2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量 第1講 平面向量的概念及線性運(yùn)算講義 理（含解析）.doc

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第四章　平面向量 第1講　平面向量的概念及線性運(yùn)算 [考綱解讀]　1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義，理解向量的幾何表示． 2.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，理解其幾何意義．(重點(diǎn)) 3.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義，了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．(難點(diǎn)) [考向預(yù)測(cè)]　從近三年高考情況來看，本講一般不直接考查．預(yù)測(cè)2020年高考中，平面向量的線性運(yùn)算是考查的熱點(diǎn)，常以客觀題的形式呈現(xiàn)，屬中、低檔試題. 1．向量的有關(guān)概念 2．向量的線性運(yùn)算 3．共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 1．概念辨析 (1)在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，則＝(＋)．(　　) (2)若a∥b，b∥c，則a∥c.(　　) (3)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．(　　) (4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．(　　) 答案　(1)√　(2)　(3)　(4)√ 2．小題熱身 (1)下列命題正確的是(　　) A．若|a|＝|b|，則a＝b B．若|a|>|b|，則a>b C．若a＝b，則a∥b D．若|a|＝0，則a＝0 答案　C 解析　A錯(cuò)誤，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B錯(cuò)誤，向量不能比較大?。籆正確，若a＝b，則a與b方向相同，故a∥b；D錯(cuò)誤，若|a|＝0，則a＝0. (2)如圖，設(shè)P，Q兩點(diǎn)把線段AB三等分，則下列向量表達(dá)式錯(cuò)誤的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝－ D.＝ 答案　D 解析　由題意得，＝－，故D錯(cuò)誤． (3)設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)向量，已知＝a＋2b，＝4a－4b，＝－a＋2b，則(　　) A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，C，D三點(diǎn)共線 C．A，B，C三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線 答案　B 解析　因?yàn)椋絘＋2b，所以＝－a－2b，所以＝＋＝(－a－2b)＋(4a－4b)＝3a－6b＝－3(－a＋2b)＝－3. 所以∥，所以A，C，D三點(diǎn)共線． (4)已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且＝a，＝b，則＝________，＝________(用a，b表示)． 答案　b－a?。璦－b 解析　因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形， 所以＝，＝－＝－a， 所以＝＝－＝b－a， ＝－＝－a－b. 題型 　平面向量的基本概念 1．設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0，假命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題． 綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3. 2．下列敘述錯(cuò)誤的是________(填序號(hào))． ①若非零向量a與b方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同； ②|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同； ③向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa； ④＋＝0； ⑤若λa＝λb，則a＝b. 答案?、佗冖邰堍? 解析　對(duì)于①，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，其方向任意，它與a，b的方向都不相同． 對(duì)于②，當(dāng)a，b之一為零向量時(shí)結(jié)論不成立． 對(duì)于③，當(dāng)a＝0且b＝0時(shí)，λ有無數(shù)個(gè)值；當(dāng)a＝0但b≠0時(shí)，λ不存在． 對(duì)于④，由于兩個(gè)向量之和仍是一個(gè)向量，所以＋＝0. 對(duì)于⑤，當(dāng)λ＝0時(shí)，無論a與b的大小與方向如何，都有λa＝λb，此時(shí)不一定有a＝b. 故①②③④⑤均錯(cuò)誤． 有關(guān)平面向量概念的六個(gè)注意點(diǎn) (1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性． (2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)． (3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆． (4)非零向量a與的關(guān)系：是與a同方向的單位向量，－是與a反方向的單位向量． (5)兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的模可以比較大?。? (6)表示兩平行向量的有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．給出下列說法：①若A，B，C，D是不共線的四個(gè)點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量與相等；④若a＝b，b＝c，則a＝c.其中正確說法的序號(hào)是(　　) A．①④ B．③④ C．②③ D．①② 答案　A 解析?、佗苷_；②錯(cuò)誤，因?yàn)閍，b的方向不一定相同；③錯(cuò)誤，＝－. 2．給出下列命題： ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量； ②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大??； ③若λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零； ④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中正確命題的序號(hào)為________． 答案?、? 解析?