中考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編 考點(diǎn)36 相似三角形(含解析).doc
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xx中考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編:考點(diǎn)36 相似三角形 一.選擇題(共28小題) 1.(xx?重慶)制作一塊3m2m長(zhǎng)方形廣告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情況下,若將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍,那么擴(kuò)大后長(zhǎng)方形廣告牌的成本是( ?。? A.360元 B.720元 C.1080元 D.2160元 【分析】根據(jù)題意求出長(zhǎng)方形廣告牌每平方米的成本,根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出擴(kuò)大后長(zhǎng)方形廣告牌的面積,計(jì)算即可. 【解答】解:3m2m=6m2, ∴長(zhǎng)方形廣告牌的成本是1206=20元/m2, 將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍, 則面積擴(kuò)大為原來(lái)的9倍, ∴擴(kuò)大后長(zhǎng)方形廣告牌的面積=96=54m2, ∴擴(kuò)大后長(zhǎng)方形廣告牌的成本是5420=1080m2, 故選:C. 2.(xx?玉林)兩三角形的相似比是2:3,則其面積之比是( ?。? A.: B.2:3 C.4:9 D.8:27 【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可. 【解答】解:∵兩三角形的相似比是2:3, ∴其面積之比是4:9, 故選:C. 3.(xx?重慶)要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其中一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5cm,6cm和9cm,另一個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為2.5cm,則它的最長(zhǎng)邊為( ?。? A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm 【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解可得. 【解答】解:設(shè)另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為xcm, 根據(jù)題意,得: =, 解得:x=4.5, 即另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為4.5cm, 故選:C. 4.(xx?內(nèi)江)已知△ABC與△A1B1C1相似,且相似比為1:3,則△ABC與△A1B1C1的面積比為( ?。? A.1:1 B.1:3 C.1:6 D.1:9 【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方,求出即可. 【解答】解:已知△ABC與△A1B1C1相似,且相似比為1:3, 則△ABC與△A1B1C1的面積比為1:9, 故選:D. 5.(xx?銅仁市)已知△ABC∽△DEF,相似比為2,且△ABC的面積為16,則△DEF的面積為( ?。? A.32 B.8 C.4 D.16 【分析】由△ABC∽△DEF,相似比為2,根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方,即可得△ABC與△DEF的面積比為4,又由△ABC的面積為16,即可求得△DEF的面積. 【解答】解:∵△ABC∽△DEF,相似比為2, ∴△ABC與△DEF的面積比為4, ∵△ABC的面積為16, ∴△DEF的面積為:16=4. 故選:C. 6.(xx?重慶)已知△ABC∽△DEF,且相似比為1:2,則△ABC與△DEF的面積比為( ?。? A.1:4 B.4:1 C.1:2 D.2:1 【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計(jì)算即可. 【解答】解:∵△ABC∽△DEF,且相似比為1:2, ∴△ABC與△DEF的面積比為1:4, 故選:A. 7.(xx?臨安區(qū))如圖,小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是( ) A. B. C. D. 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠ACB,根據(jù)相似三角形的判定定理判斷即可. 【解答】解:由正方形的性質(zhì)可知,∠ACB=180﹣45=135, A、C、D圖形中的鈍角都不等于135, 由勾股定理得,BC=,AC=2, 對(duì)應(yīng)的圖形B中的邊長(zhǎng)分別為1和, ∵=, ∴圖B中的三角形(陰影部分)與△ABC相似, 故選:B. 8.(xx?廣東)在△ABC中,點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn),則△ADE與△ABC的面積之比為( ?。? A. B. C. D. 【分析】由點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn),可得出DE為△ABC的中位線(xiàn),進(jìn)而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC,再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出△ADE與△ABC的面積之比. 【解答】解:∵點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn), ∴DE為△ABC的中位線(xiàn), ∴DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴=()2=. 故選:C. 9.(xx?自貢)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),若△ADE的面積為4,則△ABC的面積為( ) A.8 B.12 C.14 D.16 【分析】直接利用三角形中位線(xiàn)定理得出DE∥BC,DE=BC,再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案. 【解答】解:∵在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn), ∴DE∥BC,DE=BC, ∴△ADE∽△ABC, ∵=, ∴=, ∵△ADE的面積為4, ∴△ABC的面積為:16, 故選:D. 10.(xx?崇明縣一模)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E在邊DC上,DE:EC=3:1,連接AE交BD于點(diǎn)F,則△DEF的面積與△BAF的面積之比為( ?。? A.3:4 B.9:16 C.9:1 D.3:1 【分析】可證明△DFE∽△BFA,根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案. 