2019年高中數(shù)學 2.3 變量間的相關關系學案 新人教A版必修3.doc

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2019年高中數(shù)學 2.3 變量間的相關關系學案 新人教A版必修3 【明目標、知重點】 1．理解兩個變量的相關關系的概念． 2．會作散點圖，并利用散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關關系． 3．會求回歸直線的方程． 【填要點、記疑點】 1．兩個變量的線性相關 (1)散點圖：將樣本中n個數(shù)據(jù)點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐標系中得到的圖形． (2)正相關與負相關： ①正相關：散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域． ②負相關：散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域． 2．回歸直線的方程 (1)回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線． (2)回歸方程：回歸直線對應的方程叫做回歸直線的方程，簡稱回歸方程． (3)回歸方程＝x＋，其中是回歸方程的斜率，是截距． 3．最小二乘法 通過求Q＝(yi－bxi－a)2的最小值而得出回歸直線的方法，即求出的回歸直線使樣本數(shù)據(jù)中的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 【探要點、究所然】 [情境導學]　在學校里，老師對學生經(jīng)常這樣說：“如果你的數(shù)學成績好，那么你的物理學習就不會有什么大問題．”按照這種說法，似乎學生的物理成績與數(shù)學成績之間存在著某種關系，顯然，這種關系不能用我們熟悉的函數(shù)關系來描述，那么這究竟是一種什么關系？下面我們共同來研究. 探究點一　變量之間的相關關系 思考1　當一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被唯一確定，則這兩個變量之間是怎樣的關系？考察下列問題中兩個變量之間是什么關系？為什么？ (1)商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費； (2)糧食產(chǎn)量與施肥量； (3)人體內(nèi)的脂肪含量與年齡． 答　當一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被唯一確定，這兩個變量是一個函數(shù)關系．(1)、(2)、(3)都不是函數(shù)關系，因為當其中一個變量變化時，另一個變量的變化還受其它因素的影響． 思考2　“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學生的水平就越高，那么學生的學業(yè)成績與教師的教學水平之間的關系是函數(shù)關系嗎？為什么？ 答　不是函數(shù)關系．因為學生的成績提高的原因是多個因素的共同結果，并不由老師這一個因素唯一確定．況且一個老師教幾十個學生，也有成績差的． 小結　思考1、思考2中兩個變量之間的關系是一種非確定性關系，稱之為相關關系． 思考3　函數(shù)關系與相關關系之間的區(qū)別與聯(lián)系是怎樣的？ 答　函數(shù)關系中的兩個變量間是一種確定性關系；相關關系是一種非確定性關系．函數(shù)關系是一種因果關系而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系，函數(shù)關系與相關關系之間有著密切聯(lián)系，在一定條件下可以互相轉化． 例1　在下列兩個變量的關系中，哪些是相關關系？ ①正方形邊長與面積之間的關系； ②作文水平與課外閱讀量之間的關系； ③人的身高與年齡之間的關系； ④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關系． 解　兩變量之間的關系有兩種：函數(shù)關系與帶有隨機性的相關關系．①正方形的邊長與面積之間的關系是函數(shù)關系．②作文水平與課外閱讀量之間的關系不是嚴格的函數(shù)關系，但是具有相關性，因而是相關關系．③人的身高與年齡之間的關系既不是函數(shù)關系，也不是相關關系，因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而他們不具備相關關系．④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關關系． 反思與感悟　如果能夠從兩個變量的觀察數(shù)據(jù)之間發(fā)現(xiàn)相關關系是極為有意義的，由此可以進一步研究二者之間是否蘊涵因果關系，從而發(fā)現(xiàn)引起這種相關關系的本質原因是什么． 跟蹤訓練1　有關法律規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語．吸煙是否一定會引起健康問題？有人認為“健康問題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”的說法對嗎？ 解　從已經(jīng)掌握的知識來看，吸煙會損害身體的健康，但是除了吸煙之外，還有許多其他的隨機因素影響身體健康，人體健康是很多因素共同作用的結果．我們可以找到長壽的吸煙者，也更容易發(fā)現(xiàn)由于吸煙而引發(fā)的患病者，所以吸煙不一定引起健康問題．但吸煙引起健康問題的可能性大．因此“健康問題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”的說法是不對的． 探究點二　散點圖 問題　在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 年齡 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年齡 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 思考1　觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？ 