2019年高中數(shù)學(xué) 2.3 變量間的相關(guān)關(guān)系學(xué)案 新人教A版必修3.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 2.3 變量間的相關(guān)關(guān)系學(xué)案 新人教A版必修3 【明目標(biāo)、知重點(diǎn)】 1．理解兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的概念． 2．會(huì)作散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系． 3．會(huì)求回歸直線的方程． 【填要點(diǎn)、記疑點(diǎn)】 1．兩個(gè)變量的線性相關(guān) (1)散點(diǎn)圖：將樣本中n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形． (2)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)： ①正相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域． ②負(fù)相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域． 2．回歸直線的方程 (1)回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線． (2)回歸方程：回歸直線對(duì)應(yīng)的方程叫做回歸直線的方程，簡(jiǎn)稱(chēng)回歸方程． (3)回歸方程＝x＋，其中是回歸方程的斜率，是截距． 3．最小二乘法 通過(guò)求Q＝(yi－bxi－a)2的最小值而得出回歸直線的方法，即求出的回歸直線使樣本數(shù)據(jù)中的點(diǎn)到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 【探要點(diǎn)、究所然】 [情境導(dǎo)學(xué)]　在學(xué)校里，老師對(duì)學(xué)生經(jīng)常這樣說(shuō)：“如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會(huì)有什么大問(wèn)題．”按照這種說(shuō)法，似乎學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在著某種關(guān)系，顯然，這種關(guān)系不能用我們熟悉的函數(shù)關(guān)系來(lái)描述，那么這究竟是一種什么關(guān)系？下面我們共同來(lái)研究. 探究點(diǎn)一　變量之間的相關(guān)關(guān)系 思考1　當(dāng)一個(gè)變量的取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值被唯一確定，則這兩個(gè)變量之間是怎樣的關(guān)系？考察下列問(wèn)題中兩個(gè)變量之間是什么關(guān)系？為什么？ (1)商品銷(xiāo)售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)； (2)糧食產(chǎn)量與施肥量； (3)人體內(nèi)的脂肪含量與年齡． 答　當(dāng)一個(gè)變量的取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值被唯一確定，這兩個(gè)變量是一個(gè)函數(shù)關(guān)系．(1)、(2)、(3)都不是函數(shù)關(guān)系，因?yàn)楫?dāng)其中一個(gè)變量變化時(shí)，另一個(gè)變量的變化還受其它因素的影響． 思考2　“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平就越高，那么學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)與教師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？ 答　不是函數(shù)關(guān)系．因?yàn)閷W(xué)生的成績(jī)提高的原因是多個(gè)因素的共同結(jié)果，并不由老師這一個(gè)因素唯一確定．況且一個(gè)老師教幾十個(gè)學(xué)生，也有成績(jī)差的． 小結(jié)　思考1、思考2中兩個(gè)變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，稱(chēng)之為相關(guān)關(guān)系． 思考3　函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間的區(qū)別與聯(lián)系是怎樣的？ 答　函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系，函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化． 例1　在下列兩個(gè)變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？ ①正方形邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系； ②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系； ③人的身高與年齡之間的關(guān)系； ④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系． 解　兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系與帶有隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系．①正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系．②作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系．③人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到一定時(shí)期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而他們不具備相關(guān)關(guān)系．④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系． 反思與感悟　如果能夠從兩個(gè)變量的觀察數(shù)據(jù)之間發(fā)現(xiàn)相關(guān)關(guān)系是極為有意義的，由此可以進(jìn)一步研究二者之間是否蘊(yùn)涵因果關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)引起這種相關(guān)關(guān)系的本質(zhì)原因是什么． 跟蹤訓(xùn)練1　有關(guān)法律規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語(yǔ)．吸煙是否一定會(huì)引起健康問(wèn)題？有人認(rèn)為“健康問(wèn)題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”的說(shuō)法對(duì)嗎？ 解　從已經(jīng)掌握的知識(shí)來(lái)看，吸煙會(huì)損害身體的健康，但是除了吸煙之外，還有許多其他的隨機(jī)因素影響身體健康，人體健康是很多因素共同作用的結(jié)果．我們可以找到長(zhǎng)壽的吸煙者，也更容易發(fā)現(xiàn)由于吸煙而引發(fā)的患病者，所以吸煙不一定引起健康問(wèn)題．但吸煙引起健康問(wèn)題的可能性大．因此“健康問(wèn)題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”的說(shuō)法是不對(duì)的． 探究點(diǎn)二　散點(diǎn)圖 問(wèn)題　在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 年齡 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年齡 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 思考1　觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？ 