【解答】解:∵四邊形ABCD為平行四邊形, ∴DC∥AB, ∴△DFE∽△BFA, ∵DE:EC=3:1, ∴DE:DC=3:4, ∴DE:AB=3:4, ∴S△DFE:S△BFA=9:16. 故選:B. 11.(xx?隨州)如圖,平行于BC的直線(xiàn)DE把△ABC分成面積相等的兩部分,則的值為( ?。? A.1 B. C. 1 D. 【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合S△ADE=S四邊形BCED,可得出=,結(jié)合BD=AB﹣AD即可求出的值,此題得解. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC, ∴()2=. ∵S△ADE=S四邊形BCED, ∴=, ∴===﹣1. 故選:C. 12.(xx?哈爾濱)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,連接AD,點(diǎn)G在線(xiàn)段AD上,GE∥BD,且交AB于點(diǎn)E,GF∥AC,且交CD于點(diǎn)F,則下列結(jié)論一定正確的是( ) A. = B. = C. = D. = 【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可找出==,此題得解. 【解答】解:∵GE∥BD,GF∥AC, ∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA, ∴=, =, ∴==. 故選:D. 13.(xx?遵義)如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90,AB=5,BC=10,連接AC、BD,以BD為直徑的圓交AC于點(diǎn)E.若DE=3,則AD的長(zhǎng)為( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】先求出AC,進(jìn)而判斷出△ADF∽△CAB,即可設(shè)DF=x,AD=x,利用勾股定理求出BD,再判斷出△DEF∽△DBA,得出比例式建立方程即可得出結(jié)論. 【解答】解:如圖,在Rt△ABC中,AB=5,BC=10, ∴AC=5 過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F, ∴∠AFD=∠CBA, ∵AD∥BC, ∴∠DAF=∠ACB, ∴△ADF∽△CAB, ∴, ∴, 設(shè)DF=x,則AD=x, 在Rt△ABD中,BD==, ∵∠DEF=∠DBA,∠DFE=∠DAB=90, ∴△DEF∽△DBA, ∴, ∴, ∴x=2, ∴AD=x=2, 故選:D. 14.(xx?揚(yáng)州)如圖,點(diǎn)A在線(xiàn)段BD上,在BD的同側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD與BE、AE分別交于點(diǎn)P,M.對(duì)于下列結(jié)論: ①△BAE∽△CAD;②MP?MD=MA?ME;③2CB2=CP?CM.其中正確的是( ?。? A.①②③ B.① C.①② D.②③ 【分析】(1)由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三邊份數(shù)關(guān)系可證; (2)通過(guò)等積式倒推可知,證明△PAM∽△EMD即可; (3)2CB2轉(zhuǎn)化為AC2,證明△ACP∽△MCA,問(wèn)題可證. 【解答】解:由已知:AC=AB,AD=AE ∴ ∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正確 ∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD ∴ ∴MP?MD=MA?ME 所以②正確 ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD ∴P、E、D、A四點(diǎn)共圓 ∴∠APD=∠EAD=90 ∵∠CAE=180﹣∠BAC﹣∠EAD=90 ∴△CAP∽△CMA ∴AC2=CP?CM ∵AC=AB ∴2CB2=CP?CM 所以③正確 故選:A. 15.(xx?貴港)如圖,在△ABC中,EF∥BC,AB=3AE,若S四邊形BCFE=16,則S△ABC=( ?。? A.16 B.18 C.20 D.24 【分析】由EF∥BC,可證明△AEF∽△ABC,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出則S△ABC的值. 【解答】解:∵EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∵AB=3AE, ∴AE:AB=1:3, ∴S△AEF:S△ABC=1:9, 設(shè)S△AEF=x, ∵S四邊形BCFE=16, ∴=, 解得:x=2, ∴S△ABC=18, 故選:B. 16.(xx?孝感)如圖,△ABC是等邊三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90,AE⊥BD于點(diǎn)E,連CD分別交AE,AB于點(diǎn)F,G,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD交BD于點(diǎn)H.則下列結(jié)論:①∠ADC=15;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△CBG;⑤AF=(﹣1)EF.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( ?。? A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】①由等邊三角形與等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且頂角∠CAD=150,據(jù)此可判斷;②求出∠AFP和∠FAG度數(shù),從而得出∠AGF度數(shù),據(jù)此可判斷;③證△ADF≌△BAH即可判斷;④由∠AFG=∠CBG=60、∠AGF=∠CGB即可得證;⑤設(shè)PF=x,則AF=2x、AP==x,設(shè)EF=a,由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x,根據(jù)△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x,據(jù)此得出EH=a,證△PAF∽△EAH得=,從而得出a與x的關(guān)系即可判斷. 