三個點A、B、C，在五角星圖案中，大家用刻度尺分別度量線段AC、BC的長度，然后計算、,它們的值相等嗎？ （學生動手測量并計算） 師：所以我們把這種關(guān)系抽象到線段上來，就是我們所要討論的黃金分割的定義 那么哪位同學能嘗試著概括出來呢？ （學生嘗試總結(jié)互相補充） 師：非常好，概括的很準確，好，現(xiàn)在讓我們共同看一下黃金分割的定義： 1.黃金分割的定義 在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果,那么稱線段AB被點C黃金分割（golden section）,點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.其中≈0.618. 讓我們回到本節(jié)課開始時的問題

4、 這是縮略圖中蒙娜麗莎五官的比例，讓我們計算一下 （學生分組測量并計算比值） 師：現(xiàn)在我們知道為什么她的微笑這么動人了！ 還有哪位同學能舉出你所知道的黃金分割的應用呢？ 黃金分割在幾何作圖上有很多應用，如五角星形的各邊是按黃金分割劃分的，其中點C就是線段AB的一個黃金分割點.作圓的內(nèi)接正十邊形也能歸結(jié)為黃金分割. 黃金分割也被廣泛用在建筑設計、美術(shù)、音樂、藝術(shù)等方面.如在設計工藝品或日用品的寬和長時，常設計成寬與長的比近似為0.618,這樣易引起美感；在拍照時，常把主要景物攝在接近于畫面的黃金分割點處，會顯得更加協(xié)調(diào)、悅目；舞臺上報幕員報幕時總是站在近于舞臺的黃金分割點處，這樣

5、音響效果就比較好，而且顯得自然大方，等等. 黃金分割在工廠里也有著普遍的應用.如“優(yōu)選法”中常用的“0.618法”就是黃金分割的一種應用. 設計意圖：通過學生親自動手操作、計算，親自經(jīng)歷知識的形成過程，自己發(fā)現(xiàn)AC/AB=BC/AC，閱讀課本形成概念，培養(yǎng)學生綜合運用線段比的能力和探究的能力，同時養(yǎng)成良好的讀書習慣. 師：既然黃金分割的實用價值這么大，我們就必須把它學好，還要用好，下面我們來學習如何找一條線段的黃金分割點. 2.作一條線段的黃金分割點. 如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖： （1）經(jīng)過點B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）連接AD，在DA上截取DE=DB.

6、 （3）在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點. 師：你知道為什么嗎？ 若點C為線段AB的黃金分割點，則點C分線段AB所成的線AC、BC間須滿足.下面請大家進行驗證.自己有困難時可以互相交流.為了計算方便，可設AB=1. 證明：∵AB=1,AC=x,BD=AB= ∴AD=x+ 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 （x+）2=12+（）2 ∴x2+x+=1+ ∴x2=1－x ∴x2=1（1－x） ∴AC2=ABBC 即： 即點C是線段AB的一個黃金分割點， 在x2=1－x中 整理，得x2+x－1=0 ∴x= ∵AC為線段長，只能取正 ∴AC=≈0.

7、618 ∴≈0.618 ∴黃金比約為0.618. 設計意圖：引導學生探究黃金分割的多種作法，從一般到特殊給予推理驗證，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力.使知識與技能螺旋式上升，并增強合作交流意識，讓學生在合作交流中體驗成功與快樂. 3.想一想 古希臘時期的巴臺農(nóng)神廟（Parthenom Temple）.把它的正面放在一個矩形ABCD中，以矩形ABCD的寬AD為邊在其內(nèi)部作正方形AEFD，那么我們可以驚奇地發(fā)現(xiàn)，,點E是AB的黃金分割點嗎？矩形ABCD的寬與長的比是黃金比嗎？ 師：請大家互相交流. 生：因為四邊形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因為,所以,即,因此點E是AB的黃