答　隨著年齡的增加，人體中脂肪的百分比也有所增加． 思考2　以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標系中描出樣本數(shù)據(jù)對應的圖形嗎？ 答　 思考3　閱讀教材85頁，你能說出散點圖的定義嗎？ 答　在平面直角坐標系中，表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點圖． 思考4　閱讀教材86頁上半頁后，你能說出正相關是如何定義的嗎？類比正相關的定義，你能給負相關下個定義嗎？ 答　在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關．一個變量隨另一個變量的變大而變小稱為負相關，散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域． 思考5　你能列舉一些生活中的變量成正相關或負相關的實例嗎？ 答　成正相關的如：商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費；作文水平與課外閱讀量；糧食產(chǎn)量與施肥量．成負相關的如：在一定范圍內(nèi)汽車的重量和汽車每消耗1 L汽油所行駛的平均路程． 例2　以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格和房屋面積的數(shù)據(jù)： 房屋面積m2 61 70 115 110 80 135 105 銷售價格(萬元) 12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2 22 畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖，并指出銷售價格與房屋面積這兩個變量是正相關還是負相關． 解　散點圖如下： 由上圖可看出，銷售價格與房屋面積這兩個變量正相關． 反思與感悟　畫散點圖時應注意合理選擇單位長度，避免圖形過大或過小，或者是點的坐標在坐標系中畫不準，使圖形失真，導致得出錯誤結論． 跟蹤訓練2　一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗，收集數(shù)據(jù)如下： 零件數(shù)x(個) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時間y(min) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)畫出散點圖； (2)關于加工零件的個數(shù)與加工時間，你能得出什么結論？ 解　(1)散點圖如下： (2)加工零件的個數(shù)與所花費的時間呈正線性相關關系． 探究點三　回歸直線 思考1　在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點？ 答　這些點大致分布在一條直線附近． 小結　回歸直線的定義：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線． 思考2　在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺準確畫出回歸直線？借助計算機怎樣畫出回歸直線？ 答　不能用直尺準確畫出回歸直線．用計算機中Excel可以方便地畫出回歸直線(見教材)． 探究點四　回歸方程 問題　在直角坐標系中，任何一條直線都有相應的方程，回歸直線的方程稱為回歸方程．對一組具有線性相關關系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方程對總體進行估計，那么如何求出回歸直線的方程呢？ 思考1　回歸直線與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關系？ 答　整體上最接近．選擇能反映直線變化的兩個點． 思考2　對一組具有線性相關關系的樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，設其回歸方程為＝bx＋a，可以用哪些數(shù)量關系來刻畫各樣本點與回歸直線的接近程度？ 答　可以用|yi－i|或(yi－i)2，其中i＝bxi＋a.(如圖) 思考3　為了從整體上反映n個樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的接近程度，你認為選用哪個數(shù)量關系來刻畫比較合適？ 答　Q＝(yi－i)2 ＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2. 小結　根據(jù)有關數(shù)學原理分析，當＝＝，＝－ 時，總體偏差Q＝(yi－i)2為最小，這樣就得到了回歸方程，這種求回歸方程，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 思考4　回歸方程中，，的幾何意義分別是什么？ 答　是回歸方程的斜率，是截距． 思考5　利用計算器或計算機可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程＝0.577x－0.448，由此我們可以根據(jù)一個人的年齡預測其體內(nèi)脂肪含量的百分比的回歸值．若某人37歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為多少？ 答　將x＝37代入方程＝0.577x－0.448， 得0.57737－0.448＝20.901. 所以其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為20.901%. 例3　有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的對比表： 攝氏溫度/℃ －5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 熱飲杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)畫出散點圖； (2)從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關系的一般規(guī)律； (3)求回歸方程； (4)如果某天的氣溫是2℃，預測這天賣出的熱飲杯數(shù)． 