2019年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第1章 三角形的證明 1 等腰三角形教案 (新版)北師大版.doc
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1 等腰三角形 第1課時(shí) 三角形的全等和等腰三角形的性質(zhì) 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1.了解作為證明基礎(chǔ)的8條公理的內(nèi)容. 2.使學(xué)生經(jīng)歷“探索—— 發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程,學(xué)會(huì)用綜合法證明等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)定理. 3.讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析幾何證明題的思路,并掌握證明的基本步驟和書寫格式. 4.經(jīng)歷作輔助線的證明過程,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推理意識(shí),培養(yǎng)主動(dòng)探究的習(xí)慣,體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系. 二、重難點(diǎn)目標(biāo) 【教學(xué)重點(diǎn)】 等腰三角形的性質(zhì)及推論. 【教學(xué)難點(diǎn)】 運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及推論解決相關(guān)問題及證明的書寫格式. 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1 自學(xué)提綱,生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P2~P3的內(nèi)容,完成下面練習(xí). 【3 min反饋】 1.兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等. 2.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等. 3.等腰三角形的兩底角相等,簡(jiǎn)述為:等邊對(duì)等角. 4.等腰三角形“三線合一”:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合. 5.如圖,已知∠1=∠2,則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是( B ) A.BD=CD B.AB=AC C.∠B=∠C D.∠BAD=∠CAD 6.如圖,△ABC≌△CDA,那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( D ) A.∠1=∠2 B.AC=CA C.∠D=∠B D.AC=BC 環(huán)節(jié)2 合作探究,解決問題 活動(dòng)1 小組討論(師生互學(xué)) 【例1】如圖,AB=AC=AD,若∠BAD=80,則∠BCD=( ) A.80 B.100 C.140 D.160 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)由邊相等可以得到什么?這與∠BCD有什么關(guān)系? 【分析】∵∠BAD=80,∴∠B+∠BCD+∠D=360-∠BAD=280.又∵AB=AC=AD,∴∠B=∠ACB,∠ACD=∠D,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=2802=140. 【答案】C 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))求角的度數(shù)時(shí),需根據(jù)實(shí)際情況分析:(1)在等腰三角形中,要考慮三角形內(nèi)角和定理;(2)有平行線時(shí),要考慮平行線的性質(zhì):兩直線平行,同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ);(3)兩條相交直線中,對(duì)頂角相等,互為鄰補(bǔ)角的兩角之和等于180. 【例2】等腰三角形的一個(gè)角等于30,求它其余兩角的度數(shù). 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)等腰三角形的角有什么特征?已知角是頂角還是底角? 【解答】分情況討論: 當(dāng)?shù)捉菫?0時(shí),頂角度數(shù)為180-230=120; 當(dāng)頂角為30時(shí),底角度數(shù)為(180-30)2=75. 綜上,該等腰三角形其余兩角的度數(shù)為30,120或75,75. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))已知的一個(gè)銳角可以是等腰三角形的頂角,也可以是底角;一個(gè)鈍角只能是等腰三角形的頂角.分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵. 活動(dòng)2 鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué)) 1.至少有兩邊相等的三角形是( B ) A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.銳角三角形 2.在△ABC中,若AB=AC,∠A=44,則∠B=68度. 3.已知等腰三角形兩條邊的長(zhǎng)分別是3和6,則它的周長(zhǎng)等于15. 4.如圖所示,已知AB=AC,F(xiàn)D⊥BC于點(diǎn)D,DE⊥AB于點(diǎn)E,若∠AFD=145,則∠EDF=55度. 5.如圖所示,點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),AB=AC,∠1=∠2.求證:AD平分∠BAC. 證明:∵∠1=∠2,∴BD=DC.∵AB=AC,AD=AD,∴△ADB≌△ADC,∴∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC. 活動(dòng)3 拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué)) 【例3】如圖,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D,∠ADC=125.求∠ACB和∠BAC的度數(shù). 【互動(dòng)探索】根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得AE⊥BC→求出∠CDE→根據(jù)“直角三角形兩銳角互余”求出∠DCE→根據(jù)角平分線的定義求出∠ACB→根據(jù)“等腰三角形兩底角相等”列式求出∠BAC. 