2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 第1講 三角函數(shù)學(xué)案.docx

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第1講三角函數(shù) 1．三角函數(shù)的圖象，主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定解析式問題，主要以選擇題、填空題的形式考查； 2．利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等，主要以解答題的形式考查； 3．三角函數(shù)的化簡與求值是高考的命題熱點，其中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式是解決計算問題的工具，三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心． 1．常用三種函數(shù)的圖象性質(zhì)(下表中) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 遞增 區(qū)間 遞減 區(qū)間 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對稱 中心 對稱軸 x＝kπ＋ x＝kπ 周期性 2π 2π π 2．三角函數(shù)的常用結(jié)論 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)；當φ＝kπ＋()時為偶函數(shù)； 對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋()求得． (2)y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數(shù)；當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)； 對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ()求得． (3)y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝kπ()時為奇函數(shù)． 3．三角函數(shù)的兩種常見變換 (1)y＝sin x y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)． y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)． 4．三角函數(shù)公式 (1)同角關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1，． (2)誘導(dǎo)公式：對于“，的三角函數(shù)值”與“α角的三角函數(shù)值”的關(guān)系可按下面口訣記憶： 奇變偶不變，符號看象限． (3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式： ； ； ． (4)二倍角公式：，． (5)輔助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中． 熱點一　三角函數(shù)的圖象 【例1】(1) (2018清流一中)已知函數(shù)， （1）用“五點法”作出這個函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象； （2）函數(shù)圖象經(jīng)過怎樣的變換可以得到的圖象？ (2)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為(　　) A． B． C． D． (1)解　(1)列表 0 2 0 0 2 【注：列表每行1分，該行必須全對才得分；圖象五點對得1分，圖象趨勢錯扣1分】 （2）把的圖象向左平移個單位得到的圖象，再把的圖象縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到的圖象，最后把的圖象橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象． (2)由(1)知，根據(jù)圖象平移變換，得． 因為y＝sin x的對稱中心為，． 令2x＋2θ－＝kπ，，解得，． 由于函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于點成中心對稱，令，，解得，． 由θ>0可知，當k＝1時，θ取得最小值． (2)解析　(1)由題意知A＝2，，ω＝2， 因為當時取得最大值2，所以， 所以，，解得，， 因為|φ|<，得，因此函數(shù)． 探究提高　1．“五點法”作圖：設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點、連線可得． 2．在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向． 3．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置． 【訓(xùn)練1】(1) (2018孝感期末)已知函數(shù)，， 的圖像在軸上的截距為1，且關(guān)于直線對稱．若對于任意的，存在， 使得，則實數(shù)的取值范圍為______． (2)(2017貴陽調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(，，)的部分圖象如圖所示． ①求函數(shù)f(x)的解析式； ②將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的倍，再把所得的函數(shù)圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最小值． 解析(1)因為的圖像在軸上的截距為1，且關(guān)于直線對稱， 所以，， 又，，所以，， 所以，， 所以，，，， 因為，，所以， 若對于任意的，存在，使得， 則，所以，解得， 所以實數(shù)m的取值范圍為，答案為． 答案 (2)解?、僭O(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，由題圖可知A＝1，＝－＝， 即T＝π，所以π＝，解得ω＝2，故f(x)＝sin(2x＋φ)． 