七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 培優(yōu)新幫手 專題22 直線、射線與線段試題 （新版）新人教版.doc

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22　直線、射線與線段 閱讀與思考 構(gòu)成平面圖形的基本元素是點(diǎn)和線，在幾何圖形中，點(diǎn)無大小，線無寬窄，它們都是抽象思維的產(chǎn)物，點(diǎn)與線有著密切的聯(lián)系，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)成線，線與線相交的地方形成點(diǎn)，一條線確定了兩個(gè)端點(diǎn)，線的長短也就確定了，從這個(gè)意義上講，點(diǎn)是線的界限． 在線中，最簡單、最常見的就是直線、射線、線段，它們是最基本的圖形，它們的概念、性質(zhì)及畫圖是今后研究由線段所組成的比較復(fù)雜圖形（如三角形、四邊形等）的基礎(chǔ)，解與直線、射線、線段相關(guān)問題常涉及如下知識(shí)與方法： 1．直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系． 2．線段中點(diǎn)的概念． 3．枚舉法、分類討論法． 例題與求解 【例1】已知一條直線上有A，B，C三點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P，AB＝10，線段BC的中點(diǎn)為Q，BC＝6，則線段PQ的長為＿＿＿＿． （江蘇省競(jìng)賽試題） 解題思路：未給出圖形，注意C點(diǎn)位置有多種可能． 【例2】在一條直線上已知四個(gè)不同的點(diǎn)依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距離之和最小的點(diǎn)（　　） A．可以是直線AD外的某一點(diǎn) B．只有點(diǎn)B或點(diǎn)C C．只是線段AD的中點(diǎn) D．有無窮多個(gè) （全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題） 解題思路：直線上的四個(gè)點(diǎn)把直線分成五部分，就每一種情況畫圖表示出到A，B，C，D的距離，從直觀的圖形中作出判斷． 【例3】如圖，C是線段上的一點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，已知圖中所有線段的長度之和為23，線段AC的長度與線段BC的長度都是正整數(shù)，求線段AC的長． （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 解題思路：解題的關(guān)鍵是將每一條線段用AC或BC來表示，依題意可列一個(gè)關(guān)于AC，BC的方程，討論此不定方程的正整數(shù)解． 【例4】如圖所示，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AE的中點(diǎn)． （1）若線段AB＝，CE＝，＝0，求，． （2）如圖①，在（1）的條件下，求線段DE的長． （3）如圖②，若AB＝15，AD＝2BE，求線段CE的長． 圖① 圖② （湖北省武漢市調(diào)考試題） 解題思路：將幾何問題代數(shù)化，對(duì)于（3），引入未知數(shù)，列方程求解． 【例5】（1）一條直線可以把平面分成兩個(gè)部分（或區(qū)域），如圖，兩條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？三條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫圖說明． （2）四條直線最多可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關(guān)系． （3）平面上有條直線，每兩條直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)，處于這種位置的條直線分一個(gè)平面所成的區(qū)域最多，記為，試研究與之間的關(guān)系． （山東省聊城市中考試題） 解題思路：從簡單情形入手，由簡到繁，歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律． 【例6】已知線段AB＝，CD＝，線段CD在直線上運(yùn)動(dòng)（A在B左側(cè)，C在D左側(cè)），若與互為相反數(shù)． （1）求線段AB，CD的長． （2）M，N分別是線段AC，BD的中點(diǎn)，若BC＝4，求MN． （3）當(dāng)CD運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí)，D點(diǎn)與B點(diǎn)重合，P是線段延長線上任意一點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論： ①是定值；②是定值．可以證明，有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你作出正確的選擇并畫圖求值． （浙江省寧波市中考試題改編） 解題思路：（1）與的平方互為相反數(shù)，可以推出二者都為零，否則一個(gè)正數(shù)是不可能等于一個(gè)負(fù)數(shù)的，所以＝6，＝12． （2）需要分類討論：如圖①，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，根據(jù)“M，N分別為線段AC，BD的中點(diǎn)”，先計(jì)算出AM，DN的長度，然后計(jì)算MN＝ADAMDN；如圖②，當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，利用線段間的和差關(guān)系求得MN的長度． （3）能計(jì)算出①或②的值是一個(gè)常數(shù)的，即為符合題意的結(jié)論． 能力訓(xùn)練 A級(jí) 1．已知點(diǎn)O在直線AB上，且線段OA的長度為4cm，線段OB的長度為6cm，E，F(xiàn)分別為線段ｏA，OB的中點(diǎn)，則線段EF的長度為＿＿＿＿． （黑龍江省中考試題） 2．如圖，線段AB＝BC＝CD＝DE＝1厘米，那么圖中所有線段的長度之和等于＿＿＿厘米． （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 3．如圖，B，C，D依次是上的三點(diǎn)，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，則圖中以A，B，C，D，E這5個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長度的和為＿＿＿＿cm． （《中學(xué)生數(shù)理化》讀刊用刊知識(shí)競(jìng)賽試題） 4．