江蘇省2019高考數學二輪復習 專題八 附加題 第3講 矩陣與變換、坐標系與參數方程學案.doc

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第3講　矩陣與變換、坐標系與參數方程 [考情考向分析]　1.考查常見的平面變換與矩陣的乘法運算，二階矩陣的逆矩陣及其求法，矩陣的特征值與特征向量的求法，屬B級要求.2.考查直線、曲線的極坐標方程、參數方程，參數方程與普通方程的互化，極坐標與直角坐標的互化，屬B級要求． 熱點一　二階矩陣與平面變換 例1　已知矩陣A＝所對應的變換T把曲線C變成曲線C1：＋＝1，求曲線C的方程． 解　設曲線C上任一點為(x，y)， 經過變換T變成(x0，y0)， 則＝，即x0＝x，y0＝y(tǒng). 由＋＝1，得曲線C的方程為x2＋4y2＝4. 思維升華　解決這類問題一般是設變換T：→，求出原曲線在T的變換下得到的曲線，再根據條件求相應的系數值． 跟蹤演練1　已知曲線C1：x2＋y2＝1，對它先作矩陣A＝對應的變換，再作矩陣B＝對應的變換，得到曲線C2：＋y2＝1，求實數b的值． 解　從曲線C1變到曲線C2的變換對應的矩陣為BA＝＝.在曲線C1上任意選一點P(x0，y0)，設它在矩陣BA對應的變換作用下變?yōu)? P′(x′，y′)， 則有 ＝，即＝. 故 解得 代入曲線C1方程得，y′2＋2＝1. 即曲線C2方程為2x2＋y2＝1. 與已知的曲線C2的方程＋y2＝1比較得(2b)2＝4. 所以b＝1. 熱點二　二階矩陣的逆矩陣及其求法 例2　已知點P(3,1)在矩陣A＝變換下得到點P′(5，－1)．試求矩陣A和它的逆矩陣A－1. 解　依題意得 ＝＝， 所以解得所以A＝. 因為det(A)＝＝1(－1)－02＝－1， 所以A－1＝. 思維升華　由二階矩陣與向量的乘法及向量相等建立方程組，常用于求二階矩陣，要注意變換的前后順序． 跟蹤演練2　二階矩陣M對應的變換TM將曲線x2＋x－y＋1＝0變?yōu)榍€2y2－x＋2＝0，求M－1. 解　設曲線2y2－x＋2＝0上一點P(x，y)在M－1對應變化下變成P(x′，y′)， 設M－1＝，所以代入x2＋x－y＋1＝0得，方程(ax＋by)2＋(ax＋by)－(cx＋dy)＋1＝0， 即b2y2＋(a－c)x＋(b－d)y＋2abxy＋a2x2＋1＝0，與方程y2－＋1＝0比較得，a＝0，b＝1，c＝，d＝1或a＝0， b＝－1，c＝，d＝－1. 所以M－1＝或M－1＝. 熱點三　特征值與特征向量 例3　已知二階矩陣M有特征值λ＝8及對應的一個特征向量e1＝，并且矩陣M對應的變換將點(－1,2)變換成(－2,4)． (1)求矩陣M； (2)求矩陣M的另一個特征值． 解　(1)設M＝，M＝8＝， M＝＝， 則 解得即M＝. (2)令特征多項式f(λ)＝ ＝(λ－6)(λ－4)－8＝0， 解得λ1＝8，λ2＝2. 故矩陣M的另一個特征值為2. 思維升華　求矩陣M＝就是要求待定的字母，利用條件建立方程組，確立待定的字母的值，從而求出矩陣，待定系數法是求這類問題的通用方法． 跟蹤演練3　已知矩陣A的逆矩陣A－1＝. (1)求矩陣A； (2)求矩陣A－1的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量． 解　(1)因為矩陣A是矩陣A－1的逆矩陣， 且|A－1|＝22－11＝3≠0， 所以A＝＝. (2)矩陣A－1的特征多項式為f(λ)＝ ＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)， 令f(λ)＝0，得矩陣A－1的特征值為λ1＝1，λ2＝3， 所以ξ1＝是矩陣A－1的屬于特征值λ1＝1的一個特征向量， ξ2＝是矩陣A－1的屬于特征值λ2＝3的一個特征向量． 熱點四　曲線的極坐標方程 例4　(2018江蘇沖刺預測)已知曲線C1的參數方程為(t為參數)，以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝ . (1)求曲線C1的極坐標方程和C2的直角坐標方程； (2)射線OP：θ＝α與C2交于P點，射線OQ：θ＝α＋與C2交于Q點，求＋的值． 解　(1)因為曲線C1的參數方程為(t為參數)， 所以曲線C1的直角坐標方程為x－2y－2＝0， 所以曲線C1的極坐標方程為ρcos θ－2ρsin θ－2＝0， 因為ρ＝，所以ρ2(2＋sin2θ)＝6， 所以曲線C2的直角坐標方程為2x2＋3y2＝6. (2)依題意得，點P的極坐標滿足 所以OP＝，＝， 點Q的極坐標滿足 所以OQ＝，＝， 所以＋＝＋＝. 思維升華　解決這類問題一般有兩種思路：一是將極坐標方程化為直角坐標方程，求出交點的直角坐標，再將其化為極坐標；二是將曲線的極坐標方程聯立，根據限制條件求出極坐標．要注意題目所給的限制條件及隱含條件． 跟蹤演練4　在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t為參數，a>0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程； (2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. 解　(1)消去參數t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2(a＞0)，C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 當a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上． 所以a＝1. 熱點五　參數方程 例5　在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標方程； (2)設圓C與直線l交于點A，B.若點P的坐標為(3，)，求PA＋PB. 解　方法一　(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0， 即x2＋(y－)2＝5. (2)將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程， 得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0. 由于Δ＝(－3)2－44＝2>0，故可設t1，t2是上述方程的兩實根，所以又直線l過點P(3，)， 故由上式及t的幾何意義， 得PA＋PB＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3. 