【解答】解:∵△ABC為等邊三角形,△ABD為等腰直角三角形, ∴∠BAC=60、∠BAD=90、AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45, ∴△CAD是等腰三角形,且頂角∠CAD=150, ∴∠ADC=15,故①正確; ∵AE⊥BD,即∠AED=90, ∴∠DAE=45, ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60,∠FAG=45, ∴∠AGF=75, 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG,故②錯(cuò)誤; 記AH與CD的交點(diǎn)為P, 由AH⊥CD且∠AFG=60知∠FAP=30, 則∠BAH=∠ADC=15, 在△ADF和△BAH中, ∵, ∴△ADF≌△BAH(ASA), ∴DF=AH,故③正確; ∵∠AFG=∠CBG=60,∠AGF=∠CGB, ∴△AFG∽△CBG,故④正確; 在Rt△APF中,設(shè)PF=x,則AF=2x、AP==x, 設(shè)EF=a, ∵△ADF≌△BAH, ∴BH=AF=2x, △ABE中,∵∠AEB=90、∠ABE=45, ∴BE=AE=AF+EF=a+2x, ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a, ∵∠APF=∠AEH=90,∠FAP=∠HAE, ∴△PAF∽△EAH, ∴=,即=, 整理,得:2x2=(﹣1)ax, 由x≠0得2x=(﹣1)a,即AF=(﹣1)EF,故⑤正確; 故選:B. 17.(xx?瀘州)如圖,正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別在邊AD,CD上,AF,BE相交于點(diǎn)G,若AE=3ED,DF=CF,則的值是( ?。? A. B. C. D. 【分析】如圖作,F(xiàn)N∥AD,交AB于N,交BE于M.設(shè)DE=a,則AE=3a,利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理解決問(wèn)題即可; 【解答】解:如圖作,F(xiàn)N∥AD,交AB于N,交BE于M. ∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB∥CD,∵FN∥AD, ∴四邊形ANFD是平行四邊形, ∵∠D=90, ∴四邊形ANFD是解析式, ∵AE=3DE,設(shè)DE=a,則AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a, ∵AN=BN,MN∥AE, ∴BM=ME, ∴MN=a, ∴FM=a, ∵AE∥FM, ∴===, 故選:C. 18.(xx?臨安區(qū))如圖,在△ABC中,DE∥BC,DE分別與AB,AC相交于點(diǎn)D,E,若AD=4,DB=2,則DE:BC的值為( ?。? A. B. C. D. 【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交,所截得的三角形與原三角形相似,再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解則可. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴===. 故選:A. 19.(xx?恩施州)如圖所示,在正方形ABCD中,G為CD邊中點(diǎn),連接AG并延長(zhǎng)交BC邊的延長(zhǎng)線(xiàn)于E點(diǎn),對(duì)角線(xiàn)BD交AG于F點(diǎn).已知FG=2,則線(xiàn)段AE的長(zhǎng)度為( ?。? A.6 B.8 C.10 D.12 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出AB∥CD,進(jìn)而可得出△ABF∽△GDF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出==2,結(jié)合FG=2可求出AF、AG的長(zhǎng)度,由CG∥AB、AB=2CG可得出CG為△EAB的中位線(xiàn),再利用三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)可求出AE的長(zhǎng)度,此題得解. 【解答】解:∵四邊形ABCD為正方形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF, ∴△ABF∽△GDF, ∴==2, ∴AF=2GF=4, ∴AG=6. ∵CG∥AB,AB=2CG, ∴CG為△EAB的中位線(xiàn), ∴AE=2AG=12. 故選:D. 20.(xx?杭州)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AB邊上,DE∥BC,與邊AC交于點(diǎn)E,連結(jié)BE.記△ADE,△BCE的面積分別為S1,S2( ) A.若2AD>AB,則3S1>2S2 B.若2AD>AB,則3S1<2S2 C.若2AD<AB,則3S1>2S2 D.若2AD<AB,則3S1<2S2 【分析】根據(jù)題意判定△ADE∽△ABC,由相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答. 【解答】解:∵如圖,在△ABC中,DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴=()2, ∴若2AD>AB,即>時(shí),>, 此時(shí)3S1>S2+S△BDE,而S2+S△BDE<2S2.但是不能確定3S1與2S2的大小, 故選項(xiàng)A不符合題意,選項(xiàng)B不符合題意. 若2AD<AB,即<時(shí),<, 此時(shí)3S1<S2+S△BDE<2S2, 故選項(xiàng)C不符合題意,選項(xiàng)D符合題意. 故選:D. 21.(xx?永州)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn),∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,則邊AC的長(zhǎng)為( ?。? A.2 B.4 C.6 D.8 【分析】只要證明△ADC∽△ACB,可得=,即AC2=AD?AB,由此即可解決問(wèn)題; 【解答】解:∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB, ∴△ADC∽△ACB, ∴=, ∴AC2=AD?AB=28=16, ∵AC>0, ∴AC=4, 故選:B. 22.(xx?香坊區(qū))如圖,點(diǎn)D、E、F分別是△ABC的邊AB、AC、BC上的點(diǎn),若DE∥BC,EF∥AB,則下列比例式一定成立的是( ) A. = B. = C. = D. = 【分析】用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理和相似三角形的判定即可得出結(jié)論. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴, ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴, ∵EF∥AB, ∴, ∵EF∥AB, ∴△CEF∽△CAB, ∴, ∵DE∥BC,EF∥AB, ∴四邊形BDEF是平行四邊形, ∴DE=BF,EF=BD, ∴,,,, ∴正確, 故選:C. 23.(xx?荊門(mén))如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,E、F為CD邊的兩個(gè)三等分點(diǎn),連接AF、BE交于點(diǎn)G,則S△EFG:S△ABG=( ?。? A.1:3 B.3:1 C.1:9 D.9:1 【分析】利用相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方即可解決問(wèn)題; 【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴CD=AB,CD∥AB, ∵DE=EF=FC, ∴EF:AB=1:3, ∴△EFG∽△BAG, ∴=()2=, 故選:C. 24.