2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 第1講 基本初等函數(shù)、函數(shù)圖象與性質(zhì)學(xué)案.docx

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第1講基本初等函數(shù)、函數(shù)圖象與性質(zhì) 1．以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域、最值、奇偶性、單調(diào)性和周期性； 2．利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)性質(zhì)，能用函數(shù)的圖象性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問題； 3．函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想是高考的重要思想方法； 4．掌握二次函數(shù)、分段函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)； 5．以基本初等函數(shù)為依托，考查函數(shù)與方程的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理； 6．能利用函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題． 1．函數(shù)的性質(zhì) (1)單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，規(guī)范步驟為取值、作差、變形、判斷符號(hào)和下結(jié)論．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則． (2)奇偶性：①若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)＝f(－x)． ②若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則f(0)＝0． ③奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性． (3)周期性： ①若y＝f(x)對(duì)x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，則y＝f(x)是周期為2a的周期函數(shù)． ②若y＝f(x)是偶函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線x＝a對(duì)稱，則f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)． ③若y＝f(x)是奇函數(shù)，其圖象又關(guān)于直線x＝a對(duì)稱，則f(x)是周期為4|a|的周期函數(shù)． ④若f(x＋a)＝－f(x)，則y＝f(x)是周期為2|a|的周期函數(shù)． 易錯(cuò)提醒　錯(cuò)用集合運(yùn)算符號(hào)致誤：函數(shù)的多個(gè)單調(diào)區(qū)間若不連續(xù)，不能用符號(hào)“∪”連接，可用“和”或“，”連接． 2．函數(shù)的圖象 (1)對(duì)于函數(shù)的圖象要會(huì)作圖、識(shí)圖和用圖，作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換． (2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、值域、零點(diǎn)時(shí)，要注意結(jié)合其圖象研究． (3)函數(shù)圖象的對(duì)稱性 ①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱； ②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱． 3．指數(shù)與對(duì)數(shù)式的七個(gè)運(yùn)算公式 (1)aman＝am＋n； (2)(am)n＝amn； (3)loga(MN)＝logaM＋logaN； (4)loga＝logaM－logaN； (5)logaMn＝nlogaM； (6)； (7)logaN＝(注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0)． 4．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)，分01兩種情況，當(dāng)a>1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，當(dāng)00時(shí)，與y＝|f(x)|在y軸右側(cè)總有交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a＝0時(shí)成立；當(dāng)a<0時(shí)，找與y＝|－x2＋2x|(x≤0)相切的情況，即y′＝2x－2，切點(diǎn)為(0，0)，此時(shí)a＝20－2＝－2，即有－2≤a<0，綜上，a∈[－2，0]． 答案　(1)C　(2)D 熱點(diǎn)二　函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用 【例2】(1) (2018全國(guó)II卷)已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足.若，則（） A． B． C． D． (2)(2017天津卷)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，則c>a>b． 法二　(特殊化)取f(x)＝x，則g(x)＝x2為偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又3>log25.1>20.8，從而可得c>a>b． 答案　(1)C　(2)C 探究提高　1．利用函數(shù)的奇偶性和周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解． 2．函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用：可以比較大小、求函數(shù)最值、解不等式、證明方程根的唯一性． 【訓(xùn)練2】(1)(2017淄博診斷)已知奇函數(shù)f(x)＝則f(－2)的值等于________． (2)(2017西安質(zhì)檢)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，且當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＝x，則(　　) A．f(－3)f>f(0)，即f(－3)>f>f(2)． 答案　(1)－8　(2)D 熱點(diǎn)三　基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【例3】(1)(2017鄭州一模)若函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是(　　) (2)(2018襄陽(yáng)聯(lián)考)設(shè)函數(shù)，則是（　　） A．奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B．奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) C．偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) D．偶函數(shù)，且在上是減函數(shù) 解析　(1)由于y＝a|x|的值域?yàn)閧y|y≥1}，∴a>1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)， 又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．因此y＝loga|x|的圖象應(yīng)大致為選項(xiàng)B． (2)因?yàn)椋院瘮?shù)是偶函數(shù)， 又在上是減函數(shù)，故選D． 答案　(1)B　(2) D 探究提高　1．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)特別是與單調(diào)性有關(guān)的問題時(shí)，首先要看底數(shù)a的范圍． 2．研究對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)注意真數(shù)與底數(shù)的限制條件．如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的單調(diào)區(qū)間，只考慮t＝x2－3x＋2與函數(shù)y＝ln t的單調(diào)性，忽視t>0的限制條件． 【訓(xùn)練3】(1) (2018德州一模)函數(shù)的圖象大致為（） A． B． C． D． (2)(2017成都沖刺)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(f(t))＝2f(t)的t的取值范圍是________． 解析　(1)令,解得,該函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),故排除B； 當(dāng)時(shí),,,, 當(dāng)時(shí),,排除C、D．故選A． (2)若f(t)≥1，顯然成立，則有或解得t≥－． 若f(t)<1，由f(f(t))＝2f(t)，可知f(t)＝－1，所以t＋＝－1，得t＝－3． 綜上，實(shí)數(shù)t的取值范圍是． 答案　(1) A　(2) 熱點(diǎn)四　函數(shù)的零點(diǎn)與方程 【例4】(1) (2018屯溪一中)已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，，則（） A． B． C． D． (2)(2017歷城沖刺)已知函數(shù)f(x)＝ln＋x3，若函數(shù)y＝f(x)＋f(k－x2)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 解析　(1)因?yàn)?