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標(biāo)準(zhǔn)仿真模擬練（一）
(120分鐘 150分)
第Ⅰ卷
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的)
1.條件甲:2
0,f(3)=
log23-13>1-13=23>0,即f(1)f(2)<0,所以函數(shù)f(x)=log2x-1x的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi).
5.執(zhí)行所示框圖,若輸入n=6,m=4,則輸出的p等于 ( )
A.120 B.240 C.360 D.720
【解析】選C.第一次循環(huán),得p=6-4+1=3,k=2;第二次循環(huán),得p=3(6-4+2)=12,k=3;第三次循環(huán),得p=12(6-4+3)=60,k=4;第四次循環(huán),得p=60(6-4+4)=360,k=5,這時(shí)滿足判斷框條件,退出循環(huán),輸出p值為360.
6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載:“今有羨除”.劉徽注:“羨除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”現(xiàn)有一個(gè)羨除如圖所示,四邊形ABCD,ABFE,CDEF均為等腰梯形,AB∥CD∥EF, AB=6,CD=8,EF=10, EF到平面ABCD的距離為3,CD與AB間的距離為10,則這個(gè)羨除的體積是 ( )
A.110 B.116 C.118 D.120
【解析】選D.如圖,過(guò)點(diǎn)A作AP⊥CD,AM⊥EF,過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥CD,BN⊥EF,垂足分別為P,M,Q,N,連接PM,QN,將一側(cè)的幾何體補(bǔ)到另一側(cè),組成一個(gè)直三棱柱,底面積為12103=15.棱柱的高為8,體積V=158=120.
7.已知{an}是等差數(shù)列,a1=-9,S3=S7,那么使其前n項(xiàng)和Sn最小的n是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】選B.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=d2n2+a1-d2n可表示為過(guò)原點(diǎn)的拋物線,又因?yàn)楸绢}中a1=-9<0, S3=S7,可表示如圖,由圖可知,n=3+72=5,是拋物線的對(duì)稱軸,所以n=5時(shí)Sn最小.
8.設(shè)A為不等式組x≤0,y≥0,y-x≤2所表示的平面區(qū)域,則當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時(shí),動(dòng)直線x+y=a掃過(guò)A中的那部分區(qū)域的面積為 ( )
A.34 B.1 C.2 D.74
【解析】選D.作出區(qū)域A為△OMN,當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時(shí),動(dòng)直線從l1變化到l2掃過(guò)A中區(qū)域?yàn)殛幱安糠?易知l2⊥MN,所以陰影部分面積S=1222-14=74.
9.在△ABC中,|AB|=3,|AC|=4,|BC|=5.點(diǎn)D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),AD=xAB+yAC,當(dāng)xy取最大值時(shí),|AD|的值為 ( )
A.4 B.3 C.52 D.125
【解析】選C.因?yàn)閨AB|=3,|AC|=4,|BC|=5,所以△ABC為直角三角形.如圖建立平面直角坐標(biāo)系,A(0,0),B(3,0),C(0,4),設(shè)D(a,b),由AD=xAB+yAC,得a=3x,b=4y,所以xy=ab12.
又因?yàn)镈在直線lBC:x3+y4=1上,所以a3+b4=1,則a3+b4≥2ab12.所以ab12≤14,即xy≤14,此時(shí)a=32,b=2,|AD|=322+22=52.
10.已知F為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),點(diǎn)A為雙曲線虛軸的一個(gè)頂點(diǎn),過(guò)F,A的直線與雙曲線的一條漸近線在y軸右側(cè)的交點(diǎn)為B,若FA=(2-1)AB,則此雙曲線的離心率是 ( )
A.2 B.3 C.22 D.5
【解析】選A.過(guò)F,A的直線方程為y=bc(x+c)?、?
一條漸近線方程為y=bax?、?
聯(lián)立①②,解得交點(diǎn)Bacc-a,bcc-a,由FA=(2-1)AB,得c=(2-1)acc-a,c=2a,e=2.
11.已知函數(shù)f(x)=|lg(-x)|,x<0,x2-6x+4,x≥0,若函數(shù)F(x)=f2(x)-bf(x)+1有8個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是 ( )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(2,8)
C.2,174 D.(0,8)
【解析】選C 函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:
要使方程f2(x)-bf(x)+1=0有8個(gè)不同實(shí)數(shù)根,令f(x)=t,意味著00或gb2<0,00(不論t如何變化都有圖象恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)),所以只需g(4)≥0,求得b≤174,綜上可得b∈2,174.
12.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF,若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=45,則C的離心率為 ( )
A.35 B.57 C.45 D.67
【解析】選B.如圖所示,
在△AFB中,|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=45,
由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF=100+64-210845=36,
所以|AF|=6,∠BFA=90,
設(shè)F′為橢圓的右焦點(diǎn),連接BF′,AF′.
根據(jù)對(duì)稱性可得四邊形AFBF′是矩形.
所以|BF′|=6,|FF′|=10,
所以2a=8+6,2c=10,解得a=7,c=5,
所以e=ca=57.
第Ⅱ卷
本卷包含必考題和選考題兩部分.第13題～第21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22題～第23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分)
13.設(shè)U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(?UA)∩B=,則m=_______________.
【解析】A={-2,-1},由(?UA)∩B=,得B?A,
因?yàn)榉匠蘹2+(m+1)x+m=0的判別式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,所以B≠.
所以B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},則m=1;
②若B={-2},則應(yīng)有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)(-2)=4,這兩式不能同時(shí)成立,所以B≠{-2};
③若B={-1,-2},則應(yīng)有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1) (-2)=2,由這兩式得m=2.