(xx?達(dá)州)如圖,E,F(xiàn)是平行四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上兩點(diǎn),AE=CF=AC.連接DE,DF并延長(zhǎng),分別交AB,BC于點(diǎn)G,H,連接GH,則的值為( ) A. B. C. D.1 【分析】首先證明AG:AB=CH:BC=1:3,推出GH∥AC,推出△BGH∽△BAC,可得==()2=()2=, =,由此即可解決問(wèn)題. 【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AD=BC,DC=AB, ∵AC=CA, ∴△ADC≌△CBA, ∴S△ADC=S△ABC, ∵AE=CF=AC,AG∥CD,CH∥AD, ∴AG:DC=AE:CE=1:3,CH:AD=CF:AF=1:3, ∴AG:AB=CH:BC=1:3, ∴GH∥AC, ∴△BGH∽△BAC, ∴==()2=()2=, ∵=, ∴==, 故選:C. 25.(xx?南充)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,P為CD的中點(diǎn),連結(jié)AP,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E,延長(zhǎng)CE交AD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)H,連接HF.下列結(jié)論正確的是( ?。? A.CE= B.EF= C.cos∠CEP= D.HF2=EF?CF 【分析】首先證明BH=AH,推出EG=BG,推出CE=CB,再證明△CEH≌△CBH,Rt△HFE≌Rt△HFA,利用全等三角形的性質(zhì)即可一一判斷. 【解答】解:連接EH. ∵四邊形ABCD是正方形, ∴CD=AB═BC=AD=2,CD∥AB, ∵BE⊥AP,CH⊥BE, ∴CH∥PA, ∴四邊形CPAH是平行四邊形, ∴CP=AH, ∵CP=PD=1, ∴AH=PC=1, ∴AH=BH, 在Rt△ABE中,∵AH=HB, ∴EH=HB,∵HC⊥BE, ∴BG=EG, ∴CB=CE=2,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤, ∵CH=CH,CB=CE,HB=HE, ∴△ABC≌△CEH, ∴∠CBH=∠CEH=90, ∵HF=HF,HE=HA, ∴Rt△HFE≌Rt△HFA, ∴AF=EF,設(shè)EF=AF=x, 在Rt△CDF中,有22+(2﹣x)2=(2+x)2, ∴x=, ∴EF=,故B錯(cuò)誤, ∵PA∥CH, ∴∠CEP=∠ECH=∠BCH, ∴cos∠CEP=cos∠BCH==,故C錯(cuò)誤. ∵HF=,EF=,F(xiàn)C= ∴HF2=EF?FC,故D正確, 故選:D. 26.(xx?臨沂)如圖.利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度.已知標(biāo)桿BE高1.2m,測(cè)得AB=1.6m.BC=12.4m.則建筑物CD的高是( ?。? A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m 【分析】先證明∴△ABE∽△ACD,則利用相似三角形的性質(zhì)得=,然后利用比例性質(zhì)求出CD即可. 【解答】解:∵EB∥CD, ∴△ABE∽△ACD, ∴=,即=, ∴CD=10.5(米). 故選:B. 27.(xx?長(zhǎng)春)《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作,成書(shū)于約一千五百年前,其中有首歌謠:今有竿不知其長(zhǎng),量得影長(zhǎng)一丈五尺,立一標(biāo)桿,長(zhǎng)一尺五寸,影長(zhǎng)五寸,問(wèn)竿長(zhǎng)幾何?意即:有一根竹竿不知道有多長(zhǎng),量出它在太陽(yáng)下的影子長(zhǎng)一丈五尺,同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿,它的影長(zhǎng)五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),則竹竿的長(zhǎng)為( ?。? A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺 【分析】根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比可得出結(jié)論. 【解答】解:設(shè)竹竿的長(zhǎng)度為x尺, ∵竹竿的影長(zhǎng)=一丈五尺=15尺,標(biāo)桿長(zhǎng)=一尺五寸=1.5尺,影長(zhǎng)五寸=0.5尺, ∴,解得x=45(尺). 故選:B. 28.(xx?紹興)學(xué)校門(mén)口的欄桿如圖所示,欄桿從水平位置BD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分別為B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為( ?。? A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5m 【分析】由∠ABO=∠CDO=90、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO,據(jù)此得=,將已知數(shù)據(jù)代入即可得. 【解答】解:∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠ABO=∠CDO=90, 又∵∠AOB=∠COD, ∴△ABO∽△CDO, 則=, ∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m, ∴=, 解得:CD=0.4, 故選:C. 二.填空題(共7小題) 29.(xx?邵陽(yáng))如圖所示,點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),連接AE,交CD于點(diǎn)F,連接BF.寫(xiě)出圖中任意一對(duì)相似三角形: △ADF∽△ECF?。? 【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥CE,則根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷△ADF∽△ECF. 【解答】解:∵四邊形ABCD為平行四邊形, ∴AD∥CE, ∴△ADF∽△ECF. 故答案為△ADF∽△ECF. 30.(xx?北京)如圖,在矩形ABCD中,E是邊AB的中點(diǎn),連接DE交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)F,若AB=4,AD=3,則CF的長(zhǎng)為 ?。? 