由0＝sin可得＋φ＝2kπ，， 則φ＝2kπ－，k∈Z，因為|φ|＜，所以φ＝－， 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝sin． ②根據(jù)條件得g(x)＝sin， 當x∈時，4x＋∈， 所以當x＝時，g(x)取得最小值，且g(x)min＝． 熱點二　三角函數(shù)的性質(zhì) 【例2】(2018哈爾濱三中)已知函數(shù)的圖象與軸的交點為，它在軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為和． （1）求解析式及的值； （2）求的單調(diào)增區(qū)間； （3）若時，函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍． 解（1）由題意知，，，∴，∴； 又∵圖象過點，∴，∴； 又∵，∴；∴； 又∵是在軸右側(cè)的第1個最高點，∴，解得． （2）由，得， ∴的單調(diào)增區(qū)間為； （3）∵在時，函數(shù)有兩個零點， ∴有兩個實數(shù)根，即函數(shù)圖象有兩個交點． ∴在上有兩個根， ∵，∴， ∴結(jié)合函數(shù)圖象，函數(shù)有兩個零點的范圍是． ∴． 探究提高　1．討論三角函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對稱性，都必須首先利用輔助角公式，將函數(shù)化成一個角的一種三角函數(shù)． 2．求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間，是將ωx＋φ作為一個整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間)，求出的區(qū)間即為y＝Asin(ωx＋φ)的增區(qū)間(或減區(qū)間)，但是當A＞0，ω＜0時，需先利用誘導(dǎo)公式變形為y＝－Asin(－ωx－φ)，則y＝Asin(－ωx－φ)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間． 【訓(xùn)練2】(2017浙江卷)已知函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)． (1)求f 的值； (2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間． 解　(1)f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin， 則f ＝－2sin＝2． (2)f(x)的最小正周期為π． 由正弦函數(shù)的性質(zhì)，令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z． 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z． 熱點三　三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【例3】(2017西安調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期為π． (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10個零點，求b的最小值． 解　(1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋(2sin2ωx－1)＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin． 由最小正周期為π，得ω＝1，所以f(x)＝2sin， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，， 整理得kπ－≤x≤kx＋，， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，． (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到y(tǒng)＝2sin 2x＋1的圖象； 所以g(x)＝2sin 2x＋1． 令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋()， 所以在[0，π]上恰好有兩個零點，若y＝g(x)在[0，b]上有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標即可． 所以b的最小值為4π＋＝． 探究提高　1．研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解． 2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝．應(yīng)特別注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期為T＝． 【訓(xùn)練3】函數(shù)的性質(zhì)通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等，請選擇適當?shù)奶骄宽樞?，研究函?shù)的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上填寫下表，作出在區(qū)間上的圖象． 性質(zhì) 理由 結(jié)論 得分 定義域 值域 奇偶性 周期性 單調(diào)性 對稱性 作圖 解∵1-sinx≥0且1+sinx≥0，在R上恒成立，∴函數(shù)的定義域為R； ∵， ∴由|cosx|∈[0，1]，f2（x）∈[2，4]，可得函數(shù)的值域為[2，2]； ∵，∴函數(shù)的最小正周期為π， ∵當時，，在上為減函數(shù)， 當時，，在上為增函數(shù)， ∴在上遞增，在上遞減， ∵，且， ∴在其定義域上為偶函數(shù)，結(jié)合周期為π得到圖象關(guān)于直線對稱， 因此，可得如下表格： 性質(zhì) 理由 結(jié)論 得分 定義域 定義域 值域 值域 奇偶性 偶函數(shù) 周期性 周期 單調(diào)性 在上遞增， 在上遞減 對稱性 f（-x）=f（x），，… 關(guān)于直線x=kπ2對稱 作圖 熱點四　三角恒等變換及應(yīng)用 【例4】(1)(2015重慶卷)若tan α＝2tan ，則＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析＝＝＝＝＝＝3． 