經(jīng)檢驗(yàn)知m=1和m=2符合條件.所以m=1或2.
答案:1或2
14.在△ABC中,AB=1,AC=3,B=60,則cos C=____________.
【解析】因?yàn)锳C>AB,所以C1.
答案:(1,+∞)
16.如圖所示,放置的邊長(zhǎng)為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng),點(diǎn)B恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn).設(shè)頂點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程是y=f(x),則對(duì)函數(shù)y=f(x)有下列判斷:①若-2≤x≤2,則函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù);②對(duì)任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞減;④函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù).
其中判斷正確的序號(hào)是____________.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))
【解析】 當(dāng)-2≤x≤-1時(shí),P的軌跡是以A為圓心,半徑為1的14圓,
當(dāng)-1≤x≤1時(shí),P的軌跡是以B為圓心,半徑為2的14圓,
當(dāng)1≤x≤2時(shí),P的軌跡是以C為圓心,半徑為1的14圓,
當(dāng)2≤x≤3時(shí),P的軌跡是以A為圓心,半徑為1的14圓,
所以函數(shù)的周期是4,因此最終構(gòu)成的圖象如圖:
①根據(jù)圖象的對(duì)稱性可知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),所以①正確;
②由圖象可知函數(shù)的周期是4,所以②正確;
③由圖象可判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,所以③錯(cuò)誤;
④由圖象可判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù),所以④正確.
答案:①②④
三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且
2cos Acos C(tan Atan C-1)=1.
(1)求B的大小.
(2)若a+c=332,b=3,求△ABC的面積.
【解析】(1)由2cos Acos C(tan Atan C-1)=1,
得2cos Acos CsinAsinCcosAcosC-1=1,
所以2(sin Asin C-cos Acos C)=1,所以cos(A+C)=-12,所以cos B=12,又0b>0),設(shè)c>0,c2=a2-b2,由題意,知2b=2,ca=22,所以a=1,b=c=22.故橢圓C的方程為y2+x212=1.即y2+2x2=1.
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),由題意求得m=12;
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k≠0),l與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+m,2x2+y2=1,得(k2+2)x2+2kmx+m2-1=0,
Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0,(*)x1+x2=-2kmk2+2,x1x2=m2-1k2+2.
因?yàn)锳P=3 PB,所以-x1=3x2.
所以x1+x2=-2x2,x1x2=-3x22.所以3(x1+x2)2+4x1x2=0.
所以3-2kmk2+22+4m2-1k2+2=0.整理得4k2m2+2m2-k2-2=0,即k2(4m2-1)+(2m2-2)=0.
當(dāng)m2=14時(shí),上式不成立;當(dāng)m2≠14時(shí),k2=2-2m24m2-1,由(*)式,得k2>2m2-2,又k≠0,
所以k2=2-2m24m2-1>0.解得-10,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0,x∈0,12a時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,x∈12a,+∞時(shí),
g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.
所以當(dāng)a≤0時(shí),g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);
當(dāng)a>0時(shí),g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,12a,單調(diào)遞減區(qū)間為12a,+∞.
(2)由(1)知,f′(1)=0.
①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.
②當(dāng)01,由(1)知f′(x)在0,12a內(nèi)單調(diào)遞增,可得當(dāng)x∈(0,1)時(shí),
f′(x)<0,
當(dāng)x∈1,12a時(shí),f′(x)>0.所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在1,12a內(nèi)單調(diào)遞增.所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.
③當(dāng)a=12時(shí),12a=1,f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.所以當(dāng)
x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減,不合題意.
④當(dāng)a>12時(shí),0<12a<1,當(dāng)x∈12a,1時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)在x=1處取極大值,符合題意 .
綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>12.
請(qǐng)考生在第22、23二題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.
22.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是直線2x+2y-1=0上的一點(diǎn),Q是射線OP上的一點(diǎn),滿足|OP||OQ|=1.
(1)求Q點(diǎn)的軌跡.
(2)設(shè)點(diǎn)M(x,y)是(1)中軌跡上任意一點(diǎn),求x+7y的最大值.
【解析】(1)以O(shè)為極點(diǎn),Ox 為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)Q,P的極坐標(biāo)分別為
(ρ,θ),(ρ1,θ),由題意ρρ1=1,ρ≠0,得ρ1=1ρ,所以點(diǎn)P直角坐標(biāo)為cosθρ,sinθρ,
P在直線2x+2y-1=0上,所以2cosθρ+2sinθρ-1=0,
ρ=2cos θ+2sin θ,化成直角坐標(biāo)方程得(x-1)2+(y-1)2=2(x≠0,且y≠0),所以Q點(diǎn)的軌跡是以(1,1)為圓心,2為半徑的圓(原點(diǎn)除外).
(2)Q點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為x=1+2cosφy=1+2sinφ(φ 為參數(shù),φ≠5π4),則x+7y=1+2cos φ+7+72sin φ=8+10sin(φ+α),其中tan α=17,所以x+7y的最大值是18.
23.(本題滿分10分)選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x-1|.
(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8.
(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求證:f(ab)>|a|fba.
【解析】(1)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=-2x-2,x<-3,4,-3≤x≤1,2x+2,x>1
當(dāng)x<-3時(shí),由-2x-2≥8,解得x≤-5;
當(dāng)-3≤x≤1時(shí),f(x)≥8不成立;
當(dāng)x>1時(shí),由2x+2≥8,解得x≥3;
所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集為{x|x≤-5或x≥3}.
(2)f(ab)>|a|fba,
即|ab-1|>|a-b|.
因?yàn)閨a|<1,|b|<1,
所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,
所以|ab-1|>|a-b|,故所證不等式成立.
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