【解答】∵AB=AC,AE平分∠BAC,∴AE⊥BC.∵∠ADC=125,∴∠CDE=180-∠ADC=55,∴∠DCE=90-∠CDE=35.又∵CD平分∠ACB,∴∠ACB=2∠DCE=70.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=70,∴∠BAC=180-(∠B+∠ACB)=40. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算,有兩種類型:一是求邊長(zhǎng),求邊長(zhǎng)時(shí)應(yīng)利用等腰三角形底邊上的中線與其他兩線互相重合;二是求角度的大小,求角度時(shí),應(yīng)利用等腰三角形的頂角平分線或底邊上的高與其他兩線互相重合. 環(huán)節(jié)3 課堂小結(jié),當(dāng)堂達(dá)標(biāo) (學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng)) 1.兩三角形全等的判定:AAS、ASA、SSS、SAS. 2.等腰三角形 練習(xí)設(shè)計(jì) 請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)! 第2課時(shí) 等邊三角形的性質(zhì) 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1.進(jìn)一步學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)性質(zhì),了解等腰三角形兩底角的平分線(兩腰上的高、中線)的性質(zhì). 2.學(xué)習(xí)等邊三角形的性質(zhì),并能夠運(yùn)用其解決問題. 3.把等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行比較,體會(huì)等腰三角形和等邊三角形的相同之處和不同之處. 二、重難點(diǎn)目標(biāo) 【教學(xué)重點(diǎn)】 等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì). 【教學(xué)難點(diǎn)】 等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用. 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1 自學(xué)提綱,生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P5~P6的內(nèi)容,完成下面練習(xí). 【3 min反饋】 1.等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等;等腰三角形兩腰上的高相等;等腰三角形兩腰上的中線相等. 2.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每個(gè)角都等于60. 3.一個(gè)等腰非等邊三角形中,它的角平分線、中線及高線的條數(shù)共為(重合的算一條)( B ) A.9 B.7 C.6 D.5 4.等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于( B ) A.頂角 B.頂角的一半 C.頂角的2倍 D.底角的一半 環(huán)節(jié)2 合作探究,解決問題 活動(dòng)1 小組討論(師生互學(xué)) 【例1】 如圖,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,求證:DE∥BC. 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)要證DE∥BC,需證∠ADE=∠ABC,從而結(jié)合已知條件考慮證△BEC≌△CDB即可. 【證明】∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵CD⊥AB于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,∴∠AEB=∠ADC=90,∴∠ABE=∠ACD,∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD,∴∠EBC=∠DCB.在△BEC和△CDB中,∵ ∴△BEC≌△CDB,∴BD=CE,∴AB-BD=AC-CE,即AD=AE,∴∠ADE=∠AED.又∵∠A是△ADE和△ABC的頂角,∴∠ADE=∠ABC,∴DE∥BC. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))等腰三角形兩底角的平分線相等,兩腰上的中線相等,兩腰上的高相等. 【例2】如圖,△ABC是等邊三角形,E是AC上一點(diǎn),D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連結(jié)BE、DE.若∠ABE=40,BE=DE,求∠CED的度數(shù). 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)由△ABC是等邊三角形可以得到哪些結(jié)論?如何利用這些結(jié)論求∠CED? 【解答】∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60.∵∠ABE=40,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=20.∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20,∴∠CED=∠ACB-∠D=40. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))等邊三角形是特殊的三角形,它的三個(gè)內(nèi)角都是60,這個(gè)性質(zhì)常常應(yīng)用在求三角形角度的問題上,所以必須熟練掌握. 活動(dòng)2 鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué)) 1.如圖,在四邊形ABCD中,AC、BD為對(duì)角線,AB=BC=AC=BD,則∠ADC的大小為( D ) A.120 B.135 C.145 D.150 2.如圖所示,△ABC為等邊三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于點(diǎn)R,PS⊥AC于點(diǎn)S,則下列四個(gè)結(jié)論正確的是( A ) ①點(diǎn)P在∠BAC的平分線上; ②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△CSP. A.全部正確 B.僅①和②正確 C.僅②和③正確 D.僅①和③正確 3.