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出AB∥CD,進(jìn)而可得出∠FAE=∠FCD,結(jié)合∠AFE=∠CFD(對(duì)頂角相等)可得出△AFE∽△CFD,利用相似三角形的性質(zhì)可得出==2,利用勾股定理可求出AC的長(zhǎng)度,再結(jié)合CF=?AC,即可求出CF的長(zhǎng). 【解答】解:∵四邊形ABCD為矩形, ∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD, ∴∠FAE=∠FCD, 又∵∠AFE=∠CFD, ∴△AFE∽△CFD, ∴==2. ∵AC==5, ∴CF=?AC=5=. 故答案為:. 31.(xx?包頭)如圖,在?ABCD中,AC是一條對(duì)角線(xiàn),EF∥BC,且EF與AB相交于點(diǎn)E,與AC相交于點(diǎn)F,3AE=2EB,連接DF.若S△AEF=1,則S△ADF的值為 ?。? 【分析】由3AE=2EB可設(shè)AE=2a、BE=3a,根據(jù)EF∥BC得=()2=,結(jié)合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=,再由==知=,繼而根據(jù)S△ADF=S△ADC可得答案. 【解答】解:∵3AE=2EB, ∴可設(shè)AE=2a、BE=3a, ∵EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴=()2=()2=, ∵S△AEF=1, ∴S△ABC=, ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴S△ADC=S△ABC=, ∵EF∥BC, ∴===, ∴==, ∴S△ADF=S△ADC==, 故答案為:. 32.(xx?資陽(yáng))已知:如圖,△ABC的面積為12,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn),則四邊形BCED的面積為 9?。? 【分析】設(shè)四邊形BCED的面積為x,則S△ADE=12﹣x,由題意知DE∥BC且DE=BC,從而得=()2,據(jù)此建立關(guān)于x的方程,解之可得. 【解答】解:設(shè)四邊形BCED的面積為x,則S△ADE=12﹣x, ∵點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn), ∴DE是△ABC的中位線(xiàn), ∴DE∥BC,且DE=BC, ∴△ADE∽△ABC, 則=()2,即=, 解得:x=9, 即四邊形BCED的面積為9, 故答案為:9. 33.(xx?泰安)《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,在“勾股”章中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“今有邑方二百步,各中開(kāi)門(mén),出東門(mén)十五步有木,問(wèn):出南門(mén)幾步面見(jiàn)木?” 用今天的話(huà)說(shuō),大意是:如圖,DEFG是一座邊長(zhǎng)為200步(“步”是古代的長(zhǎng)度單位)的正方形小城,東門(mén)H位于GD的中點(diǎn),南門(mén)K位于ED的中點(diǎn),出東門(mén)15步的A處有一樹(shù)木,求出南門(mén)多少步恰好看到位于A處的樹(shù)木(即點(diǎn)D在直線(xiàn)AC上)?請(qǐng)你計(jì)算KC的長(zhǎng)為 步. 【分析】證明△CDK∽△DAH,利用相似三角形的性質(zhì)得=,然后利用比例性質(zhì)可求出CK的長(zhǎng). 【解答】解:DH=100,DK=100,AH=15, ∵AH∥DK, ∴∠CDK=∠A, 而∠CKD=∠AHD, ∴△CDK∽△DAH, ∴=,即=, ∴CK=. 答:KC的長(zhǎng)為步. 故答案為. 34.(xx?岳陽(yáng))《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有下列問(wèn)題:“今有勾五步,股十二步,問(wèn)勾中容方幾何?”其意思為:“今有直角三角形,勾(短直角邊)長(zhǎng)為5步,股(長(zhǎng)直角邊)長(zhǎng)為12步,問(wèn)該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是多少步?”該問(wèn)題的答案是 步. 【分析】如圖1,根據(jù)正方形的性質(zhì)得:DE∥BC,則△ADE∽△ACB,列比例式可得結(jié)論;如圖2,同理可得正方形的邊長(zhǎng),比較可得最大值. 【解答】解:如圖1,∵四邊形CDEF是正方形, ∴CD=ED,DE∥CF, 設(shè)ED=x,則CD=x,AD=12﹣x, ∵DE∥CF, ∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B, ∴△ADE∽△ACB, ∴, ∴, x=, 如圖2,四邊形DGFE是正方形, 過(guò)C作CP⊥AB于P,交DG于Q, 設(shè)ED=x, S△ABC=AC?BC=AB?CP, 125=13CP, CP=, 同理得:△CDG∽△CAB, ∴, ∴, x=, ∴該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是(步), 故答案為:. 35.(xx?吉林)如圖是測(cè)量河寬的示意圖,AE與BC相交于點(diǎn)D,∠B=∠C=90,測(cè)得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河寬AB= 100 m. 【分析】由兩角對(duì)應(yīng)相等可得△BAD∽△CED,利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距離AB. 【解答】解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90, ∴△ABD∽△ECD, ∴,, 解得:AB=(米). 故答案為:100. 三.解答題(共15小題) 36.(xx?張家界)如圖,點(diǎn)P是⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),且AB=4,點(diǎn)M為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),射線(xiàn)PM與⊙O交于點(diǎn)N(不與M重合) (1)當(dāng)M在什么位置時(shí),△MAB的面積最大,并求岀這個(gè)最大值; (2)求證:△PAN∽△PMB. 【分析】(1)當(dāng)M在弧AB中點(diǎn)時(shí),三角形MAB面積最大,此時(shí)OM與AB垂直,求出此時(shí)三角形面積最大值即可; (2)由同弧所對(duì)的圓周角相等及公共角,利用兩對(duì)角相等的三角形相似即可得證. 【解答】解:(1)當(dāng)點(diǎn)M在的中點(diǎn)處時(shí),△MAB面積最大,此時(shí)OM⊥AB, ∵OM=AB=4=2, ∴S△ABM=AB?OM=42=4; (2)∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P, ∴△PAN∽△PMB. 37.(xx?