平面內(nèi)兩兩相交的8條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為＿＿＿＿，最多為＿＿＿＿． （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 5．直線，，，，共點(diǎn)O，直線與上述五條直線分別交于A，B，C，D，E五點(diǎn)，則上述圖形中共有線段（　　）條． A．4 B．5 C．10 D．15 6．如圖，點(diǎn)A，B，C順次在直線上，M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BC的中點(diǎn)．若想求出MN的長度，則只需條件（　　） A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2 （海南省競(jìng)賽試題） 7．如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一直線上，M是線段AB的中點(diǎn)，N是線段DC的中點(diǎn)，MN＝，BC＝則AD＝（　?。? A． B． C． D． 8．如圖，AC＝AB，BD＝AB，且AE＝CD，則CE為AB長的（　?。? A． B． C． D． 9．已知線段AB＝6． （1）取線段AB的三等分點(diǎn)，這些點(diǎn)連同線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)可以組成多少條線段？求這些線段長度的和． （2）再在線段AB上取兩種點(diǎn)：第一種是線段AB的四等分點(diǎn)；第二種是線段AB的六等分點(diǎn)，這些點(diǎn)連同（1）中的三等分點(diǎn)和線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)可以組成多少條線段？求這些線段長度的和． （湖北省武漢市武昌區(qū)期末調(diào)考試題） 10．已知AB＝60cm，點(diǎn)C是直線AB上不同于A，B的點(diǎn)，M為AC中點(diǎn)，N是BC中點(diǎn)，求MN的長度． 11．如圖，已知點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12． （1）求點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的數(shù)； （2）動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，C出發(fā)，分別以每秒6個(gè)單位和3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)．M為AP的中點(diǎn)，N在CQ上，且CN＝CQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間（＞0）． ①求點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的數(shù)（用含的式子表示）． ②為何值時(shí)，OM＝2BN？ B級(jí) 1．把線段AB延長至D，使BD＝AB，再延長BA至C，使CA＝AB，則BC是CD的＿＿＿＿倍． 2．如圖，AB︰BC︰CD＝2︰3︰4，AB的中點(diǎn)M與CD的中點(diǎn)N的距離是3厘米，則BC＝＿＿＿＿厘米． 3．如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段CB上的一點(diǎn)，若所有線段的長度都是正整數(shù)，且線段AB的所有可能的長度數(shù)的乘積等于140，則線段AB的所有可能的長度數(shù)的和等于＿＿＿＿． （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 4．如圖，已知B，C是線段AD上的兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，若MN＝，BC＝，則線段AD＝＿＿＿＿． 5．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)，，都不為0，且C是AB的中點(diǎn)．如果＝0，那么原點(diǎn)O的位置在（　?。? A．線段AC上 B．線段CA的延長線上 C．線段BC上 D．線段CB的延長線上 （江蘇省競(jìng)賽試題） 6．如圖，已知B是線段AC上的一點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，N為線段AC的中點(diǎn)，P為NA的中點(diǎn)，Q為MA的中點(diǎn)，則MN︰PQ等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．平面上有四個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過其中每兩個(gè)點(diǎn)畫一條直線，那么一共可以畫直線（　?。? A．6條 B．1條或3條或6條 C．1條或4條 D．1條或4條或6條 8．如圖，在一條筆直的公路上有7個(gè)村莊，其中A，B，C，D，E，F(xiàn)離城市的距離分別為4，10，15，17，19，20公里，而村莊G正好是AF的中點(diǎn)，現(xiàn)要在某個(gè)村莊建一個(gè)活動(dòng)中心，使各村到活動(dòng)中心的路程之和最短，則活動(dòng)中心應(yīng)建在（　?。? A．A處 B．C處 C．G處 D．E處 城市 （江蘇省競(jìng)賽試題） 9．電子跳蚤游戲盤為△ABC，AB＝，AC＝，BC＝，如果電子跳蚤開始時(shí)在BC邊上P0點(diǎn)，BP0＝，第一步跳蚤跳到AC邊上P1點(diǎn)，且CP1＝CP0；第二步跳蚤從P1跳到邊上P2點(diǎn)，且AP2＝AP1；第三步跳蚤從P2跳到BC邊上P3點(diǎn)，且BP3＝BP2…跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第2001次落到P2001，請(qǐng)計(jì)算P0與P2001之間的距離． （“華杯賽”邀請(qǐng)賽試題） 10．設(shè)有甲、乙、丙三人，他們步行的速度相同，騎車的速度也相同，騎車的速度為步行速度的3倍．現(xiàn)甲自A地去B地，乙、丙則從B地去A地，雙方同時(shí)出發(fā)，出發(fā)時(shí)，甲、乙為步行，丙騎車．途中，當(dāng)甲、丙相遇時(shí)，丙將車給甲騎，自己改為步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進(jìn)；當(dāng)甲、乙相遇時(shí)，甲將車給乙騎，自己又步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進(jìn)．