已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為40,則此等腰三角形的頂角為50或130. 4.如圖所示,已知l∥m,等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B在直線m上,邊BC與直線m所夾銳角為20,求∠α的度數(shù). 解:如題圖,過點(diǎn)C作CE∥直線m.∵l∥m,∴l(xiāng)∥m∥CE,∴∠ACE=∠α,∠BCE=∠CBF=20.在等邊三角形ABC中,∠ACB=60,∴∠α+∠CBF=∠ACB=60,∴∠α=40. 5.如圖,△ABC為正三角形,點(diǎn)M是邊BC上任意一點(diǎn),點(diǎn)N是邊CA上任意一點(diǎn),且BM=CN,BN與AM相交于點(diǎn)Q,求∠BQM的度數(shù). 解:∵△ABC為正三角形,∴∠ABC=∠C=∠BAC=60,AB=BC.在△AMB和△BNC中,∵ ∴△AMB≌△BNC,∴∠BAM=∠CBN,∴∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60. 活動(dòng)3 拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué)) 【例3】如圖,已知等邊△ABC中,D是AC的中點(diǎn),E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且CE=CD,DM⊥BC,垂足為M,求證:BM=EM. 【互動(dòng)探索】要證BM=EM,由題意證△BDM≌△EDM即可. 【證明】連結(jié)BD.∵在等邊△ABC中,D是AC的中點(diǎn),∴∠ABC=∠ACB=60,∴∠DBC=∠ABC=30.∵CE=CD,∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠E=30,∴∠DBC=∠E=30.∵DM⊥BC,∴∠DMB=∠DME=90.在△DMB和△DME中,∵ ∴△DMB≌△DME,∴BM=EM. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))證明線段相等可以利用三角形全等得到.此外,要明確等邊三角形是特殊的等腰三角形,所以等腰三角形的性質(zhì)完全適合等邊三角形. 環(huán)節(jié)3 課堂小結(jié),當(dāng)堂達(dá)標(biāo) (學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng)) 1.等腰三角形兩底角的平分線相等,等腰三角形兩腰上的高相等;等腰三角形兩腰上的中線相等. 2.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每個(gè)角都等于60. 練習(xí)設(shè)計(jì) 請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)! 第3課時(shí) 等腰三角形的判定與反證法 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1.理解等腰三角形的判定定理,并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明. 2.了解反證法的基本證明思路,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力,并能簡(jiǎn)單應(yīng)用. 二、重難點(diǎn)目標(biāo) 【教學(xué)重點(diǎn)】 掌握等腰三角形的判定定理. 【教學(xué)難點(diǎn)】 利用反證法進(jìn)行證明. 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1 自學(xué)提綱,生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P8~P9的內(nèi)容,完成下面練習(xí). 【3 min反饋】 1.有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形,簡(jiǎn)述為:等角對(duì)等邊. 2.先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果,從而證明命題的結(jié)論一定成立,這種證明方法稱為反證法. 3.用反證法證明命題“一個(gè)三角形的三個(gè)外角中,至多有一個(gè)銳角”的第一步是假設(shè)三角形的三個(gè)外角中,有兩個(gè)銳角. 4.如圖所示,在△ABC中,∠A=36,AB=AC,BD是△ABC的角平分線.若在邊AB上截取BE=BC,連結(jié)DE,則圖中等腰三角形共有( D ) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 環(huán)節(jié)2 合作探究,解決問題 活動(dòng)1 小組討論(師生互學(xué)) 【例1】 如圖,在△ABC中,∠ACB=90,CD是AB邊上的高,AE是∠BAC的平分線,AE與CD交于點(diǎn)F,求證:△CEF是等腰三角形. 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)要證△CEF是等腰三角形,結(jié)合已知條件考慮證明CE=CF即可. 【證明】∵在△ABC中,∠ACB=90,∴∠B+∠BAC=90.∵CD是AB邊上的高,∴∠ACD+∠BAC=90,∴∠B=∠ACD.∵AE是∠BAC的平分線,∴∠BAE=∠EAC.又∵∠B+∠BAE=∠AEC,∠ACD+∠EAC=∠CFE,∴∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,∴△CEF是等腰三角形. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))“等角對(duì)等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù),是先有角相等再有邊相等,只限于在同一個(gè)三角形中,若在兩個(gè)不同的三角形中,此結(jié)論不一定成立. 【例2】求證:△ABC中不能有兩個(gè)鈍角. 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)用反證法證明時(shí),假設(shè)什么? 【證明】假設(shè)△ABC中能有兩個(gè)鈍角,不妨設(shè)∠A<90,∠B>90,∠C>90, 所以∠A+∠B+∠C>180, 這與三角形的內(nèi)角和為180矛盾,所以假設(shè)不成立, 因此原命題正確,即△ABC中不能有兩個(gè)鈍角. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))反證法的步驟:(1)假設(shè)結(jié)論不成立;(2)從假設(shè)出發(fā)推出矛盾;(3)假設(shè)不成立,則結(jié)論成立.