福建省漳州市薌城中學高中數(shù)學 3.3.3點到直線的距離教案 新人教A版必修

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1、 福建省漳州市薌城中學高中數(shù)學 3.3.3點到直線的距離教案 新人教A版必修2兩條平行直線間的距離 授課類型：新授課 授課時間：第 周 年 月 日（星期 ） 一、教學目標： 1、知識與技能：理解點到直線距離公式的推導，掌握點到直線的距離公式；會求兩條平行直線間的距離。 2、過程與方法：探索點到直線距離公式，會用點到直線距離公式求解兩平行線距離。 3、情感態(tài)度與價值觀：認識事物之間在一定條件下的轉(zhuǎn)化，會用聯(lián)系的觀點看問題。 二、教學重點、難點 重點：點到直線的距離公式，兩條平行直線間的距離公式。 難點：點到直線距離公式的理解與應用。 三、教學

2、內(nèi)容分析 本節(jié)課是在研究了直線的方程和兩條直線的位置關(guān)系的基礎上，探索如何用坐標和方程來定量研究距離問題，既是對前面知識體系的完善，又為后面研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系奠定基礎，具有承上啟下的作用。同時，教材通過讓學生經(jīng)歷點到直線距離公式的探究與應用過程，進一步體會解析幾何的本質(zhì)：用代數(shù)方法解決幾何問題。 學生已經(jīng)有的相關(guān)知識是：兩點間距離公式，直線的傾斜角、斜率，直線方程的各種形式，直線間關(guān)系判斷的依據(jù)；并且經(jīng)歷了建立這些公式、解決這些問題的過程，積累了一定的用坐標法思想解決問題的經(jīng)驗與各種具體方法。這一節(jié)課的任務是：給出已知點的坐標與已知直線的方程，求點到直線的距離，建立點到直線的距

3、離的公式。從學生已經(jīng)有的知識與經(jīng)驗看，不難知道，可以把點到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為點到點的距離問題，從而完成任務。 從課型來說，應該屬于“問題教學”，以一個問題為載體，學生在教師的引導與幫助下，分析、研究問題，制訂解決問題的策略，選擇解決問題的方法。 通過一個數(shù)學問題的解決，讓學生參與教學過程，在這個過程中，教師尊重學生的思維過程，充分發(fā)揮學生在學習中的主動性以及他們之間的合作交流。 因此，本節(jié)課的重點是點到直線距離公式的建立，難點是選擇恰當?shù)慕鉀Q問題的方法。 2、對公式的推導，關(guān)鍵是“怎樣想到利用坐標系中的x軸或y軸構(gòu)造直角三角形，從而推出公式”。對于這個問題，教材的處理是：直接作輔助線

4、（呈現(xiàn)教材），這樣做，無法展現(xiàn)為什么會想到要構(gòu)造直角三角形這一最需要學生探索的過程，不利于學生完整地理解公式的推導和掌握與之相應的豐富的數(shù)學思想方法。如果照本宣科，則不能擺脫在客觀上對學生灌注式教學。事實上，為了真正實現(xiàn)以學生為主體的教學，起關(guān)鍵作用的是設計出有利于學生參與教學的內(nèi)容組織形式。 因此，在備課時沒有像教材中的那樣直接作輔助線，而是對教學內(nèi)容進行剪裁、重組和鋪墊，構(gòu)建出在探索結(jié)論過程中側(cè)重于學生能力培養(yǎng)的一系列教學環(huán)節(jié)，采用由特殊到一般的方法，引導學生通過對特殊的直觀圖形的觀察、研究，自己發(fā)現(xiàn)隱藏其中的直角三角形，從而引出 | PQ |。在此基礎上進一步將特殊問題還原到一般，學生