株洲)如圖,在Rt△ABM和Rt△ADN的斜邊分別為正方形的邊AB和AD,其中AM=AN. (1)求證:Rt△ABM≌Rt△AND; (2)線(xiàn)段MN與線(xiàn)段AD相交于T,若AT=,求tan∠ABM的值. 【分析】(1)利用HL證明即可; (2)想辦法證明△DNT∽△AMT,可得由AT=,推出,在Rt△ABM中,tan∠ABM=. 【解答】解:(1)∵AD=AB,AM=AN,∠AMB=∠AND=90 ∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL). (2)由Rt△ABM≌Rt△AND易得:∠DAN=∠BAM,DN=BM ∵∠BAM+∠DAM=90;∠DAN+∠ADN=90 ∴∠DAM=∠AND ∴ND∥AM ∴△DNT∽△AMT ∴ ∵AT=, ∴ ∵Rt△ABM ∴tan∠ABM=. 38.(xx?大慶)如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)E為線(xiàn)段OB上一點(diǎn)(不與O,B重合),作EC⊥OB,交⊙O于點(diǎn)C,作直徑CD,過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P,作AF⊥PC于點(diǎn)F,連接CB. (1)求證:AC平分∠FAB; (2)求證:BC2=CE?CP; (3)當(dāng)AB=4且=時(shí),求劣弧的長(zhǎng)度. 【分析】(1)根據(jù)等角的余角相等證明即可; (2)只要證明△CBE∽△CPB,可得=解決問(wèn)題; (3)作BM⊥PF于M.則CE=CM=CF,設(shè)CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的性質(zhì)求出BM,求出tan∠BCM的值即可解決問(wèn)題; 【解答】(1)證明:∵AB是直徑, ∴∠ACB=90, ∴∠BCP+∠ACF=90,∠ACE+∠BCE=90, ∵∠BCP=∠BCE, ∴∠ACF=∠ACE,即AC平分∠FAB. (2)證明:∵OC=OB, ∴∠OCB=∠OBC, ∵PF是⊙O的切線(xiàn),CE⊥AB, ∴∠OCP=∠CEB=90, ∴∠PCB+∠OCB=90,∠BCE+∠OBC=90, ∴∠BCE=∠BCP, ∵CD是直徑, ∴∠CBD=∠CBP=90, ∴△CBE∽△CPB, ∴=, ∴BC2=CE?CP; (3)解:作BM⊥PF于M.則CE=CM=CF,設(shè)CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a, ∵∠MCB+∠P=90,∠P+∠PBM=90, ∴∠MCB=∠PBM, ∵CD是直徑,BM⊥PC, ∴∠CMB=∠BMP=90, ∴△BMC∽△PMB, ∴=, ∴BM2=CM?PM=3a2, ∴BM=a, ∴tan∠BCM==, ∴∠BCM=30, ∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60,∠BOD=120 ∴的長(zhǎng)==π. 39.(xx?江西)如圖,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分線(xiàn),BD交AC于點(diǎn)E,求AE的長(zhǎng). 【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)定義和平行線(xiàn)的性質(zhì)求出∠D=∠CBD,求出BC=CD=4,證△AEB∽△CED,得出比例式,求出AE=2CE,即可得出答案. 【解答】解:∵BD為∠ABC的平分線(xiàn), ∴∠ABD=∠CBD, ∵AB∥CD, ∴∠D=∠ABD, ∴∠D=∠CBD, ∴BC=CD, ∵BC=4, ∴CD=4, ∵AB∥CD, ∴△ABE∽△CDE, ∴=, ∴=, ∴AE=2CE, ∵AC=6=AE+CE, ∴AE=4. 40.(xx?上海)已知:如圖,正方形ABCD中,P是邊BC上一點(diǎn),BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分別是點(diǎn)E、F. (1)求證:EF=AE﹣BE; (2)聯(lián)結(jié)BF,如課=.求證:EF=EP. 【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)得AB=AD,∠BAD=90,根據(jù)等角的余角相等得到∠1=∠3,則可判斷△ABE≌△DAF,則BE=AF,然后利用等線(xiàn)段代換可得到結(jié)論; (2)利用=和AF=BE得到=,則可判定Rt△BEF∽R(shí)t△DFA,所以∠4=∠3,再證明∠4=∠5,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷EF=EP. 【解答】證明:(1)∵四邊形ABCD為正方形, ∴AB=AD,∠BAD=90, ∵BE⊥AP,DF⊥AP, ∴∠BEA=∠AFD=90, ∵∠1+∠2=90,∠2+∠3=90, ∴∠1=∠3, 在△ABE和△DAF中 , ∴△ABE≌△DAF, ∴BE=AF, ∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE; (2)如圖,∵=, 而AF=BE, ∴=, ∴=, ∴Rt△BEF∽R(shí)t△DFA, ∴∠4=∠3, 而∠1=∠3, ∴∠4=∠1, ∵∠5=∠1, ∴∠4=∠5, 即BE平分∠FBP, 而B(niǎo)E⊥EP, ∴EF=EP. 41.(xx?東營(yíng))如圖,CD是⊙O的切線(xiàn),點(diǎn)C在直徑AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上. (1)求證:∠CAD=∠BDC; (2)若BD=AD,AC=3,求CD的長(zhǎng). 【分析】(1)連接OD,由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)及直徑所對(duì)的圓周角等于180,利用等角的余角相等,即可證出∠CAD=∠BDC; (2)由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合BD=AD、AC=3,即可求出CD的長(zhǎng). 【解答】(1)證明:連接OD,如圖所示. ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB. ∵CD是⊙O的切線(xiàn),OD是⊙O的半徑, ∴∠ODB+∠BDC=90. ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB=90, ∴∠OBD+∠CAD=90, ∴∠CAD=∠BDC. (2)解:∵∠C=∠C,∠CAD=∠CDB, ∴△CDB∽△CAD, ∴=. ∵BD=AD, ∴=, ∴=, 又∵AC=3, ∴CD=2. 42.(xx?南京)如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),連接DE.過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE,垂足為F,⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D、F,與AD相交于點(diǎn)G. (1)求證:△AFG∽△DFC; (2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,AE=1,求⊙O的半徑. 