答　隨著年齡的增加，人體中脂肪的百分比也有所增加． 思考2　以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的圖形嗎？ 答　 思考3　閱讀教材85頁(yè)，你能說(shuō)出散點(diǎn)圖的定義嗎？ 答　在平面直角坐標(biāo)系中，表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱(chēng)為散點(diǎn)圖． 思考4　閱讀教材86頁(yè)上半頁(yè)后，你能說(shuō)出正相關(guān)是如何定義的嗎？類(lèi)比正相關(guān)的定義，你能給負(fù)相關(guān)下個(gè)定義嗎？ 答　在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱(chēng)為正相關(guān)．一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的變大而變小稱(chēng)為負(fù)相關(guān)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域． 思考5　你能列舉一些生活中的變量成正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的實(shí)例嗎？ 答　成正相關(guān)的如：商品銷(xiāo)售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)；作文水平與課外閱讀量；糧食產(chǎn)量與施肥量．成負(fù)相關(guān)的如：在一定范圍內(nèi)汽車(chē)的重量和汽車(chē)每消耗1 L汽油所行駛的平均路程． 例2　以下是某地搜集到的新房屋的銷(xiāo)售價(jià)格和房屋面積的數(shù)據(jù)： 房屋面積m2 61 70 115 110 80 135 105 銷(xiāo)售價(jià)格(萬(wàn)元) 12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2 22 畫(huà)出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，并指出銷(xiāo)售價(jià)格與房屋面積這兩個(gè)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)． 解　散點(diǎn)圖如下： 由上圖可看出，銷(xiāo)售價(jià)格與房屋面積這兩個(gè)變量正相關(guān)． 反思與感悟　畫(huà)散點(diǎn)圖時(shí)應(yīng)注意合理選擇單位長(zhǎng)度，避免圖形過(guò)大或過(guò)小，或者是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫(huà)不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯(cuò)誤結(jié)論． 跟蹤訓(xùn)練2　一個(gè)車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下： 零件數(shù)x(個(gè)) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時(shí)間y(min) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖； (2)關(guān)于加工零件的個(gè)數(shù)與加工時(shí)間，你能得出什么結(jié)論？ 解　(1)散點(diǎn)圖如下： (2)加工零件的個(gè)數(shù)與所花費(fèi)的時(shí)間呈正線性相關(guān)關(guān)系． 探究點(diǎn)三　回歸直線 思考1　在各種各樣的散點(diǎn)圖中，有些散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是雜亂分布的，有些散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布有什么特點(diǎn)？ 答　這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近． 小結(jié)　回歸直線的定義：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線． 思考2　在樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，能否用直尺準(zhǔn)確畫(huà)出回歸直線？借助計(jì)算機(jī)怎樣畫(huà)出回歸直線？ 答　不能用直尺準(zhǔn)確畫(huà)出回歸直線．用計(jì)算機(jī)中Excel可以方便地畫(huà)出回歸直線(見(jiàn)教材)． 探究點(diǎn)四　回歸方程 問(wèn)題　在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都有相應(yīng)的方程，回歸直線的方程稱(chēng)為回歸方程．對(duì)一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個(gè)相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，那么如何求出回歸直線的方程呢？ 思考1　回歸直線與散點(diǎn)圖中各點(diǎn)的位置應(yīng)具有怎樣的關(guān)系？ 答　整體上最接近．選擇能反映直線變化的兩個(gè)點(diǎn)． 思考2　對(duì)一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，設(shè)其回歸方程為＝bx＋a，可以用哪些數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫(huà)各樣本點(diǎn)與回歸直線的接近程度？ 答　可以用|yi－i|或(yi－i)2，其中i＝bxi＋a.(如圖) 思考3　為了從整體上反映n個(gè)樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的接近程度，你認(rèn)為選用哪個(gè)數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫(huà)比較合適？ 答　Q＝(yi－i)2 ＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2. 小結(jié)　根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)原理分析，當(dāng)＝＝，＝－ 時(shí)，總體偏差Q＝(yi－i)2為最小，這樣就得到了回歸方程，這種求回歸方程，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 思考4　回歸方程中，，的幾何意義分別是什么？ 答　是回歸方程的斜率，是截距． 思考5　利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程＝0.577x－0.448，由此我們可以根據(jù)一個(gè)人的年齡預(yù)測(cè)其體內(nèi)脂肪含量的百分比的回歸值．若某人37歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為多少？ 答　將x＝37代入方程＝0.577x－0.448， 得0.57737－0.448＝20.901. 所以其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為20.901%. 例3　有一個(gè)同學(xué)家開(kāi)了一個(gè)小賣(mài)部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷(xiāo)售的影響，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣(mài)出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表： 攝氏溫度/℃ －5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 熱飲杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖； (2)從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷(xiāo)售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律； (3)求回歸方程； (4)如果某天的氣溫是2℃，預(yù)測(cè)這天賣(mài)出的熱飲杯數(shù)． 