解　(1)散點圖如圖所示： (2)從上圖看到，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負相關，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少． (3)從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出回歸方程的系數(shù)．利用計算器容易求得回歸方程＝－2.352x＋147.767. (4)當x＝2時，＝143.063.因此，某天的氣溫為2℃時，這天大約可以賣出143杯熱飲． 反思與感悟　對一組數(shù)據(jù)進行線性回歸分析時，應先畫出其散點圖，看其是否呈直線形，再依系數(shù)a，b的計算公式，算出a，b.由于計算量較大，所以在計算時應借助技術手段，認真細致，謹防計算中產(chǎn)生錯誤，求線性回歸方程的計算順序：計算平均數(shù)，；計算xi與yi的積，求∑xiyi；計算∑x；將結果代入公式求；用＝－求；寫出回歸直線方程． 思考6　氣溫為2℃時，小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎？為什么？ 答　小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲，原因如下：(1)回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計出來的，存在誤差，這種誤差可以導致預測結果的偏差．(2)即使截距和斜率的估計沒有誤差，也不可能百分之百地保證對應于x的預報值，能夠與實際值y很接近．我們不能保證點(x，y)落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近． 跟蹤訓練3　下表為某地近幾年機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料. 機動車輛數(shù)x/千臺 95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故數(shù)y/千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 (1)請判斷機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關關系，如果不具有線性相關關系，說明理由； (2)如果具有線性相關關系，求出回歸直線方程． 解　(1)在直角坐標系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖，如下圖． 直觀判斷散點在一條直線附近，故具有線性相關關系． (2)計算相應的數(shù)據(jù)之和： i＝1 031，i＝71.6， ＝137 835，iyi＝9 611.7. 將它們代入公式計算得≈0.077 4，≈－1.024 9， 所以，所求回歸方程為＝0.077 4x－1.024 9. 【當堂測、查疑缺】 1．下列兩個變量之間的關系，哪個不是函數(shù)關系 ( ) A．正方體的棱長和體積 B．圓半徑和圓的面積 C．正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和 D．人的年齡和身高 答案　D 解析A、B、C都是函數(shù)關系，對于A，V＝a3；對于B，S＝πr2；對于C，g(n)＝(n－2)π.而對于年齡確定的不同的人可以有不同的身高，∴選D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列結論中不正確的是 (　　) A．y與x具有正的線性相關關系 B．回歸直線過樣本點的中心(，) C．若該大學某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該大學某女生身高為170 cm，則可判定其體重必為58.79 kg 答案　D 解析　當x＝170時，＝0.85170－85.71＝58.79，體重的估計值為58.79 kg. 3．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣告費用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為 (　　) A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 答案　B 解析　由題意可知＝3.5，＝42，則42＝9.43.5＋，＝9.1，＝9.46＋9.1＝65.5，答案應選B. 4．四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論： ①y與x負相關且 ＝2.347x－6.423； ②y與x負相關且 ＝－3.476x＋5.648； ③y與x正相關且 ＝5.437x＋8.493； ④y與x正相關且 ＝－4.326x－4.578. 其中一定不正確的結論的序號是 (　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 答案　D 解析?、倩貧w方程中x的系數(shù)為正，不是負相關；④方程中的x的系數(shù)為負，不是正相關， ∴①④一定不正確． 【呈重點、現(xiàn)規(guī)律】 1．判斷變量之間有無相關關系，一種簡便可行的方法就是繪制散點圖．根據(jù)散點圖，可以很容易看出兩個變量是否具有相關關系，是不是線性相關，是正相關還是負相關． 2．求回歸直線方程時應注意的問題 (1)知道x與y呈線性相關關系，無需進行相關性檢驗，否則應首先進行相關性檢驗，如果兩個變量之間本身不具有相關關系，或者說，它們之間的相關關系不顯著，即使求出回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計和預測的量也是不可信的． (2)用公式計算、的值時，要先算出，然后才能算出. 3．利用回歸方程，我們可以進行估計和預測．若回歸直線方程為＝x＋，則x＝x0處的估計值為0＝x0＋.