5.第22課時(shí) 矩形、菱形、正方形

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1、第22課時(shí) 矩形、菱形、正方形 第七章 圖形的變化 考點(diǎn)特訓(xùn)營(yíng) 考點(diǎn)精講 矩形、菱形、正方形 矩形 菱形 正方形 四邊形之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系 中間四邊形 邊:矩形的對(duì)邊平行且相等 ABCD,ADBC ABCD,AD_ 角:四個(gè)角都是直角:ABCBCDCDA DAB90 對(duì)角線:矩形的對(duì)角線相等且互相平分:ACBD, OAOC,OBOD 對(duì)稱性:既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形, 有_條對(duì)稱軸 性質(zhì) BC 2 有一個(gè)角是_的平行四邊形是矩形 判定 有三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形 對(duì)角線_的四邊形是矩形 面積:S=_(a、b分別表示長(zhǎng)和寬) 直角 互相平分且相等 ab 邊 菱形的四條邊都相等:AB=BC

2、=CD=DA 對(duì)邊平行:ABCD,ADBC 性質(zhì) 角:對(duì)角相等DAB=DCB,ADC=ABC 對(duì)角線 對(duì)稱性 判定 面積 菱形的對(duì)角線互相垂直且_ ACBD AOCO,DOBO 對(duì)角線平分一組對(duì)角 AC平分DAB與_ BD平分ABC與ADC 對(duì)稱性:既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形,有_ 條對(duì)稱軸 平分 DCB 2 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 平行四邊形ABCD _ 四邊形ABCD是菱形 四條邊都相等的四邊形是菱形 四邊形ABCD ABBCCDAD 四邊形ABCD是菱形 面積:S_(m、n分別表示兩條對(duì)角線的長(zhǎng)) ACBD 12mn 邊 四條邊都相等:A

3、B=BC=CD=DA 對(duì)邊平行:ABCD,ADBC 性質(zhì) 角:四個(gè)角都是直角: ABC=BCD=CDA=DAB=90 對(duì)角線 對(duì)稱性 判定 面積 ACBD 對(duì)角線互相_且相等 AO=CO,DO=BO AC=BD 對(duì)角線平分一組對(duì)角 DAC=BAC=_,DCA=BCA=45 ADB=CDB=_,ABD=CBD=45 對(duì)稱性:既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形,有4條對(duì)稱軸 垂直平分 45 45 有一個(gè)角是_的菱形是正方形 有一組鄰邊_的矩形是正方形 有一組鄰邊_,并且有一個(gè)角是_的平行四邊形是正方形 對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形: 矩形ABCD _ 四邊形ABCD是正方形 直角(或90) 相等 相

4、等 直角(或90) ACBD 對(duì)角線相等的菱形是正方形: 菱形ABCD AC=BD 四邊形ABCD是正方形 對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形: ACBD AO=CO,DO=BO 四邊形ABCD是正方形 AC=BD 面積:S_ (a表示正方形邊長(zhǎng)) a2 相等 直角 直角 相等 中點(diǎn)四邊形:平行四邊形的中點(diǎn)四邊形為平行四邊形;矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形;菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形;正方形的 中點(diǎn)四邊形是正方形. 重難點(diǎn)突破 一 與矩形有關(guān)的證明及計(jì)算(重點(diǎn)) 例1如圖,在四邊形ABCD中,ADBC,ABC=ADC=90,對(duì)角線AC,BD 交于點(diǎn)O,DE平分ADC交BC于點(diǎn)E,連接OE (1)求證

5、:四邊形ABCD是矩形; 【思維教練】可利用三個(gè)角是直角的四邊形是矩形來證明; 自主作答: 例1題圖 (1)證明:ADBC, ABCBAD180, ABC90, BAD90, BADABCADC90, 四邊形ABCD是矩形; (2)若AB=2,求OEC的面積 【思維教練】作OFBC于F求出EC、OF的長(zhǎng),然后利用三角形的面積公式求解即可. 自主作答: (2)解:如解圖,作OFBC于點(diǎn)F. 四邊形ABCD是矩形, CDAB2,BCD90, ACBD, AOBOCODO, BFFC, OF CD1, DE平分ADC,ADC90, EDC45,在RtEDC中,ECCD2, OEC的面積 EC OF1