【分析】(1)欲證明△AFG∽△DFC,只要證明∠FAG=∠FDC,∠AGF=∠FCD; (2)首先證明CG是直徑,求出CG即可解決問(wèn)題; 【解答】(1)證明:在正方形ABCD中,∠ADC=90, ∴∠CDF+∠ADF=90, ∵AF⊥DE, ∴∠AFD=90, ∴∠DAF+∠ADF=90, ∴∠DAF=∠CDF, ∵四邊形GFCD是⊙O的內(nèi)接四邊形, ∴∠FCD+∠DGF=180, ∵∠FGA+∠DGF=180, ∴∠FGA=∠FCD, ∴△AFG∽△DFC. (2)解:如圖,連接CG. ∵∠EAD=∠AFD=90,∠EDA=∠ADF, ∴△EDA∽△ADF, ∴=,即=, ∵△AFG∽△DFC, ∴=, ∴=, 在正方形ABCD中,DA=DC, ∴AG=EA=1,DG=DA﹣AG=4﹣1=3, ∴CG==5, ∵∠CDG=90, ∴CG是⊙O的直徑, ∴⊙O的半徑為. 43.(xx?濱州)如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,AD⊥CD于點(diǎn)D,且AC平分∠DAB,求證: (1)直線(xiàn)DC是⊙O的切線(xiàn); (2)AC2=2AD?AO. 【分析】(1)連接OC,由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC,據(jù)此知OC∥AD,根據(jù)AD⊥DC即可得證; (2)連接BC,證△DAC∽△CAB即可得. 【解答】解:(1)如圖,連接OC, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∵AC平分∠DAB, ∴∠OAC=∠DAC, ∴∠DAC=∠OCA, ∴OC∥AD, 又∵AD⊥CD, ∴OC⊥DC, ∴DC是⊙O的切線(xiàn); (2)連接BC, ∵AB為⊙O的直徑, ∴AB=2AO,∠ACB=90, ∵AD⊥DC, ∴∠ADC=∠ACB=90, 又∵∠DAC=∠CAB, ∴△DAC∽△CAB, ∴=,即AC2=AB?AD, ∵AB=2AO, ∴AC2=2AD?AO. 44.(xx?十堰)如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作FG⊥AC于點(diǎn)F,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G. (1)求證:FG是⊙O的切線(xiàn); (2)若tanC=2,求的值. 【分析】(1)欲證明FG是⊙O的切線(xiàn),只要證明OD⊥FG; (2)由△GDB∽△GAD,設(shè)BG=a.可得===,推出DG=2a,AG=4a,由此即可解決問(wèn)題; 【解答】(1)證明:連接AD、OD. ∵AB是直徑, ∴∠ADB=90,即AD⊥BC, ∵AC=AB, ∴CD=BD, ∵OA=OB, ∴OD∥AC, ∵DF⊥AC, ∴OD⊥DF, ∴FG是⊙O的切線(xiàn). (2)解:∵tanC==2,BD=CD, ∴BD:AD=1:2, ∵∠GDB+∠ODB=90,∠ADO+∠ODB=90, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∴∠GDB=∠GAD, ∵∠G=∠G, ∴△GDB∽△GAD,設(shè)BG=a. ∴===, ∴DG=2a,AG=4a, ∴BG:GA=1:4. 45.(xx?杭州)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD為BC邊上的中線(xiàn),DE⊥AB于點(diǎn)E. (1)求證:△BDE∽△CAD. (2)若AB=13,BC=10,求線(xiàn)段DE的長(zhǎng). 【分析】(1)想辦法證明∠B=∠C,∠DEB=∠ADC=90即可解決問(wèn)題; (2)利用面積法: ?AD?BD=?AB?DE求解即可; 【解答】解:(1)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∠B=∠C, ∵DE⊥AB, ∴∠DEB=∠ADC, ∴△BDE∽△CAD. (2)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC, 在Rt△ADB中,AD===12, ∵?AD?BD=?AB?DE, ∴DE=. 46.(xx?煙臺(tái))如圖,已知D,E分別為△ABC的邊AB,BC上兩點(diǎn),點(diǎn)A,C,E在⊙D上,點(diǎn)B,D在⊙E上.F為上一點(diǎn),連接FE并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)M. (1)若∠EBD為α,請(qǐng)將∠CAD用含α的代數(shù)式表示; (2)若EM=MB,請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)∠CAD為多少度時(shí),直線(xiàn)EF為⊙D的切線(xiàn); (3)在(2)的條件下,若AD=,求的值. 【分析】(1)根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對(duì)等角得:∠EDB=∠EBD=α,∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論; (2)設(shè)∠MBE=x,同理得:∠EMB=∠MBE=x,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)知:∠DEF=90,所以∠CED+∠MEB=90,同理根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CAD=45; (3)由(2)得:∠CAD=45;根據(jù)(1)的結(jié)論計(jì)算∠MBE=30,證明△CDE是等邊三角形,得CD=CE=DE=EF=AD=,求EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,根據(jù)三角形內(nèi)角和及等腰三角形的判定得:EN=CE=,代入化簡(jiǎn)可得結(jié)論. 【解答】解:(1)連接CD、DE,⊙E中,∵ED=EB, ∴∠EDB=∠EBD=α, ∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α, ⊙D中,∵DC=DE=AD, ∴∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α, △ACB中,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180, ∴∠CAD==; (2)設(shè)∠MBE=x, ∵EM=MB, ∴∠EMB=∠MBE=x, 當(dāng)EF為⊙D的切線(xiàn)時(shí),∠DEF=90, ∴∠CED+∠MEB=90, ∴∠CED=∠DCE=90﹣x, △ACB中,同理得,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180, ∴2∠CAD=180﹣90∴=90∴, ∴∠CAD=45; (3)由(2)得:∠CAD=45; 由(1)得:∠CAD=; ∴∠MBE=30, ∴∠CED=2∠MBE=60, ∵CD=DE, ∴△CDE是等邊三角形, ∴CD=CE=DE=EF=AD=, Rt△DEM中,∠EDM=30,DE=, ∴EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1, △ACB中,∠NCB=45+30=75, △CNE中,∠CEN=∠BEF=30, ∴∠CNE=75, ∴∠CNE=∠NCB=75, ∴EN=CE=, ∴===2+. 