解　(1)散點(diǎn)圖如圖所示： (2)從上圖看到，各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷(xiāo)售杯數(shù)之間呈負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣(mài)出去的熱飲杯數(shù)越少． (3)從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出回歸方程的系數(shù)．利用計(jì)算器容易求得回歸方程＝－2.352x＋147.767. (4)當(dāng)x＝2時(shí)，＝143.063.因此，某天的氣溫為2℃時(shí)，這天大約可以賣(mài)出143杯熱飲． 反思與感悟　對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先畫(huà)出其散點(diǎn)圖，看其是否呈直線形，再依系數(shù)a，b的計(jì)算公式，算出a，b.由于計(jì)算量較大，所以在計(jì)算時(shí)應(yīng)借助技術(shù)手段，認(rèn)真細(xì)致，謹(jǐn)防計(jì)算中產(chǎn)生錯(cuò)誤，求線性回歸方程的計(jì)算順序：計(jì)算平均數(shù)，；計(jì)算xi與yi的積，求∑xiyi；計(jì)算∑x；將結(jié)果代入公式求；用＝－求；寫(xiě)出回歸直線方程． 思考6　氣溫為2℃時(shí)，小賣(mài)部一定能夠賣(mài)出143杯左右熱飲嗎？為什么？ 答　小賣(mài)部不一定能夠賣(mài)出143杯左右熱飲，原因如下：(1)回歸方程中的截距和斜率都是通過(guò)樣本估計(jì)出來(lái)的，存在誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果的偏差．(2)即使截距和斜率的估計(jì)沒(méi)有誤差，也不可能百分之百地保證對(duì)應(yīng)于x的預(yù)報(bào)值，能夠與實(shí)際值y很接近．我們不能保證點(diǎn)(x，y)落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近． 跟蹤訓(xùn)練3　下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料. 機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)x/千臺(tái) 95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故數(shù)y/千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 (1)請(qǐng)判斷機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，說(shuō)明理由； (2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程． 解　(1)在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如下圖． 直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)計(jì)算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和： i＝1 031，i＝71.6， ＝137 835，iyi＝9 611.7. 將它們代入公式計(jì)算得≈0.077 4，≈－1.024 9， 所以，所求回歸方程為＝0.077 4x－1.024 9. 【當(dāng)堂測(cè)、查疑缺】 1．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系，哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系 ( ) A．正方體的棱長(zhǎng)和體積 B．圓半徑和圓的面積 C．正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和 D．人的年齡和身高 答案　D 解析A、B、C都是函數(shù)關(guān)系，對(duì)于A，V＝a3；對(duì)于B，S＝πr2；對(duì)于C，g(n)＝(n－2)π.而對(duì)于年齡確定的不同的人可以有不同的身高，∴選D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是 (　　) A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，) C．若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可判定其體重必為58.79 kg 答案　D 解析　當(dāng)x＝170時(shí)，＝0.85170－85.71＝58.79，體重的估計(jì)值為58.79 kg. 3．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷(xiāo)售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元) 4 2 3 5 銷(xiāo)售額y(萬(wàn)元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷(xiāo)售額為 (　　) A．63.6萬(wàn)元 B．65.5萬(wàn)元 C．67.7萬(wàn)元 D．72.0萬(wàn)元 答案　B 解析　由題意可知＝3.5，＝42，則42＝9.43.5＋，＝9.1，＝9.46＋9.1＝65.5，答案應(yīng)選B. 4．四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論： ①y與x負(fù)相關(guān)且 ＝2.347x－6.423； ②y與x負(fù)相關(guān)且 ＝－3.476x＋5.648； ③y與x正相關(guān)且 ＝5.437x＋8.493； ④y與x正相關(guān)且 ＝－4.326x－4.578. 其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是 (　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 答案　D 解析　①回歸方程中x的系數(shù)為正，不是負(fù)相關(guān)；④方程中的x的系數(shù)為負(fù)，不是正相關(guān)， ∴①④一定不正確． 【呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律】 1．判斷變量之間有無(wú)相關(guān)關(guān)系，一種簡(jiǎn)便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖．根據(jù)散點(diǎn)圖，可以很容易看出兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，是不是線性相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)． 2．求回歸直線方程時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)知道x與y呈線性相關(guān)關(guān)系，無(wú)需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，如果兩個(gè)變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō)，它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回歸方程也是毫無(wú)意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的量也是不可信的． (2)用公式計(jì)算、的值時(shí)，要先算出，然后才能算出. 3．利用回歸方程，我們可以進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)．若回歸直線方程為＝x＋，則x＝x0處的估計(jì)值為0＝x0＋.