在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論反面的所有可能的情況.如果只有一種,那么否定一種就可以了;如果有多種情況,則必須一一否定. 活動(dòng)2 鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué)) 1.用反證法證明命題“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60”時(shí),首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中( C ) A.有一個(gè)內(nèi)角大于60 B.有一個(gè)內(nèi)角小于60 C.每一個(gè)內(nèi)角都大于60 D.每一個(gè)內(nèi)角都小于60 2.在等腰梯形ABCD中,∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC,AD∥BC,則圖中的等腰三角形有( D ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 3.如圖,在43的正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A、B分別在格點(diǎn)上,在圖中確定格點(diǎn)C,則以A、B、C為頂點(diǎn)的等腰三角形有3個(gè). 4.用反證法證明等腰三角形的底角必為銳角. 證明:不妨設(shè)等腰三角形△ABC中,∠A為頂角,則分情況證明.①設(shè)∠B、∠C都是直角,則∠B+∠C=180,故∠A+∠B+∠C=180+∠A>180,這與三角形內(nèi)角和等于180矛盾;②設(shè)∠B、∠C都是鈍角,則∠B+∠C>180,故∠A+∠B+∠C>180,這與三角形內(nèi)角和等于180矛盾.綜上所述,假設(shè)①②錯(cuò)誤,所以∠B、∠C只能為銳角,即等腰三角形的底角必為銳角. 5.如圖所示,D為△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E,且BD=BE,求證:△ABC是等腰三角形. 證明:∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠EFC=90,∴∠A+∠D=90,∠C+∠1=90,∴∠A+∠D=∠C+∠1.∵BD=BE,∴∠2=∠D.∵∠1=∠2,∴∠1=∠D,∴∠A+∠D=∠C+∠D,∴∠A=∠C,∴AB=BC,∴△ABC是等腰三角形. 活動(dòng)3 拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué)) 【例3】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上,且BE=CF,BD=CE. (1)求證:△DEF是等腰三角形; (2)當(dāng)∠A=50時(shí),求∠DEF的度數(shù). 【互動(dòng)探索】(1)根據(jù)“等邊對(duì)等角”可得∠B=∠C,從而利用“邊角邊”證明△BDE≌△CEF,進(jìn)而根據(jù)“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”可得DE=EF,即可證得結(jié)論;(2)根據(jù)“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”可得∠BDE=∠CEF,從而得到∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE,再利用三角形的外角定理求出∠B=∠DEF,進(jìn)而求出∠DEF. 【解答】(1)證明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△BDE和△CEF中,∵ ∴△BDE≌△CEF,∴DE=EF,∴△DEF是等腰三角形. (2)∵△BDE≌△CEF,∴∠BDE=∠CEF,∴∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE.∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF,∴∠B=∠DEF.∵∠A=50,AB=AC,∴∠B=(180-∠A)=65,∴∠DEF=65. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))等腰三角形提供了很多相等的線段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段. 環(huán)節(jié)3 課堂小結(jié),當(dāng)堂達(dá)標(biāo) (學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng)) 1.等腰三角形的判定定理:有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(等角對(duì)等邊). 2.反證法的步驟:(1)假設(shè)結(jié)論不成立;(2)從假設(shè)出發(fā)推出矛盾;(3)假設(shè)不成立,則結(jié)論成立. 練習(xí)設(shè)計(jì) 請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)! 第4課時(shí) 等邊三角形的判定及含30角的直角三角形的性質(zhì) 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1.理解等邊三角形的判定定理及其證明,理解含有30角的直角三角形性質(zhì)及其證明,并能利用這些定理解決一些簡(jiǎn)單的問題. 2.經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程,建立初步的符號(hào)感,發(fā)展抽象思維. 二、重難點(diǎn)目標(biāo) 【教學(xué)重點(diǎn)】 等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明. 【教學(xué)難點(diǎn)】 理解并掌握含30角直角三角形的性質(zhì),能靈活運(yùn)用其解決有關(guān)問題. 教學(xué)過程 環(huán)節(jié)1 自學(xué)提綱,生成問題 【5 min閱讀】 閱讀教材P10~P12的內(nèi)容,完成下面練習(xí). 【3 min反饋】 1.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形. 2.在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. 3.等邊三角形中,兩條中線所夾的鈍角的度數(shù)為( A ) A.120 B.130 C.150 D.160 4.下列三角形:①有兩個(gè)角等于60;②有一個(gè)角等于60的等腰三角形;③三個(gè)外角(每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角)都相等的三角形;④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形.