47.(xx?陜西)周末,小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門(mén)前小河的寬.測(cè)量時(shí),他們選擇了河對(duì)岸岸邊的一棵大樹(shù),將其底部作為點(diǎn)A,在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B,使得AB與河岸垂直,并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC,再在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上選擇點(diǎn)D,豎起標(biāo)桿DE,使得點(diǎn)E與點(diǎn)C、A共線(xiàn). 已知:CB⊥AD,ED⊥AD,測(cè)得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.測(cè)量示意圖如圖所示.請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息,求河寬AB. 【分析】由BC∥DE,可得=,構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題. 【解答】解:∵BC∥DE, ∴△ABC∽△ADE, ∴=, ∴=, ∴AB=17(m), 經(jīng)檢驗(yàn):AB=17是分式方程的解, 答:河寬AB的長(zhǎng)為17米. 48.(xx?濟(jì)寧)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AD,BC的中點(diǎn),連接DF,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DF,垂足為H,EH的延長(zhǎng)線(xiàn)交DC于點(diǎn)G. (1)猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論; (2)過(guò)點(diǎn)H作MN∥CD,分別交AD,BC于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)P是MN上一點(diǎn),求△PDC周長(zhǎng)的最小值. 【分析】(1)結(jié)論:CF=2DG.只要證明△DEG∽△CDF即可; (2)作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC,此時(shí)△PDC的周長(zhǎng)最短.周長(zhǎng)的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK; 【解答】解:(1)結(jié)論:CF=2DG. 理由:∵四邊形ABCD是正方形, ∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90, ∵DE=AE, ∴AD=CD=2DE, ∵EG⊥DF, ∴∠DHG=90, ∴∠CDF+∠DGE=90,∠DGE+∠DEG=90, ∴∠CDF=∠DEG, ∴△DEG∽△CDF, ∴==, ∴CF=2DG. (2)作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC,此時(shí)△PDC的周長(zhǎng)最短.周長(zhǎng)的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK. 由題意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG=,DH==, ∴EH=2DH=2, ∴HM==2, ∴DM=CN=NK==1, 在Rt△DCK中,DK===2, ∴△PCD的周長(zhǎng)的最小值為10+2. 49.(xx?聊城)如圖,正方形ABCD中,E是BC上的一點(diǎn),連接AE,過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AE,垂足為點(diǎn)H,延長(zhǎng)BH交CD于點(diǎn)F,連接AF. (1)求證:AE=BF. (2)若正方形邊長(zhǎng)是5,BE=2,求AF的長(zhǎng). 【分析】(1)根據(jù)ASA證明△ABE≌△BCF,可得結(jié)論; (2)根據(jù)(1)得:△ABE≌△BCF,則CF=BE=2,最后利用勾股定理可得AF的長(zhǎng). 【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90, ∴∠BAE+∠AEB=90, ∵BH⊥AE, ∴∠BHE=90, ∴∠AEB+∠EBH=90, ∴∠BAE=∠EBH, 在△ABE和△BCF中, , ∴△ABE≌△BCF(ASA), ∴AE=BF; (2)解:∵AB=BC=5, 由(1)得:△ABE≌△BCF, ∴CF=BE=2, ∴DF=5﹣2=3, ∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=AD=5,∠ADF=90, 由勾股定理得:AF====. 50.(xx?烏魯木齊)如圖,AG是∠HAF的平分線(xiàn),點(diǎn)E在AF上,以AE為直徑的⊙O交AG于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作AH的垂線(xiàn),垂足為點(diǎn)C,交AF于點(diǎn)B. (1)求證:直線(xiàn)BC是⊙O的切線(xiàn); (2)若AC=2CD,設(shè)⊙O的半徑為r,求BD的長(zhǎng)度. 【分析】(1)根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和同圓的半徑相等可得OD∥AC,證明OD⊥CB,可得結(jié)論; (2)在Rt△ACD中,設(shè)CD=a,則AC=2a,AD=a,證明△ACD∽△ADE,表示a=,由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得:,代入可得結(jié)論. 【解答】(1)證明:連接OD, ∵AG是∠HAF的平分線(xiàn), ∴∠CAD=∠BAD, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∴∠CAD=∠ODA, ∴OD∥AC, ∵∠ACD=90, ∴∠ODB=∠ACD=90,即OD⊥CB, ∵D在⊙O上, ∴直線(xiàn)BC是⊙O的切線(xiàn);(4分) (2)解:在Rt△ACD中,設(shè)CD=a,則AC=2a,AD=a, 連接DE, ∵AE是⊙O的直徑, ∴∠ADE=90, 由∠CAD=∠BAD,∠ACD=∠ADE=90, ∴△ACD∽△ADE, ∴, 即, ∴a=, 由(1)知:OD∥AC, ∴,即, ∵a=,解得BD=r.(10分)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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