，所以在和上單調(diào)遞增,由題知，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，，所以，故選C. (2)因?yàn)閒(x)＝ln＋x3在區(qū)間(－1，1)上單增，且是奇函數(shù)； 令y＝f(x)＋f(k－x2)＝0，則f(x)＝－f(k－x2)＝f(x2－k)， 由函數(shù)y＝f(x)＋f(k－x2)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程x2－x－k＝0在區(qū)間(－1，1)上有兩個(gè)根， 令g(x)＝x2－x－k，則滿足解得－0)的圖象有且只有3對(duì)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A． B．(0，1) C． D． 解析　由題意，設(shè)函數(shù)f(x)圖象上點(diǎn)P(x0，f(x0))(x0<0)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P′(－x0，f(x0))必在函數(shù)g(x)的圖象上，即sinx0＝loga(－x0)，將問題轉(zhuǎn)化成y1＝f(x)＝sinx(x<0)x與y2＝g1(x)＝loga(－x)(x<0)的圖象有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象如圖所示． 則即解得0，且a≠1)，滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（） A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 5．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a． (1)求函數(shù)f(x)的極值； (2)設(shè)函數(shù)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)，若函數(shù)k(x)在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 1．(2017合肥二模)已知函數(shù)f(x)＝有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（） A．[－1，0) B．(1，2] C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 2．(2018內(nèi)江一模)函數(shù)的圖象大致是（） A． B． C． D． 3．(2018貴州37校聯(lián)考)已知定義在上的偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則（） A． B． C． D． 4．(2018銀川一中)設(shè)函數(shù)，.若存在兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______． 5．(2017貴陽(yáng)質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－(a>0)． (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若－11． 則x＝＝，同理，y＝，z＝． ∴2x－3y＝－＝＝>0，∴2x>3y． 又∵2x－5z＝－＝＝<0， ∴2x<5z，∴3y<2x<5z．故選D． 5．【解題思路】首先根據(jù)存在2個(gè)零點(diǎn)，得到方程有兩個(gè)解，將 其轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，即直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)， 根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫出函數(shù)的圖像（將去掉）， 再畫出直線，并將其上下移動(dòng)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)， 滿足與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，從而求得結(jié)果. 【答案】畫出函數(shù)的圖像，在軸右側(cè)的去掉， 再畫出直線，之后上下移動(dòng)， 可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)， 并且向下可以無限移動(dòng)，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)， 即方程有兩個(gè)解，也就是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)， 此時(shí)滿足，即，故選C. 1．【解題思路】分類討論：當(dāng)，即時(shí)，，從而； 當(dāng)時(shí)，得，不成立，由此能求出結(jié)果． 【答案】當(dāng)，即時(shí)，，解得， 則， 當(dāng)，即時(shí)，，解得，舍去． ∴． 故選C． 2．【解題思路】由題意，根題設(shè)條件，分別求得，當(dāng)和時(shí)，的解集， 由此可求解不等式的解集，得到答案． 【答案】由題意，當(dāng)時(shí)，令，即，解得， 又由函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 則當(dāng)時(shí)，令，可得， 又由不等式，則滿足或，解得或，即 不等式的解集為，故選A． 3．【解題思路】根據(jù)零點(diǎn)定義，令，可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并令，解得，且根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性，進(jìn)而可得在處取得最大值． 所以可得，進(jìn)而根據(jù)極限值情況可得的取值范圍． 【答案】令，可化為， 令，，令，得， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 所以，先增后減，即從負(fù)無窮增大到，然后遞減到， 而函數(shù)是時(shí)由正無窮遞減到0，然后又逐漸增大， 所以，即，所以選B． 4．【解題思路】由f(1)＝判斷a的值，進(jìn)一步判斷其單調(diào)性． 【答案】由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝．由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增，所以f(x)在(－∞，2]上遞增，在[2，＋∞)上遞減．故選B． 5．【解題思路】(1)定義域—求導(dǎo)—f′(x)＝0—單調(diào)區(qū)間—極值點(diǎn)；(2)利用極值點(diǎn)和端點(diǎn)值結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性約束函數(shù)的圖像，使其滿足題意． 【答案】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1． 當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0， 所以函數(shù)f(x)在x＝1處取得極小值為1，無極大值． (2)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－， 令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上單調(diào)遞減，在(2，3]上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a． 因?yàn)楹瘮?shù)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)在區(qū)間[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)， 即有k(x)在[1，2)和(2，3]內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，所以即有 解得2－2ln 22時(shí)，令f(x)＝log2x－a＝0，得x＝2a． 又函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，∴2a≠0且2a>2，解得a>1．故選C． 2．【解題思路】分析四個(gè)圖象的不同，從而判斷函數(shù)的性質(zhì)，利用排除法求解． 【答案】當(dāng)時(shí)，，故排除D； 易知在上連續(xù)，故排除B；且，故排除A， 故選C． 3．【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)及的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知，函數(shù)的周期；根據(jù)周期性及為奇函數(shù)，可得的值． 【答案】由題可知函數(shù)的圖像關(guān)于直線和點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的周期為4， 則． 4．【解題思路】畫出f(x)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷． 【答案】,若存在兩個(gè)零點(diǎn)， 即,和有兩個(gè)不同的交點(diǎn)即可， 其中一個(gè)臨界是過點(diǎn)代入得到,且能取到，另一個(gè)臨界是過點(diǎn)， 代入得到，故范圍是.． 故答案為． 5．【解題思路】(1)定義域—求導(dǎo)—單調(diào)區(qū)間；(2)分類討論確定f(x)的最大值． 【答案】(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?－1，1)∪(1，＋∞)， f′(x)＝－＝， 當(dāng)－13時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)00時(shí)，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝． 若00，f(x)>f(0)＝0，不符合題意． 若a>1，此時(shí)－1f(0)＝0，不符合題意． 若a＝1，由(1)知，函數(shù)f(x)在x＝0處取得最大值0，符合題意， 綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍為{1}．