6、. 例1題解圖 1212滿 分 技 法 對(duì)于以矩形為背景的相關(guān)計(jì)算,要掌握以下內(nèi)容: 1.矩形的四個(gè)角都是直角,一條對(duì)角線將矩形分成兩個(gè)直角三角形,用勾股定理或三角函數(shù)求線段的長(zhǎng); 2.矩形對(duì)角線相等且互相平分,故可借助對(duì)角線的關(guān)系得到全等三角形; 3.矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè)等腰三角形; 4.當(dāng)已知條件中有一個(gè)角為30時(shí),應(yīng)聯(lián)想到“在直角三角形中,30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”這一性質(zhì). 練習(xí)1如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn),若AB=6,BC=8,則AEF的周長(zhǎng)為( ) A.6 B.8 C.9 D.10 練習(xí)1題圖 C 【解析】四邊

7、形ABCD是矩形,ADBC8,BAD90,OBODOAOC,在RtBAD中, BD 10, ODOAOB5,E、F分別是AO,AD的中點(diǎn),EF OD ,AE ,AF4,AEF周長(zhǎng)為9. 2222= 68A BA D125252練習(xí)2如圖,在矩形ABCD中,已知AB=6,BC=8連接AC,BD,CE平分ACD交BD于點(diǎn)E,則DE=_. 練習(xí)2題圖 3011【解析】如解圖,過點(diǎn)D作DFAC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O,CE平分ACD,ACEDCEDFE, DFCDAB6,AB6,BC8, ACBD 10, ODOC5, DFAC, DEFOEC, , 且OEODDE5DE, , 解

8、得DE . 301122A B B C =DEDFOEOC6=55DEDE 練習(xí)2題解圖 二 與菱形有關(guān)的證明及計(jì)算(重點(diǎn)) 例2在RtABC中,BAC=90,D是BC中點(diǎn),E是AD中點(diǎn),過A作AFBC,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF. (1)求證:AEFDEB; 自主作答: 例2題圖 (1)證明:AFBC, AFEDBE, E是AD的中點(diǎn), AEDE, 在AEF和DEB中, AEFDEB(AAS); =FEABEDAFEDBEAEDE (2)求證:四邊形ADCF是菱形; 【思維教練】利用(1)中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AF=BD結(jié)合已知條件,利用“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”

9、得到四邊形ADCF是平行四邊形,要證四邊形ADCF為菱形,還需證得一組鄰邊相等,由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到BD=AD=DC,從而得出結(jié)論 自主作答: (2)證明:由(1)知,AFEDBE, AFDB. AD是BC邊上的中線, DBDC, AFCD.AFBC, 四邊形ADCF是平行四邊形, BAC90,D是BC的中點(diǎn), ADDC BC, 四邊形ADCF是菱形; 12(3)若AB=5,AC=4,求菱形ADCF的面積 【思維教練】由三角形中線的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得出SABD =SACD =SACF,得出S 菱形ADCF =S RtABC= AB AC,即可得出答案 自主作答: 12解

10、:D是BC的中點(diǎn),四邊形ADCF是菱形, SABDSACDSACF, S菱形ADCFS RtABC AB AC 5410. 1212滿 分 技 法 與菱形有關(guān)的計(jì)算,一般有以下三種設(shè)問:求角度;求長(zhǎng)度(線段長(zhǎng)或者周長(zhǎng));求面積. 1.求角度時(shí),應(yīng)注意菱形的四條邊相等和對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)等,可利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的相關(guān)性質(zhì),轉(zhuǎn)化要求的角,直到找到與已知的角存在的關(guān)系; 2.求長(zhǎng)度(線段長(zhǎng)或者周長(zhǎng))時(shí),應(yīng)注意使用等腰三角形的性質(zhì);若菱形中存在一個(gè)頂角為60,則連接120頂角所對(duì)的頂點(diǎn)的對(duì)角線所分割的兩個(gè)三角形為等邊三角形,在計(jì)算時(shí)可借助等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解;連接對(duì)角線構(gòu)成直角三角形,則

