2020版高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量 第1講 平面向量的概念及線性運算講義 理（含解析）.doc

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第四章平面向量第1講平面向量的概念及線性運算考綱解讀1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示2.掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義(重點)3.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義，了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義(難點)考向預測從近三年高考情況來看，本講一般不直接考查預測2020年高考中，平面向量的線性運算是考查的熱點，常以客觀題的形式呈現(xiàn)，屬中、低檔試題.1向量的有關(guān)概念2向量的線性運算3共線向量定理向量a(a0)與b共線，當且僅當有唯一的一個實數(shù)，使得ba.1概念辨析(1)在ABC中，D是BC的中點，E是AD的中點，則()()(2)若ab，bc，則ac.()(3)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上()(4)當兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立()答案(1)(2)(3)(4)2小題熱身(1)下列命題正確的是()A若|a|b|，則ab B若|a|b|，則abC若ab，則ab D若|a|0，則a0答案C解析A錯誤，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B錯誤，向量不能比較大??；C正確，若ab，則a與b方向相同，故ab；D錯誤，若|a|0，則a0.(2)如圖，設P，Q兩點把線段AB三等分，則下列向量表達式錯誤的是()A. B.C. D.答案D解析由題意得，故D錯誤(3)設a，b是不共線的兩個向量，已知a2b，4a4b，a2b，則()AA，B，D三點共線 BA，C，D三點共線CA，B，C三點共線 DB，C，D三點共線答案B解析因為a2b，所以a2b，所以(a2b)(4a4b)3a6b3(a2b)3.所以，所以A，C，D三點共線(4)已知ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且a，b，則_，_(用a，b表示)答案baab解析因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以，a，所以ba，ab.題型 平面向量的基本概念1設a0為單位向量，下列命題中：若a為平面內(nèi)的某個向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0，假命題的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個數(shù)是3.2下列敘述錯誤的是_(填序號)若非零向量a與b方向相同或相反，則ab與a，b之一的方向相同；|a|b|ab|a與b方向相同；向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得ba；0；若ab，則ab.答案解析對于，當ab0時，其方向任意，它與a，b的方向都不相同對于，當a，b之一為零向量時結(jié)論不成立對于，當a0且b0時，有無數(shù)個值；當a0但b0時，不存在對于，由于兩個向量之和仍是一個向量，所以0.對于，當0時，無論a與b的大小與方向如何，都有ab，此時不一定有ab.故均錯誤有關(guān)平面向量概念的六個注意點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混淆(4)非零向量a與的關(guān)系：是與a同方向的單位向量，是與a反方向的單位向量(5)兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小(6)表示兩平行向量的有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件 1給出下列說法：若A，B，C，D是不共線的四個點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若a，b都是單位向量，則ab；向量與相等；若ab，bc，則ac.其中正確說法的序號是()A B C D答案A解析正確；錯誤，因為a，b的方向不一定相同；錯誤，.2給出下列命題：兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；若a0(為實數(shù))，則必為零；已知，為實數(shù)，若ab，則a與b共線其中正確命題的序號為_答案解析錯誤，例如ABC中，與有公共終點，但不是共線向量；正確；錯誤，若a0(為實數(shù))，則0或a0；錯誤，當0時，ab0，但a與b不一定共線題型 向量的線性運算1下列四個結(jié)論：0；0；0；0.其中一定正確的結(jié)論個數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案C解析正確；錯誤，0；正確，()()0，正確，()()0.2(2017全國卷)設非零向量a，b滿足|ab|ab|，則()Aab B|a|b|Cab D|a|b|答案A解析解法一：|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故選A.解法二：利用向量加法的平行四邊形法則在ABCD中，設a，b，由|ab|ab|知|，從而四邊形ABCD為矩形，即ABAD，故ab.故選A.3(2018全國卷)在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則()A. B.C. D.答案A解析根據(jù)向量的運算法則，可得()，故選A.條件探究1把舉例說明3的條件改為“點D在BC邊上且CD2DB，點E在AD邊上，且AD3AE”，試用，表示.解由平面向量的三角形法則及向量共線的性質(zhì)可得.條件探究2把舉例說明3的條件改為“D為AB的中點，點E滿足20”，試用，表示.解因為D為AB的中點，所以，所以.又因為20，所以2()()0，所以32，所以.1平面向量的線性運算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運用相應運算法則求解(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解2向量線性運算的兩個常用結(jié)論(1)在ABC中，D是BC的中點，則()，如舉例說明3.(2)O為ABC的重心的充要條件是0. 1已知O，A，B，C為同一平面內(nèi)的四個點，若20，則向量等于()A. BC2 D2答案C解析因為，所以22()()20，所以2，故選C.2如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，a，b，則()AabB.abCabD.ab答案D解析連接CD，OC，由題意得CDABADCAD，所以CDAB，CDAC，易證AOC為等邊三角形，所以ACAB，所以，所以baab.題型 共線向量定理的應用角度1證明向量共線或三點共線1已知平面內(nèi)一點P及ABC，若，則點P與ABC的位置關(guān)系是()A點P在線段AB上 B點P在線段BC上C點P在線段AC上 D點P在ABC外部答案C解析因為，所以2，所以A，P，C三點共線，且P是線段AC的三等分點(靠近A)角度2由向量共線求參數(shù)的值2(2018貴州適應性測試)已知向量e1與e2不共線，且向量e1me2，ne1e2，若A，B，C三點共線，則實數(shù)m，n滿足的條件是()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1答案A解析因為A，B，C三點共線，所以一定存在一個確定的實數(shù)，使得，所以有e1me2ne1e2，由此可得所以mn1.求解向量共線問題的注意事項(1)向量共線的充要條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運用如舉例說明2.(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線(3)若a與b不共線且ab，則0.(4)直線的向量式參數(shù)方程，A，P，B三點共線(1t)t(O為平面內(nèi)任一點，tR)(5)(，為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則1. 1在四邊形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，則四邊形ABCD的形狀是()A矩形 B平行四邊形C梯形 D以上都不對答案C解析(a2b)(4ab)(5a3b)8a2b2(4ab)2，所以ADBC，且ADBC，所以四邊形ABCD是梯形2設e1，e2是兩個不共線的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求證：A，B，D三點共線；(2)若3e1ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線，求k的值解(1)證明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2.又與有公共點B，A，B，D三點共線(2)由(1)可知e14e2，3e1ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線，(R)，即3e1ke2e14e2，解得k12.