5、十分自然地想到在坐標系中探尋令PQ的直角三角形，找不到，自然想構(gòu)造，此時再過點P作x軸和y軸的平行線就顯得“瓜熟蒂落，水到渠成”了。 本設計力求以啟迪思維為核心，設計出能啟發(fā)學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，從而突破關(guān)鍵，導出公式。 四、教學策略分析 1、遵循“數(shù)學學習的本質(zhì)是主體（學生）在頭腦中構(gòu)建和發(fā)展數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的過程，是主體的一種再創(chuàng)造行為”的理論，采取以“學生為主體、教師為主導”的啟發(fā)式教學。 2、根據(jù)“教師應尊重學生主體和主動的精神，開發(fā)學生的智能，形成其健全個性”的原則，力求營造民主的教學氛圍，使學生或顯性（答問、板演等）或隱性（聆聽、苦思等）地參與教學全過程 ，給學生

6、以思考時空，讓學生自己導出公式。 3、采用多媒體教學手段，增大教學的容量和直觀性，有效提高教學效率和教學質(zhì)量。 4、以反饋調(diào)控為手段，力求反饋的全面性（優(yōu)、中、差生）與時效性（及時、中肯）。 五、教學過程設計 （一）創(chuàng)設情景，提出問題 問題1：求點P0 (– 1 , 2) 到直線l：3x = 2的距離。 問題2：求原點O到直線l：3x + 2y – 26 = 0的距離。 方法1：設直線交兩坐標軸于A、B兩點，則，從而 ， 因為，所以。 方法2（求點H的坐標）：作OQ⊥l，垂足為Q，直線OQ的方程為2x – 3y = 0，與直線l的方程聯(lián)立，解方程組，得，所以點Q的坐標為 (

7、6 , 4)，由兩點間的距離公式得。 （二）類比探究，推導公式 問題3：已知點P的坐標為，直線，如何求點P到直線的距離呢？ 學生首選坐標法（因為從問題2可以看出，坐標法比面積法簡單。） 分析：設點P到直線的垂線段為PQ，垂足為Q，由PQ⊥可知，直線PQ的斜率為（A≠0），根據(jù)點斜式寫出直線PQ的方程，并由與PQ的方程求出點Q的坐標；由此根據(jù)兩點距離公式求出｜PQ｜，得到點P到直線的距離為d 果真在運算時受阻，所有的學生都沒有信心完整地算出，于是只有放棄。 自然的便有學生用面積法進行嘗試，而此時問題便可迎刃而解： 設A ≠ 0，B ≠ 0，這時與軸、軸都相交，過點P作軸的平行線

8、，交于點；作軸的平行線，交于點， 由得， 所以，｜PR｜=｜｜= ， ｜PS｜=｜｜= ， ｜RS｜＝｜｜ 由三角形面積公式可知：｜RS｜＝｜PR｜｜PS｜，所以。 可證明，當A=0時仍適用。 （三）深入探究，發(fā)展思維 追問：用坐標法真的算不下去嗎？你的目標是什么？ 設，所以，已知條件： ，， 有必要求出嗎？（沒有必要，換元法可以幫大忙。） 設，則： ， 所以。 可證明，當A = 0時仍適用。 歸納：點到直線的距離為：。 （四）知識遷移應用 例1、 已知點A（1，3），B（3，1），C（– 1，0），求三角形ABC的面積。 解：設AB邊上的高為h，

9、則S△ABC =， ， AB邊上的高h就是點C到AB的距離，AB邊所在直線方程為x + y – 4 = 0。 所以點C到直線AB的距離，因此，S△ABC =。 例2、已知直線：，：，與是否平行？若平行，求與間的距離。 分析：（1）因為，所以∥； （2）能否將平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離？ （3）如何取點，可使計算簡單？ （4）推廣到一般：已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，：，則與的距離為。 （5）應用（4）的結(jié)論求解例2，應注意什么問題？ （五）課堂演練，鞏固提高 課本P108、P109，練習。 （六）反思總結(jié)、深化認識 請學生談談自己的收獲。 1、今天我們學習了點到直線的距離公式，兩條平行直線間的距離公式，要熟記公式的結(jié)構(gòu)，應用時要注 意將直線的方程化為一般式。 2、當A = 0或B = 0（直線與坐標軸垂直）時，仍然可用公式，這說明了特殊與一般的關(guān)系。 （七）作業(yè) 課本P109，習題3.3 [A組]9，10；[B組]2、4、5。 教學反思： 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！