11、應(yīng)注意使用勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、含特殊角的直角三角形等進(jìn)行求解; 3.求面積時(shí),可直接利用S=底高來求解,也可利用菱形的兩條對(duì)角線互相垂直,其面積等于對(duì)角線之積的一半來進(jìn)行求解. 練習(xí)3如圖,在菱形ABCD中,AEBC于點(diǎn)E,AFCD于點(diǎn)F,且E、F分別為BC、CD的中點(diǎn),則EAF等于( ) A 75 B 45 C 60 D 30 練習(xí)3題圖 C 【解析】如解圖,連接AC, AEBC,AFCD,且E、F分別為BC、CD的中點(diǎn), ABAC,ADAC,四邊形ABCD是菱形,ABBCCDAD,ABBCAC,ACCDAD,BD60,BAEDAF30,BAD180B120, E

12、AFBADBAEDAF60. 故選C. 練習(xí)3題解圖 練習(xí)4如圖,在菱形ABCD中,BAD=120,點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上,BEF與GEF關(guān)于直線EF對(duì)稱,點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是G,且點(diǎn)G在邊AD上,若EGAC,AB=2,則FG的長(zhǎng)為. 練習(xí)4題圖 【解析】四邊形ABCD是菱形,BAD120,ABBCCDAD,CABCAD60, ABC,ACD是等邊三角形, EGAC,AEGAGE30,BEGF60, AGF90,即FGAD,又BCAD,F(xiàn)GBC, 2 SABCBC FG,2 222 FG,F(xiàn)G . 343三與正方形有關(guān)的證明及計(jì)算(重點(diǎn)) 例3如圖,已知正方形ABCD,P是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)

13、,E為AD上的點(diǎn),且EPB=90,作PMAD,PNAB,垂足分別為M、N (1)求證:四邊形PMAN是正方形; 【思維教練】要證四邊形PMAN為正方形,由已知可得NAM=90,AMP=ANP=90,可得四邊形PMAN為矩形;AC平分BAD,則可得PM=PN,可證得四邊形PMAN是正方形. 自主作答: 例3題圖 證明: (1)四邊形ABCD是正方形, BAD90,AC平分BAD, PMAD,PNAB, PMPN,PMAPNA90, 四邊形PMAN是矩形, PMPN, 四邊形PMAN是正方形; (2)求證:EM=BN 【思維教練】由四邊形PMAN是正方形,易證得EPMBPN,即可證得:EM=BN.

14、 自主作答: (2)四邊形PMAN是正方形, PMPN,MPN90, EPB90, MPEEPNNPBEPN90, MPENPB, 在EPM和BPN中, PMAPNB90,PMPN,MPENPB, EPMBPN(ASA), EMBN. 滿 分 技 法 對(duì)于正方形性質(zhì)的有關(guān)計(jì)算問題,應(yīng)注意合理運(yùn)用其性質(zhì)及由性質(zhì)得到的一些結(jié)論: 1.四邊相等,四角相等且均為90; 2.對(duì)角線垂直平分且相等; 3.對(duì)角線平分一組對(duì)角得到45角; 4.邊長(zhǎng)與對(duì)角線的長(zhǎng)度比為12. 練習(xí)5如圖,E為邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線上一點(diǎn),BE=BC,P為CE上任意一點(diǎn),PQBC于點(diǎn)Q,PRBE于點(diǎn)R,則PQ+PR的值為

15、( ) A. B. C. D. 練習(xí)5題圖 2212322D 【解析】如解圖,連接BP,設(shè)點(diǎn)C到BE的距離為h,則SBCESBCPSBEP,即 BE h BC PQ BE PR, BEBC,hPQPR, 即h AC BD 2 . 練習(xí)5題解圖 22121212121212練習(xí)6ABC是邊長(zhǎng)為18的正三角形,點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上,且BD=BE當(dāng)四邊形DEFG是邊長(zhǎng)為6的正方形時(shí),點(diǎn)F到AC的距離為_. 練習(xí)6題圖 6 3 - 6【解析】如解圖,作BLAC于點(diǎn)L交DE于點(diǎn)H,交FG于點(diǎn)K,ABC是等邊三角形,ACBCAB18,C60,BLBC sin60 ,BEBD,BED是等邊三角形,BEBDDE6,BHEB sin60 HKEF6,BK 6,KLBLBK ( 6) ,BEDC60,DEAC,DEFG,F(xiàn)GAC,點(diǎn)F到AC的距離為 . 6 3 - 693333393336 3 - 6練習(xí)6題解圖

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