答案C． 探究提高1．三角恒等變換的基本思路：找差異，化同角(名)，化簡求值． 2．解決條件求值問題的三個關(guān)注點 (1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來表示未知角． (2)正確地運用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示． (3)解三角函數(shù)中給值求角的問題時，要根據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍， 求出角的大?。? 【訓(xùn)練4】 (1) (2018泰安一中)平面直角坐標系中，點在單位圓上，設(shè)， 若，且，則的值為_________． (2)(2017石家莊質(zhì)檢)若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，則α＋β的值為________． 解析(1)∵點在單位圓O上，且，∴cosα＝x0，sinα＝y(tǒng)0， 又，且，則， ∴x0＝cosα＝cos[（α+π6）-π6]＝cos（α+π6）cosπ6+sin（α+π6）sin． 故答案為． (2)因為cos(2α－β)＝－且<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝． 因為sin(α－2β)＝且－<α－2β<，所以cos(α－2β)＝． 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－＋＝． 因為<α＋β<，所以α＋β＝． 答案(1)－；(2)．  1．(2018全國I卷)已知函數(shù)，則（） A．的最小正周期為π，最大值為3 B．的最小正周期為π，最大值為4 C．的最小正周期為，最大值為3 D．的最小正周期為，最大值為4 2．(2018全國II卷)若在是減函數(shù)，則的最大值是（） A． B． C． D． 3．(2018全國III卷)函數(shù)的最小正周期為（） A． B． C． D． 4．(2018全國III卷)函數(shù)在的零點個數(shù)為________． 5．(2018全國II卷)已知tan(α-5π4)=15，則tanα=__________． 1．(2018余江一中)已知函數(shù)時有極大值，且為奇函數(shù)，則，的一組 可能值依次為（） （A）， （B）， （C）， （D）， 2．(2018湖師附中)若函數(shù)fx＝asinωx＋bcosωx (0<ω<5，ab≠0)的圖象的一條對稱軸方程是x=π4ω， 函數(shù)fx的圖象的一個對稱中心是π4，0，則fx的最小正周期是（） A．π B．2π C．π2 D．π4 3．(2017全國Ⅰ卷)已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin，則下面結(jié)論正確的是( ) A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度， 得到曲線C2 B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度， 得到曲線C2 C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度， 得到曲線C2 4．(2017長沙一中調(diào)研)已知f(x)＝asin x－bcos x，若f ＝f ，則直線ax－by＋c＝0的傾斜角為（） A． B． C． D． 5．(2018濰坊期中)已知α，β為第二象限的角，cosα-π4=-35，sinβ+π4=513，則sinα+β的值為（） A．3365 B．-6365 C．6365 D．-3365 1．(2018長春外國語)定義行列式運算a1a2b1b2=a1b2-a2b1，已知函數(shù)f(x)=sinωx-1cosωx3(ω>0)，滿足：f(x1)=0，f(x2)=-2，且x1-x2的最小值為π2，則ω的值為（） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(2018濱州期末)已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0，φ<π2的圖象如圖所示，為了得到函數(shù)gx=sin2x的圖象，只需把fx上所有的點（） A．向右平移π6個單位長度 B．向右平移π12個單位長度 C．向左平移π6個單位長度 D．向左平移π12個單位長度 3．(2017池州模擬)已知sin＝，則sin＝________． 4．(2018煙臺期中)已知函數(shù)fx=3sinωxcosωx+cos2ωx的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為π4． （1）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程及單調(diào)遞增區(qū)間； （2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移π6個單位后，再將得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的12（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，當x∈（-π12，π3）時，求函數(shù)g（x）的值域． 5．(2017西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinsin x－cos2x＋． (1)求f(x)的最大值及取得最大值時x的值； (2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2，求cos(x1－x2)的值．  參考答案 1．【解題思路】首先利用余弦的倍角公式，對函數(shù)解析式進行化簡，將解析式化簡為， 之后應(yīng)用余弦型函數(shù)的性質(zhì)得到相關(guān)的量，從而得到正確選項． 【答案】根據(jù)題意有， 所以函數(shù)的最小正周期為，且最大值為，故選B． 2．【解題思路】先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值， 【答案】因為， 所以由，得， 因此[-a，a]?