問：三人之中誰最先到達(dá)自己的目的地？誰最后到達(dá)自己的目的地？ （“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題） 11．已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為2和4，P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為． （1）若P為線段AB的三等分點(diǎn)，求P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)． （2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使P點(diǎn)到A點(diǎn)，B點(diǎn)距離和為10？若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說明理由． （3）若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P（點(diǎn)P在原點(diǎn)）同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為1，2，1個(gè)（長度單位/分），則第幾分鐘時(shí)，P為AB的中點(diǎn)？ 12．—條直線順次排列著1990個(gè)點(diǎn)：P1，P2，…，P1990，已知點(diǎn)是線段的等分點(diǎn)當(dāng)中最靠近巧的那個(gè)點(diǎn)（2≤≤1989），如P5是線段P4P6的5等分點(diǎn)當(dāng)中最靠近P6的那個(gè)分點(diǎn)．如果線段P1P2的長度是1，線段P1989P1990的長度為． 求證：＝． （浙江省競(jìng)賽試題） 專題22 直線、射線、線段 例1 8或2 例2 D 例3 設(shè)，，則，，，，故圖中所有線段長度之和為 ，即 又為正整數(shù)， 例4 （1）， （2） ，，， （3）設(shè)，則，又，， 解得，即， 例5 （1）如圖?，兩條直線因其位置不同，可以分別把平面分成3個(gè)或4個(gè)區(qū)域；如圖?， 三條直線因其位置不同，可以分輥把平面分成4個(gè)，6個(gè)，7個(gè)區(qū)域 （2）如圖?，四條直線最多可以把平面分成11個(gè)區(qū)域，此時(shí)這四條直線位置關(guān)系是 兩兩都相交，且無三線共點(diǎn)。 （3）平面上條直線兩兩相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)，把平面分成個(gè)區(qū)域， 平面本身就是一個(gè)區(qū)域，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，……由此 可以歸納公式為……4DE=4（AB+DE）+6（BC+CD）=4（AE－BD）+6BD=4AE+2BD=48.9+23=41.6. 4．1 28 5．D 6．A 7．D 8．C 9．（1）6條，長度和為20. （2）36條，長度和為88. 10．（1）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，MN=NC－MC=cm. （2）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，MN=NC+MC=cm. （3）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，MN=MC－NC=cm. 綜上所述：MN=30 cm. 11．（1）A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－10，2. （2）①AP=6t，CQ=3t，M為AP中點(diǎn)，CN=，則 ． ∴ 點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為－10+3t，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為6+t. ②∵OM=|－10+3t|，BN=BC+CN=4+t， 又∵OM=2BN，∴|－10+3t|=8+2t. 則－10+3t=8+2t或－10+3t=－8－2t. 解之得t=18秒或秒. B級(jí) 1． 2． 3．24 4．2a－b 5．A 提示： 6．B 7．D 8．B 9．因BP0=4a，根據(jù)題意：CP0=10a－4a=6a，CP1=CP0=6a；AP1=9a－6a=3a；AP2=AP1=3a；BP2=8a－3a=5a，BP3=BP2=5a；CP3=10a－5a=5a，CP4=CP3=5a；AP4=9a－5a=4a，AP5=AP4=4a；BP5=8a－4a=4a，BP6=BP5=4a. 由此可見，P6點(diǎn)與P0點(diǎn)重合，又因?yàn)?001=6333+3，所以P2001點(diǎn)與P3點(diǎn)重合，P0與P2001之間的距離就是P0與P3之間的距離，積6a－5a=a. 10．提示： 如圖，設(shè)甲、丙在C點(diǎn)相遇，同時(shí)乙整好走到D點(diǎn)，丙騎車的路程為整個(gè)BC，而甲騎車的路程不是整個(gè)BC（因?yàn)榧自谕局杏龅揭液蠹锤臑椴叫校?，所以丙騎車的路程比甲長，丙比甲先到目的地.因?yàn)榧滓也叫兴俣认嗟?，所以AC=BD. 設(shè)甲、乙在C、D之間的E點(diǎn)相遇，則甲騎車的路程只有CE這一段，而乙騎車的路程是AE=EC+CA，所以乙騎車路程比甲長，乙比甲先到目的地. 最后，比較一下乙、丙騎車的路程：因?yàn)锳C=BD，所以丙騎車的路程BC=BD+DC=AC+DC=AD>EA，從而丙比乙先到達(dá)目的地.因此，丙最先到達(dá)目的地，甲最后到達(dá)目的地. 11．（1）0或2. （2）當(dāng)x=－4或6時(shí)，PA+PB=10. （3）設(shè)t分鐘后，P為AB的中點(diǎn)，A、B、P運(yùn)動(dòng)t分鐘后對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－2－t，4－2t，－t，由．得t=2. 12．由題設(shè)可知，P2是線段P1P3的中點(diǎn)，故P1P2=P2P3=1；P3是線段P2P4的3等分點(diǎn)當(dāng)中最靠近P4的那個(gè)分點(diǎn)，故P3P4=P2P3=；一般地，Pk是線段PK－1Pk+1的k等分點(diǎn)當(dāng)中最靠近Pk+1的那個(gè)分點(diǎn)，故PkPk+1= Pk－1Pk+1= Pk－1Pk+ PkPk+1. 于是有PkPk+1= Pk－1Pk.當(dāng)k=4，5，6，…，1989時(shí)， P4P5==，P5P6=， P6P7=，…， P1989P1990=， 所以