深圳大學-常微分方程演示文檔

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.,§4.3高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法,.,一、可降階的一些方程類型,n階微分方程的一般形式:,1 不顯含未知函數(shù)x,,或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到k-1(k>1)階導數(shù)的方程是,解得,積分,即,.,解題步驟:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解,即,第三步:,對上式求k次積分,即得原方程的通解,.,解,令,則方程化為,這是一階方程,其通解為,即有,對上式積分4次, 得原方程的通解為,例1,.,2 不顯含自變量t的方程,,一般形式:,因為,.,用數(shù)學歸納法易得:,將這些表達式代入(4.59)可得:,即有新方程,它比原方程降低一階,.,解題步驟:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解,第三步:,解方程,即得原方程的通解,.,解,令,則方程化為,從而可得,及,這兩方程的全部解是,例2,再代回原來變量得到,所以得原方程的通解為,.,3 已知齊線性方程的非零特解,進行降階,的非零解,令,則,代入(4.69)得,即,.,引入新的未知函數(shù),方程變?yōu)?是一階線性方程,解之得,因而,則,.,因此 (4.69)的通解為,.,解題步驟:,第一步:,第二步:,解之得,即,.,第三步:,第四步:,(4.69)的通解為,注,一般求(4.69)的解直接用公式(4.70),.,解,這里,由(4.70)得,例3,.,.,代入(4.2)得,.,事實上,.,若,則,即,因此,對(4.67)仿以上做法,,.,.,二、二階線性方程的冪級數(shù)解法,對二階變系數(shù)齊線性方程,其求解問題,歸結為尋求它的一個非零解.,下面考慮該方程及初始條件,用級數(shù)表示解?,.,定理10,.,定理11,.,例4,解,設級數(shù),為方程的解,,由初始條件得:,因而,將它代入方程,合并同類項,并令各項系數(shù)等于零,得,.,即,因而,也即,.,故方程的解為,.,例5,解,將方程改寫為,易見,它滿足定理11條件,且,.,將(4.75)代入(4.74)中,得,.,由(4.76)得,即,.,從而可得,.,因此(4.77)變?yōu)?.,若取,則可得(4.74)的另一個特解,由達朗貝爾判別法,對任x值(4.77),(4.78)收斂.,.,因而(4.74)的通解為,因此,不能象上面一樣求得通解;,因此,(4.74)的通解為,.,例6,解,代入方程得,.,代回原來的變量得原方程的通解為,.,作業(yè),P165 2,5, P165 8,10,