8、金分割點，矩形ABCD寬與長的比是黃金比. 師：在上面這個矩形中，寬與長的比是黃金比，這個矩形叫做黃金矩形.你學會作了嗎？ 設計意圖：學生自己發(fā)現(xiàn)巴臺農(nóng)神廟的輪廓為黃金矩形，體會黃金分割的文化價值. 三、學以致用，知識反饋 1、若線段AB＝4cm，點C是線段AB的一個黃金分割點，則AC的長為多少？ A B C 圖2 A B C 圖1 解：如圖1，若AC是BC與AB的比例中項：則AC≈0.6184cm=2.472 cm； 如圖2，若BC是AC與AB的比例中項：則BC≈0.6184cm=2.472 cm； ∴AC≈1.528 cm 2、科學研究表明，

9、當人的下肢與身高比為0.618時，看起來最美，某成年女士身高為153cm，下肢長為92cm，該女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度約為 cm（精確到0.1cm）； 解：設該女士穿的高跟鞋鞋跟的高度為xcm， 根據(jù)黃金分割的概念知：92 + x≈0.618（153 + x），解得：x≈6.7 3、如圖的五角星中，AD=BC，且C、D兩點都是AB的黃金分割點，AB=1，求CD的長； 解：∵點C、D是AB的黃金分割點， ∴AC=BD≈0.618AB=0.618， ∴BC≈1—0.618=0.382 ∴CD≈0.618—0.382=0.236 答: CD的長約為0.236

10、設計意圖：通過學生反復的練習及時發(fā)現(xiàn)問題并及時予以糾正，并在此基礎(chǔ)上初步讓學生體會因式分解的應用. 四、課堂小結(jié)，反思提高 師：緊張而愉快的一節(jié)課過去了，相信每個同學都有所收獲.下面讓我們一起說說本節(jié)課的收獲以及還存在的疑惑吧！ 我發(fā)現(xiàn)了生活中...... 我學會了...... 使我感到最困難的是...... 我想進一步研究的是...... 設計意圖：充分交流學習心得，可以從知識與技能，過程與方法，情感態(tài)度價值觀等方面進行，有利于學生總結(jié)概括所學的知識，形成完整的知識體系，有利于學生相互學習，共同提高，使學生明確自身的優(yōu)點與不足，便于今后揚長避短. 五、達標檢測，反饋矯正 1

11、、據(jù)有關(guān)實驗測定，當氣溫處于人體正常體溫（37oC）的黃金比值時,人體感到最舒適.這個氣溫約為_______ oC (精確到1 oC). 2、電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體，若舞臺AB長為20米，試計算主持人應走到離A點至少多少米處是比較得體的位置？ 設計意圖：通過檢測糾錯，有針對性的對所學知識進行鞏固、落實，對學生存在的問題及時有效的進行反饋，讓老師及時、準確的掌握學生的課堂學習效果，為下一節(jié)課的學習做好準備． 六、布置作業(yè)，課后促學 必做題：課本 第113頁 習題4.3 第1題. 選做題：課本 第113頁 習題4.3 第3、4題. 板書

12、設計： 4.2 黃金分割 引入 黃金分割 2.作一條線段的黃金分割點 黃金矩形 學生板演區(qū) 教學反思： 八年級的學生對事物的感性認識豐富，正在向抽象思維轉(zhuǎn)型，本節(jié)課讓學生在豐富的實際情境中認識黃金分割并應用黃金分割解決生活中的問題，促使學生從感性向理性發(fā)展，從形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)型.八年級的學生已具備了一定的學習能力，所以本節(jié)課為學生創(chuàng)造了自己讀書、自己計算、自己探索、合作交流等機會，促使學生在自主合作的探究中學會如何學習.八年級的學生尚未學習一元二次方程，所以對于黃金比，只要接受事實即可.而對于黃金分割的作圖，可以使用三角板和刻度尺，因為他們所學的尺規(guī)作圖有限，估計接受作圖時有困難，所以本節(jié)課的難點是黃金分割的作圖. 不足之處：有些學生只顧看熱鬧了，知識掌握不到位，在應用時有些學生較混亂，小組不能兼顧，只能在課下抽點時間輔導了. 6