福建省漳州市薌城中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.1.3異面直線所成的角教案 新人教A版必修

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1、 福建省漳州市薌城中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.1.3異面直線所成的角教案 新人教A版必修2 一、教學(xué)目標(biāo) 1、知識(shí)與技能：理解并掌握異面直線所成的角的定義，熟記異面直線所成角的范圍，會(huì)用平移轉(zhuǎn)換法求異面直線所成的角。 2、過程與方法：借助正方體、長方體這一主要載體，以師為主導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，探究異面直線所成角的概念形成過程，以及角的求解及其所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想與化歸方法。 3、情感態(tài)度與價(jià)值觀： （1）通過本節(jié)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生不斷探索發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的精神，滲透事物相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義觀點(diǎn)。 （2）培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、分析問題、解決問題的能力以及邏輯推理能力，使學(xué)生初步掌握將空

2、間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的數(shù)學(xué)思想。 二、教學(xué)重點(diǎn)：異面直線所成的角的定義、范圍與計(jì)算。 難點(diǎn)：空間平移點(diǎn)的選取及解題規(guī)范。 三、教學(xué)過程 （一）創(chuàng)設(shè)情景，引入新課 復(fù)習(xí)：1、異面直線的概念：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，既不相交，也不平行，沒有公共點(diǎn)。 2、空間兩條直線的位置關(guān)系：相交、平行、異面。 3、平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（平行線的傳遞性）。 A B A 1 B1 1 D 1 C1 1 C D E 4、等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。 問題1：正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為BC

3、的中點(diǎn)，判斷直線A1C1、B1C1、C1E、C1C與直線AB的位置關(guān)系。 說明：從位置關(guān)系一看，同為異面直線，但它們的相對(duì)位置卻是不同的，說明僅用“異面”與考慮異面直線間的相對(duì)位置是不夠的。 問題2：用什么來刻畫兩條異面直線的相對(duì)位置呢？ 提示：在平面幾何中，用“距離”來刻畫兩平行直線間的相對(duì)位置，用“角”來刻畫兩相交直線間的相對(duì)位置。 a b 問題3：一張紙中畫有兩條能相交的直線、（但交點(diǎn)在紙外），現(xiàn)給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長紙上的線段。問如何量出、所成角的大??？其理論依據(jù)是什么？ 學(xué)生動(dòng)手操作。 問題4：能否將上述結(jié)論推廣到空間兩直線？ （二）新授

4、課 1、異面直線所成角的定義（學(xué)生類比問題3給出定義）： 已知異面直線a、b，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a ∥a、b ∥b，把a(bǔ) 與b 所成的銳角（或直角）叫異面直線a與b所成的角（夾角）。 范圍：。 思考：兩條異面直線所成角的大小是否隨空間任意點(diǎn)O位置的不同而改變？ 點(diǎn)O可任選，一般取特殊位置，如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)。 2、探究：（1）如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線垂直？即a∥b，若a⊥c，則b⊥c？ （成立，因?yàn)閎、c所成的角與a、c所成的角相等，都是90。） （2）垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？ A B A 1

5、 B 1 D 1 C 1 C D （否，兩條直線可能相交、平行或異面。） 2、例、習(xí)題剖析： 例1、在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求： （1）A1B1與CC1所成的角； （2）A1B與CC1所成的角； （3）A1C1與BC所成的角； （4）A1C1與D1C所成的角； 分析：（1）∵A1B // CC1 --------找 ∴ 為A1B與CC1所成的角 --------證 在△A1BB1中，； --------算 ∴ A1B與CC1所成的

6、角為45o --------答 （2）；（3）； （4）。 這種求法就是利用平移將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，通過解三角形來求解。把這種方法叫做——平移法，其基本解題思路是“異面化共面，認(rèn)定再計(jì)算”，簡(jiǎn)記為“找——證——算——答”。 變式一：（07福建卷）如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、BC1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角等于（ ） （A）45 （B）60 （C）90 （D）120 解：連接A1B，BC1，A1C1 -------

7、--------------作 ∵ A1B // EF，BC1 // GH ∴ ∠A1B C1為EF1與GH所成的角（或其補(bǔ)角） -----------證 在三角形A1BC1中，A1B = BC1 = A1C1 ∴ ∠A1B C1=60 -----------算 ∴ 異面直線EF與GH所成的角等于60 ---------答 小結(jié)：求異面直線所成的角一般要有四個(gè)步驟： （1）作圖：作出所求的角及題中涉及的有關(guān)圖形等； （2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的； （3）計(jì)算：一般是利用解三角形計(jì)算得

8、出結(jié)果。 （4）結(jié)論。 簡(jiǎn)記為“作（或找）——證——算——答”。 例2、長方體ABCD—A1B1C1D1中， AA1 = AB = 2，AD = 1，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值。 解：設(shè)A1C1與B1D1交于O，取B1B中點(diǎn)E，連接OE， 因?yàn)镺E // D1B，所以∠C1OE或其補(bǔ)角，就是異面直線A1C1與BD1所成的角或其補(bǔ)角。 在△C1OE中，， ， ， 所以， 所以異面直線A1C1與BD1所成的角的余弦值為。 變式2：（05福建卷）如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1 = AB = 2，AD = 1，E、F、G分別是DD1、AB、

9、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成的角是__________。 A C B S E F 變式3：在正四面體S—ABC中，SA⊥BC，E、F分別為SC、AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于（ ） （A）30 （B）45 （C）60 （D）90 （三）課堂小結(jié) 1、異面直線所成角的定義、范圍及其求解。 2、求角的大小，常用“平移法”：“作（或找）——證——算——答”。 A C B D R P 3、數(shù)學(xué)思想——化異面為共面，化空間為平面。這是我們學(xué)習(xí)空間幾何最常用到的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化化歸思想。 （四）課后作業(yè)： A B A 1 B 1 1 C 1 C D M N D 1、空間四邊形ABCD中，P、R分別是AB、CD的中點(diǎn)，且PR =，AC = BD = 2，求AC與BD所成的角。 2、正方體ABCD—A1B1C1D1中，M為AB的中點(diǎn)，N為BB1的中點(diǎn)，求A1M與C1N所成角的余弦值。 3、課本P48第2題。 4、變式3題。 教學(xué)反思： 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！