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2019年高考數學總復習 第2節(jié) 參數方程素能提升演練 理（含解析）新人教版選修4-4
1．直線，(t為參數)上與點A(－2,3)的距離等于的點的坐標是________．
解析：(－3,4)或(－1,2) 由題意知(－t)2＋(t)2＝()2，所以t2＝，t＝，代入，(t為參數)，得所求點的坐標為(－3,4)或(－1,2)．
2．(xx陜西高考)圓錐曲線，(t為參數)的焦點坐標是________．
解析：(1,0) 由，消去t得y2＝4x，故曲線表示為焦點(1,0)的拋物線．
3．若直線l：y＝kx與曲線C：，(參數θ∈R)有唯一的公共點，則實數k＝________.
解析： 曲線C化為普通方程為(x－2)2＋y2＝1，圓心坐標為(2,0)，半徑r＝1.由已知l與圓相切，則r＝＝1，解得k＝.
4．直線3x＋4y－7＝0截曲線，(α為參數)的弦長為________．
解析： 曲線可化為x2＋(y－1)2＝1，圓心到直線的距離d＝＝，則弦長l＝2 ＝.
5．(xx寶雞檢測)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t為參數)．以Ox為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝，則曲線C1和C2的交點的直角坐標為________．
解析：(2,1) 依題意得曲線C1為直線，其方程為x－y－1＝0，曲線C2為圓x2＋y2＝5的四分之一，聯立兩曲線方程，可得交點為(2,1)．
6．已知曲線C的參數方程是，(φ為參數，0≤φ<2π)，以坐標原點為極點、x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是________．
解析：ρ＝2cos θ 將參數方程化為普通方程是(x－1)2＋y2＝1，它表示以點(1,0)為圓心、1為半徑的圓，從而在極坐標系中，圓心是(1,0)，半徑為1，故極坐標方程為ρ＝2cos θ.
7．(xx廣東高考)已知曲線C的參數方程為，(t為參數)，C在點(1,1)處的切線為l，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則l的極坐標方程為________．
解析：ρsin＝ 因為曲線C的參數方程為，(t為參數)，
所以其普通方程為x2＋y2＝2.
又點(1,1)在曲線C上，因此切線l的斜率k＝－1.
故直線l的方程為x＋y－2＝0，化為極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ＝2，即ρsin＝.
8．(xx湖北八市調研)設直線l1的參數方程為(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，另一直線l2的方程為ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直線l1與l2間的距離為，則實數a的值為________．
解析：9或－11 由(t為參數)消去t得3x－y＋a－3＝0，由ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0化為普通方程得3x－y－4＝0，由平行線間的距離公式可得＝整理得|a＋1|＝10解得a＝9或a＝－11.
9．(xx廣州調研)已知圓C的參數方程為，(θ為參數)，以原點為極點、x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin θ＋ρcos θ＝1，則直線l截圓C所得的弦長是________．
解析： 圓C的普通方程為x2＋(y－2)2＝1，其圓心C的坐標為(0,2)，半徑r＝1，直線l的直角坐標方程為x＋y－1＝0，點C到直線l的距離d＝＝，因此直線l截圓C所得的弦長2 ＝.
10．如果曲線C：，(θ為參數)上有且僅有兩個點到原點的距離為2，則實數a的取值范圍是________．
解析：(－2，0)∪(0,2) 將曲線的參數方程轉化為普通方程，即(x－a)2＋(y－a)2＝4，由題意可知，以原點為圓心，以2為半徑的圓與圓C總相交，根據兩圓相交的充要條件，得0<<4，∴0
2.
所以圓C上的點到直線l的距離最大值是d＋r＝2＋2.
方法二：直線l的方程是x－y－4＝0，
所以圓C上的點到直線l的距離d＝＝，所以圓C上的點到直線l的距離的最大值是＝2＋2.
12．已知在平面直角坐標系xOy中，經過點(0，)且斜率為k的直線l與曲線C：，(θ是參數)有兩個不同的交點P和Q，則k的取值范圍為________．
解析：∪ 曲線C的參數方程：，(θ是參數)化為普通方程：＋y2＝1，故曲線C是一個橢圓．由題意，利用點斜式可得直線l的方程為y＝kx＋，將其代入橢圓的方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0，因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q，所以Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>.