、馘e(cuò)誤，例如△ABC中，與有公共終點(diǎn)，但不是共線向量；②正確；③錯(cuò)誤，若λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ＝0或a＝0；④錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb＝0，但a與b不一定共線． 題型 　向量的線性運(yùn)算 1．下列四個(gè)結(jié)論： ①＋＋＝0； ②＋＋＋＝0； ③－＋－＝0； ④＋＋－＝0. 其中一定正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析?、僬_；②錯(cuò)誤， ＋＋＋＝＋＋＋＝≠0；③正確，－＋－＝(－)＋(＋)＝＋＝0，④正確，＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0. 2．(2017全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則(　　) A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b| C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b| 答案　A 解析　解法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2. ∴a2＋b2＋2ab＝a2＋b2－2ab. ∴ab＝0.∴a⊥b.故選A. 解法二：利用向量加法的平行四邊形法則． 在?ABCD中，設(shè)＝a，＝b， 由|a＋b|＝|a－b|知||＝||， 從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故選A. 3．(2018全國(guó)卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得＝－＝－＝－(＋)＝－，故選A. 條件探究1　把舉例說明3的條件改為“點(diǎn)D在BC邊上且CD＝2DB，點(diǎn)E在AD邊上，且AD＝3AE”，試用，表示. 解　由平面向量的三角形法則及向量共線的性質(zhì)可得 ＝－＝－＝－ ＝－ ＝－. 條件探究2　把舉例說明3的條件改為“D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足2＋＝0”，試用，表示. 解　因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)， 所以＝＋＝＋， 所以＝－. 又因?yàn)?＋＝0， 所以2(－)＋(－)＝0， 所以3＝2＋， 所以＝＋ ＝＋ ＝－. 1．平面向量的線性運(yùn)算技巧 (1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解． (2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解． 2．向量線性運(yùn)算的兩個(gè)常用結(jié)論 (1)在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則＝(＋)，如舉例說明3. (2)O為△ABC的重心的充要條件是＋＋＝0.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知O，A，B，C為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)，若2＋＝0，則向量等于(　　) A.－ B．－＋ C．2－ D．－＋2 答案　C 解析　因?yàn)椋剑?，＝－，所?＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－，故選C. 2．如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，＝a，＝b，則＝(　　) A．a(chǎn)－b B.a－b C．a(chǎn)＋b D.a＋b 答案　D 解析　連接CD，OC，由題意得∠CDA＝∠BAD＝∠CAD，所以CD∥AB，CD＝AC， 易證△AOC為等邊三角形，所以AC＝AB，所以＝，所以＝＋＝＋＝b＋a＝a＋b. 題型 　共線向量定理的應(yīng)用 角度1　證明向量共線或三點(diǎn)共線 1．已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，若＋＋＝，則點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系是(　　) A．點(diǎn)P在線段AB上 B．點(diǎn)P在線段BC上 C．點(diǎn)P在線段AC上 D．點(diǎn)P在△ABC外部 答案　C 解析　因?yàn)椋剑剑裕剑?，所以A，P，C三點(diǎn)共線，且P是線段AC的三等分點(diǎn)(靠近A)． 角度2　由向量共線求參數(shù)的值 2．(2018貴州適應(yīng)性測(cè)試)已知向量e1與e2不共線，且向量＝e1＋me2，＝ne1＋e2，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m，n滿足的條件是(　　) A．mn＝1 B．mn＝－1 C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1 答案　A 解析　因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以一定存在一個(gè)確定的實(shí)數(shù)λ，使得＝λ，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得所以mn＝1. 求解向量共線問題的注意事項(xiàng) (1)向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．如舉例說明2. (2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線． (3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0. (4)直線的向量式參數(shù)方程，A，P，B三點(diǎn)共線?＝(1－t)＋t(O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，t∈R)． (5)＝λ＋μ(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是(　　) A．矩形 B．平行四邊形 C．梯形 D．以上都不對(duì) 答案　C 解析?。剑?a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，所以AD∥BC，且AD≠BC，所以四邊形ABCD是梯形． 2．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值． 解　(1)證明：由已知得 ＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵＝2e1－8e2，∴＝2. 又∵與有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)由(1)可知＝e1－4e2， ∵＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線， ∴＝λ(λ∈R)， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2， ∴解得k＝12.