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1、第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限
教學(xué)目的：掌握兩個極限的存在準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。
教學(xué)重點(diǎn)：利用兩個重要極限求極限
教學(xué)難點(diǎn)：利用第二重要極限求極限的方法
教學(xué)過程：
準(zhǔn)則I 如果數(shù)列、及滿足下列條件:
(1),
(2) ,
那么數(shù)列的極限存在，且
準(zhǔn)則I 如果函數(shù)、及滿足下列條件:
(1),
(2),
那么存在, 且．
注：在上面的定理中，記號“”下面沒有標(biāo)明自變量的變化過程。實(shí)際上，定理對及都是成立的。
準(zhǔn)則I及準(zhǔn)則I稱為夾逼準(zhǔn)則（或迫斂性準(zhǔn)則）。
第一個重要極限
．
證 如圖,設(shè)圓心角,
D
2、
B
1
O
C
A
x
因?yàn)? △AOB的面積<圓扇形AOB的面積<△AOD的面積，
所以
即
由偶函數(shù)性質(zhì)，時也成立。
又
由準(zhǔn)則I，即得
例1 求
解
例2 求
解
例3 求
解 令,則,當(dāng)時,有.于是由復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則得
例4 求
解 令t=1/x.當(dāng)x→+∞時，t→0.
例5 求
解 令,則.當(dāng)x→0時，t→0.
例6 求
解 ?。?
準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.
準(zhǔn)則II的幾何解釋:
以單調(diào)增加數(shù)列為例, 數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個方向移動
3、, 或者無限向右移動, 或者無限趨近于某一定點(diǎn), 而對有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生．
準(zhǔn)則II 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個左鄰域內(nèi)單調(diào)并且有界，則在的左極限
必定存在。
注：如果，就稱數(shù)列是單調(diào)增加的；如果，就稱數(shù)列是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列．
第二個重要極限
或
其中e是個無理數(shù), 它的值是
.
變形形式：
例7 求
解 令.當(dāng)時, .
例8 求
解 令，則.當(dāng)時,.
小結(jié)與思考：
本節(jié)講述了兩個極限的收斂準(zhǔn)則，兩個重要極限及利用兩個重要極限求限的方法．
1．求；
解：原極限=．
2．設(shè)有個正數(shù)，令，
求（“大數(shù)優(yōu)先”準(zhǔn)則）．
解：
而，所以由夾逼準(zhǔn)則：
作業(yè)：作業(yè)見作業(yè)卡
第6節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限