所以k的取值范圍為∪.
13．(xx中原名校聯盟摸底)已知在直角坐標系xOy中，圓錐曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l經過定點P(2,3)，傾斜角為.
(1)寫出直線l的參數方程和圓的標準方程；
(2)設直線l與圓相交于A，B兩點，求|PA||PB|的值．
解：(1)圓的標準方程為x2＋y2＝16①
直線的參數方程為(t為參數)②
(2)把②代入①得，t2＋(2＋3)t－3＝0③
設t1，t2是方程③的兩個實根，則t1t2＝－3，
所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.
14．(xx福建高考)在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點A的極坐標為，直線l的極坐標方程為ρcos＝a，且點A在直線l上．
(1)求a的值及直線l的直角坐標方程；
(2)圓C的參數方程為，(α為參數)，試判斷直線l與圓C的位置關系．
解：(1)由點A在直線ρcos＝a上，
可得a＝.
所以直線l的方程可化為ρcos θ＋ρsin θ＝2，
從而直線l的直角坐標方程為x＋y－2＝0.
(2)由已知得圓C的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1，
所以圓C的圓心為(1,0)，半徑r＝1，
因為圓心C到直線l的距離d＝＝<1，
所以直線l與圓C相交．
15．(xx福州八中質檢)已知在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t為參數)．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，曲線C2的方程為ρsin2 θ＝4cos θ.
(1)求曲線C2的直角坐標方程；
(2)若曲線C1，C2交于A，B兩點，定點P(0，－4)，求|PA|＋|PB|的值．
解：(1)由ρsin2 θ＝4cos θ，得ρ2sin2 θ＝4ρcos θ，
∴y2＝4x.
(2)把C1的參數方程代入y2＝4x，得
t2－6t＋16＝0，即t2－12t＋32＝0，
∴t1＋t2＝12，t1t2＝32.
∴|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝12.
16． (xx河南調研)已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系中x軸的正半軸重合，且兩坐標系有相同的長度單位，圓C的參數方程為，(α為參數)，點Q的極坐標為.
(1)化圓C的參數方程為極坐標方程；
(2)若直線l過點Q且與圓C交于M，N兩點，求當|MN|最小時，直線l的直角坐標方程．
解：(1)圓C的直角坐標方程為：
(x－1)2＋(y＋1)2＝4，
展開得：x2＋y2－2x＋2y－2＝0，
化為極坐標方程是：
ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0.
(2)點Q的直角坐標為(2，－2)，且點Q在圓C內，易知當l⊥CQ時，|MN|最?。謭AC的圓心C的坐標為(1，－1)，
∴kCQ＝＝－1.
∴kl＝1.
∴直線l的直線坐標方程為：y＋2＝x－2.
即x－y－4＝0.
17．(xx鹽城模擬)已知橢圓C的極坐標方程為ρ2＝，點F1，F2為其左，右焦點，直線l的參數方程為(t為參數，t∈R)．
(1)求直線l和曲線C的普通方程；
(2)求點F1，F2到直線l的距離之和．
解：(1)將直線l的參數方程消去t得y＝x－2，即為所求的普通方程．
橢圓C的極坐標方程為3ρ2cos2 θ＋4ρ2sin2 θ＝12.
∴3x2＋4y2＝1.
∴＋＝1.
故橢圓的普通方程為＋＝1.
(2)∵F1(－1,0)，F2(1,0)，
∴點F1到直線l的距離d1＝＝，
點F2到直線l的距離d2＝＝，
∴d1＋d2＝2.
18．(xx東北三校聯考)在直角坐標系xOy中，過點P作傾斜角為α的直線l與曲線C：x2＋y2＝1相交于不同的兩點M，N.
(1)寫出直線l的參數方程；
(2)求＋的取值范圍．
解：(1)，(t為參數)．
(2)將，(t為參數)代入x2＋y2＝1，
得t2＋(cos α＋3sin α)t＋2＝0，
由直線l與曲線C交于不同兩點M，N得
Δ＝(cos α＋3sin α)2－8>0，
即2－8>0，
解得sin>或sin<－(舍去)．
∴＋＝＋＝＝
＝sin.
∵
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