其中是等邊三角形的有( D ) A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④ 環(huán)節(jié)2 合作探究,解決問題 活動(dòng)1 小組討論(師生互學(xué)) 【例1】已知a、b、c是△ABC的三邊,且滿足關(guān)系式a2+c2=2ab+2bc-2b2,試說明△ABC是等邊三角形. 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)證明△ABC是等邊三角形應(yīng)從哪些角度考慮?(邊、角).結(jié)合已知條件,本題應(yīng)從邊的角度考慮證明△ABC是等邊三角形. 【證明】原關(guān)系式整理,得a2+c2-2ab-2bc+2b2=0, ∴a2+b2-2ab+c2-2bc+b2=0, ∴(a-b)2+(b-c)2=0, ∴a-b=0且b-c=0,即a=b且b=c, ∴a=b=c, ∴△ABC是等邊三角形. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))(1)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零,那么每一個(gè)非負(fù)數(shù)都等于零;(2)有兩邊相等的三角形是等腰三角形,三邊都相等的三角形是等邊三角形,等邊三角形是特殊的等腰三角形. 【例2】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠B=30,CD是斜邊AB上的高,AD=3 cm,則AB的長(zhǎng)度是( ) A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)在Rt△ABC中,∵CD是斜邊AB上的高,∴∠ADC=90,∴∠ACD=∠B=30,∴在Rt△ACD中,AC=2AD=6 cm,在Rt△ABC中,AB=2AC=12 cm.即AB的長(zhǎng)度是12 cm. 【答案】D 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))運(yùn)用含30角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)時(shí),要分清線段所在的直角三角形. 活動(dòng)2 鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué)) 1.若三角形中,三條中線都垂直于所對(duì)的邊,則此三角形是( D ) A.等腰三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形 2.下列說法錯(cuò)誤的是( C ) A.等邊三角形是等腰三角形 B.一個(gè)外角的平分線平行于一邊的三角形是等腰三角形 C.有兩個(gè)內(nèi)角不相等的三角形不是等腰三角形 D.有兩個(gè)內(nèi)角分別是70和40的三角形是等腰三角形 3.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,則∠B=60. 4.在△ABC中,∠B=∠C=15,AB=2 cm,CD⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則CD的長(zhǎng)度是1 cm. 5.如圖所示,P、Q是△ABC邊BC上的兩點(diǎn),且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度數(shù). 解:∵PA=PQ=AQ,∴△APQ是等邊三角形,∴∠APQ=∠PQA=∠QAP=60.∵PA=PB,∴∠B=∠PAB.又∵∠B+∠PAB=∠APQ=60,∴∠PBA=∠PAB=30.同理,∠QAC=30,∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30+60+30=120. 活動(dòng)3 拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué)) 【例3】如圖,在△EBD中,EB=ED,點(diǎn)C在BD上,CE=CD,BE⊥CE,A是CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AB=BC.試判斷△ABC的形狀,并證明你的結(jié)論. 【互動(dòng)探索】由CE=CD,EB=ED,根據(jù)“等邊對(duì)等角”及三角形外角性質(zhì),可得∠CBE=∠ECB.再由BE⊥CE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,可得∠ECB=60.又∵AB=BC,從而得出△ABC是等邊三角形. 【解答】△ABC是等邊三角形.證明如下: ∵CE=CD,∴∠CED=∠D. 又∵∠ECB=∠CED+∠D, ∴∠ECB=2∠D. ∵BE=DE,∴∠CBE=∠D, ∴∠ECB=2∠CBE,∴∠CBE=∠ECB. ∵BE⊥CE,∴∠CEB=90. 又∵∠ECB+∠CBE+∠CEB=180, ∴∠ECB+∠ECB+90=180, ∴∠ECB=60. 又∵AB=BC,∴△ABC是等邊三角形. 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng))(1)已知一個(gè)三角形中兩邊相等,要證明這個(gè)三角形是等邊三角形,有兩種方法:①證明另一邊也與這兩邊相等;②證明這個(gè)三角形中有一個(gè)角等于60.(2)已知一個(gè)三角形中有一個(gè)角等于60,要證明這個(gè)三角形是等邊三角形,有兩種方法:①證明另外兩個(gè)角也等于60;②證明這個(gè)三角形中有兩邊相等. 環(huán)節(jié)3 課堂小結(jié),當(dāng)堂達(dá)標(biāo) (學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評(píng)) 1.等邊三角形的判定定理: 2.含30角的直角三角形的性質(zhì)定理:在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. 練習(xí)設(shè)計(jì) 請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)!- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2019年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第1章 三角形的證明 等腰三角形教案 新版北師大版 2019 年春八 年級(jí) 數(shù)學(xué) 下冊(cè) 三角形 證明 等腰三角形 教案 新版 北師大
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