方法二　(1)同方法一． (2)因為圓C的圓心為(0，)，半徑r＝，直線l的普通方程為y＝－x＋3＋. 由 得x2－3x＋2＝0. 解得或 不妨設A(1,2＋)，B(2,1＋)， 又點P的坐標為(3，)．故PA＋PB＝＋＝3. 思維升華　過定點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數方程的標準形式為(t為參數)，t的幾何意義是數量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負之分．使用該式時直線上任意兩點P1，P2對應的參數分別為t1，t2，則P1P2＝|t1－t2|，P1P2的中點對應的參數為(t1＋t2)． 跟蹤演練5　在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為(t為參數)，直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，求線段AB的長． 解　將直線l的參數方程(t為參數) 代入拋物線方程y2＝4x，得2＝4， 解得t1＝0，t2＝－8. 所以AB＝|t1－t2|＝8. 1．(2018江蘇)已知矩陣A＝. (1)求A的逆矩陣A－1； (2)若點P在矩陣A對應的變換作用下得到點P′(3,1)，求點P的坐標． 解　(1)因為A＝，又det(A)＝22－13＝1≠0， 所以A可逆，從而A－1＝. (2)設P(x，y)，則 ＝， 所以＝A－1＝， 因此，點P的坐標為(3，－1)． 2．(2018江蘇)在極坐標系中，直線l的方程為ρsin＝2，曲線C的方程為ρ＝4cos θ，求直線l被曲線C截得的弦長． 解　因為曲線C的極坐標方程為ρ＝4cos θ， 所以曲線C是圓心為(2,0)，直徑為4的圓． 因為直線l的極坐標方程為ρsin＝2， 則直線l過點A(4,0)，且傾斜角為， 所以A為直線l與圓C的一個交點． 設另一個交點為B，則∠OAB＝. 如圖，連結OB. 因為OA為直徑，從而∠OBA＝， 所以AB＝4cos ＝2. 因此，直線l被曲線C截得的弦長為2. 3．(2017江蘇)已知矩陣A＝，B＝. (1)求AB； (2)若曲線C1：＋＝1在矩陣AB對應的變換作用下得到另一曲線C2，求C2的方程． 解　(1)因為A＝，B＝， AB＝ ＝. (2)設Q(x0，y0)為曲線C1上任意一點，它在矩陣AB對應的變換作用下變?yōu)辄cP(x，y)， 則 ＝， 即所以 因為點Q(x0，y0)在曲線C1上，所以＋＝1， 從而＋＝1，即x2＋y2＝8. 因此曲線C1在矩陣AB對應的變換作用下得到曲線 C2：x2＋y2＝8. 1．(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市模擬)已知矩陣M＝的一個特征值為3，求M－1. 解　由＝0， 得(λ－2)(λ－x)－4＝0的一個解為3，代入得x＝－1， 因為M＝， 所以M－1＝. 2．已知矩陣A＝，B＝，向量α＝， x，y為實數．若Aα＝Bα，求x＋y的值． 解　由已知，得Aα＝ ＝， Bα＝ ＝. 因為Aα＝Bα，所以＝. 故解得 所以x＋y＝. 3．(2015江蘇)已知x，y∈R，向量α＝是矩陣A＝的屬于特征值－2的一個特征向量，求矩陣A以及它的另一個特征值． 解　由已知，得Aα＝－2α， 即 ＝＝， 則即所以矩陣A＝. 從而矩陣A的特征多項式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩陣A的另一個特征值為1. 4．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l的距離的最大值為，求a. 解　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0. 由解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0， 故C上的點(3cos θ，sin θ)到l的距離為 d＝. 當a≥－4時，d的最大值為 . 由題設得＝，所以a＝8； 當a<－4時，d的最大值為. 由題設得＝，所以a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 5．已知圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρsin－4＝0，求圓C的半徑． 解　以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy. 圓C的極坐標方程為ρ2＋2ρ－4＝0，化簡，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 則圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圓C的半徑為. 6．(2016江蘇)已知矩陣A＝，矩陣B的逆矩陣B－1＝，求矩陣AB. 解　B＝(B－1)－1＝＝. ∴AB＝ ＝. 7．(2016江蘇)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為(t為參數)，橢圓C的參數方程為(θ為參數)．設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長． 解　直線l的方程化為普通方程為x－y－＝0， 橢圓C的方程化為普通方程為x2＋＝1， 聯立方程組得 解得或 ∴取A(1,0)，B. 故AB＝ ＝. 8．(2018揚州模擬)在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程是(t是參數，m是常數)．以O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝6cos θ. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若直線l與曲線C相交于P，Q兩點，且PQ＝2，求實數m的值． 解　(1)因為直線l的參數方程是 (t是參數)， 所以直線l的普通方程為x－y－m＝0. 因為曲線C的極坐標方程為ρ＝6cos θ，故ρ2＝6ρcos θ， 所以x2＋y2＝6x， 所以曲線C的直角坐標方程是(x－3)2＋y2＝9. (2)曲線C表示以C(3,0)為圓心，3為半徑的圓，設圓心到直線l的距離為d， 則d＝＝2， 又d＝＝2， 所以|3－m|＝4，即 m＝－1或m＝7.