[-π4，3π4]∴-a0，ω>0)的性質(zhì)： (1)ymax=A+B，ymin=A-B． (2)周期T=2πω． (3)由ωx+φ=π2+kπ(k∈Z)求對稱軸， (4)由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ(k∈Z)求增區(qū)間；由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπ(k∈Z)求減區(qū)間． 3．【解題思路】將函數(shù)進行化簡即可 【答案】由已知得， 的最小正周期，故選C． 4．【解題思路】求出3x+π6的范圍，再由函數(shù)值為零，得到3x+π6的取值可得零點個數(shù)． 【答案】，，由題可知3x+π6=π2，3x+π6=3π2，或3x+π6=5π2， 解得x=π9，4π9，或7π9，故有3個零點． 5．【解題思路】利用兩角差的正切公式展開，解方程可得tanα=32． 【答案】tan(α-5π4)=tanα-tan5π41+tanα?tan5π4=tanα-11+tanα=15，解方程得tanα=32． 1．【解題思路】由極值點的導(dǎo)數(shù)為0確定，由奇函數(shù)確定． 【答案】，因為當時有極大值，所以=0， 解得，，當時，； 因為為奇函數(shù)，所以，， 當時，，故選D． 2．【解題思路】根據(jù)題意得到aωcosπ4ω-sinπ4ω=0，得ω=1，得出fx=2sinx+π4， 即可求解函數(shù)的最小正周期，得到答案． 【答案】由題設(shè)，有fπ4ω=a2+b2，即22a+b=a2+b2，得a=b， 又fπ4=0，所以aωcosπ4ω-sinπ4ω=0， 從而tanπ4ω=1，所以π4ω=kπ+π4，k∈Z，即ω=4k+1，k∈Z， 又由0<ω<5，所以ω=1， 于是fx=2sinx+π4，故fx的最小正周期是2π．故選B． 3．【解題思路】先把y＝cos x用誘導(dǎo)公式化為正弦形式，再根據(jù)平移伸縮原則確定答案． 【答案】易知C1：y＝cos x＝sin，把曲線C1上的各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝sin的圖象，再把所得函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得函數(shù)y＝sin＝sin的圖象，即曲線C2，因此D項正確．故選D． 4．【解題思路】由f＝f，可得x＝是其對稱軸，再根據(jù)特殊值確定a，b的關(guān)系． 【答案】　在f＝f中，令x＝，得f(0)＝f，即－b＝a， ∴直線ax－by＋c＝0的斜率k＝＝－1，因此直線的傾斜角為π．故選D． 5．【解題思路】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得和的值，再利用兩角和的正弦公式求得的值． 【答案】∵α，β為第二象限的角，cos（α-π4）=-35，sin（β+π4）=513， ∴sin（α-π4）=1-cos2(α-π4)=45，cos（β+π4）=﹣1-sin2(β+π4)=﹣1213， 則，故選B． 1．【解題思路】先求出函數(shù)f(x)的解析式，然后由x1-x2的最小值為π2可以求出周期T=2π，進而求出ω=1． 【答案】由題意得，fx=3sinωx+cosωx=2sin（ωx+π6），(ω>0)，因為x1-x2的最小值為T4=π2，所以T=2π，則由T=2πω得ω=1． 2．【解題思路】由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)fx的解析式， 再利用y=Asinωx+φ的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論． 【答案】由函數(shù)y=Asinωx+φ(其中A>0，φ<π2)的部分圖象可得A=1， T4=142πω=7π12-π3，求得ω=2， 再根據(jù)五點法作圖可得2π3+φ=π，∴φ=π3，fx=sin2x+π3， 故把fx=sin2x+π3的圖象向右平移π6個長度單位， 可得y=sin2x-π6+π3=gx=sin2x的圖象，故選A． 3．【解題思路】已知角度與所求角度互余． 【答案】∵sin＝，∴cos＝cos＝sin＝； 又0<α<，∴<＋α<， ∴sin＝＝＝．故填． 4．【解題思路】（1）根據(jù)題意得到14?2π2ω=π4，從而得到ω=1，f（x）=sin（2x+π6）+12，令2x+π6=kπ+π2，求得x=kπ2+π6，即對稱軸；（2）根據(jù)圖像的變換得到g（x）=sin（4x﹣π6）+12，當x∈（-π12，π3）時，4x﹣π6∈（﹣π2，7π6）， 結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)得到值域． 【答案】（1）∵函數(shù)fx=3sinωxcosωx+cos2ωx 32sin2ωx+1+cos2ωx2=sin（2ωx+π6）+12的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為14?2π2ω=π4， ∴ω=1，f（x）=sin（2x+π6）+12． 令2x+π6=kπ+π2，求得x=kπ2+π6， 故函數(shù)f（x）的對稱軸方程為得，． （2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后， 可得y=sin（2x﹣π3+π6）+12=sin（2x﹣π6）+12的圖象； 再將得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）， 得到函數(shù)y=g（x）=sin（4x﹣π6）+12的圖象． 當x∈（-π12，π3）時，4x﹣π6∈（﹣π2，7π6），∴sin（4x﹣π6）∈（﹣1，1]， 故函數(shù)的值域為． 5．【解題思路】利用二倍角公式，輔助角公式把f(x)化為形式． 【答案】解　(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin． 當2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取最大值，且最大值為1． (2)由(1)知，函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為，， ∴當x∈(0，π)時，對稱軸為x＝π，． 又方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2．結(jié)合圖象可知， ∴x1＋x2＝π，則x1＝π－x2，∴cos(x1－x2)＝cos＝sin， 又f(x2)＝sin＝，故cos(x1－x2)＝．