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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章不等關(guān)系與基本不等式 1.1 實(shí)數(shù)大小的比較學(xué)案北師大版選修4-5.docx

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1.1　實(shí)數(shù)大小的比較學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解實(shí)數(shù)大小比較的理論依據(jù).2.會(huì)進(jìn)行兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較．知識(shí)點(diǎn)一　作差法比較大小思考　你認(rèn)為可以用什么方法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。? 答案　作差，與0比較．梳理　作差法 (1)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小的基本方法是通過“作差”，確定差的符號(hào)． (2)依據(jù)：a>b?a－b>0； a0，b>0的兩個(gè)數(shù)，求，比較與1的大小，從而確定a，b的大小，這種方法稱為“作商法”． (2)依據(jù)：當(dāng)a>b，b>0時(shí)， >1?a>b；＝1?a＝b； <1?a0，mnnm>0， ∴＝mm－nnn－m＝m－n. ①當(dāng)m>n時(shí)，>1且m－n>0， ∴m－n>1. ∴mmnn>mnnm. ②當(dāng)m1， ∴mmnn>mnnm. 綜上所述，mmnn>mnnm. 反思與感悟　(1)對(duì)于兩個(gè)均大于0且多為因式積的形式，通常用作商法比較大小． (2)步驟為：作商→變形化簡→與1比較→得出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2　比較1816與1618的大?。? 解　＝16＝1616＝16. ∵∈(0,1)，∴16<1. ∵1618>0，∴1816<1618. 類型三　比較大小的實(shí)際應(yīng)用例3　甲、乙兩輛車從A地沿同一路線到達(dá)B地，甲車一半時(shí)間的速度為a，另一半時(shí)間的速度為b；乙車用速度a行駛了一半路程，用速度b行駛了另一半的路程．若a≠b，試判斷哪輛車先到．解　設(shè)甲車用時(shí)為t1，乙車用時(shí)為t2， A，B兩地距離為s，則對(duì)于甲：s＝a＋b，得t1＝；對(duì)于乙：t2＝＋＝. 那么t1－t2＝－＝－<0，故甲車先到．反思與感悟　對(duì)于實(shí)際問題，首先應(yīng)理清其數(shù)學(xué)模型，就本題而言，實(shí)質(zhì)就是比較大小問題，誰用的時(shí)間少，誰先到．跟蹤訓(xùn)練3　在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是________________．答案　[10,30] 解析　設(shè)矩形的另一條邊長為t，由相似知識(shí)得＝， ∴t＝40－x， ∴(40－x)x≥300，即x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30. 1．設(shè)y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，則(　　) A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2 答案　D 解析　y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝－1.5＝21.5. ∵函數(shù)y＝2x是增函數(shù)，且1.8>1.5>1.44， ∴y1>y3>y2. 2．已知logm20， ∴x2＋3>2x. 5．已知x≠0，比較(x2－1)2與x4＋x2＋1的大?。? 解　(x2－1)2－(x4＋x2＋1)＝x4－2x2＋1－x4－x2－1＝－3x2， ∵x≠0，∴－3x2<0，即(x2－1)2－(x4＋x2＋1)<0， ∴(x2－1)20，b>0時(shí)，把比較a，b的大小轉(zhuǎn)化為比較與1的大小關(guān)系，此即為求商比較法．理論依據(jù)是不等式的性質(zhì)：若a>0，b>0，則≥1?a≥b，≤1?a≤b. 一般步驟為作商→變形→與1比較大小→定論．一、選擇題 1．若a，b∈R，則log(a2＋1)>log(b2＋1)是alog(b2＋1)，得a2＋10，P＝3a3＋2b3，Q＝3a2b＋2ab2，則P與Q的大小關(guān)系是(　　) A．P>Q B．P0，所以a－b≥0，a2≥b2>0. 所以3a2≥3b2＞2b2，即3a2－2b2>0. 從而(3a2－2b2)(a－b)≥0，即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，即P≥Q. 3．若a，b是任意實(shí)數(shù)且a>b，則(　　) A．a(chǎn)2>b2 B.<1 C．lg(a－b)>0 D.ab， ∴f(a)0；③(a－d)(b－d)<0，則有(　　) A．a(chǎn)0， ∴a，b在c的同側(cè)． ∵(a－d)(b－d)<0， ∴a，b在d的異側(cè)． ∵ab>c B．a(chǎn)>c>b C．c>a>b D．c>b>a 答案　B 解析　∵10. ∴c>b，故選B. 二、填空題 7．已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，則M，N的大小關(guān)系是________．答案　M＞N 解析　M－N＝＋＝. ∵0＜a＜，∴ab＜1，即1－ab＞0， ∴M－N＞0，∴M＞N. 8．若a，b∈R，且a＞b，下列不等式： ①＞；②(a＋b)2＞(b＋1)2；③(a－1)2＞(b－1)2. 其中不成立的是________．(填序號(hào)) 答案　①②③ 解析?、僦校剑? 因?yàn)閍－b＞0，a(a－1)的符號(hào)不確定，①不成立； ②中，取a＝2，b＝－2，則(a＋b)2＝0，(b＋1)2＞0，②不成立；③中，取a＝2，b＝－2，則(a－1)2＝1，(b－1)2＝9，③不成立． 9．比較大?。簂og________log. 答案　> 解析　log－log＝－＝－＝＝>0，所以log>log. 10．已知a1≤a2，b1≤b2，則a1b1＋a2b2與a1b2＋a2b1的大小關(guān)系為________．答案　a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1 解析　(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1) ＝a1b1－a1b2＋a2b2－a2b1 ＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1) ＝(a1－a2)(b1－b2)． ∵a1≤a2，b1≤b2， ∴a1－a2≤0，b1－b2≤0. ∴(a1－a2)(b1－b2)≥0， ∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1. 三、解答題 11．設(shè)a≠b，比較a2＋3b2與2b(a＋b)的大?。? 解　(a2＋3b2)－2b(a＋b)＝a2＋3b2－2ab－2b2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 因?yàn)閍≠b，所以a－b≠0，從而(a－b)2>0. 于是a2＋3b2>2b(a＋b)． 12．當(dāng)a≠0時(shí)，比較(a2＋a＋1)(a2－a＋1)與(a2＋a＋1)(a2－a＋1)的大?。? 解　∵(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝[(a2＋1)＋a][(a2＋1)－a] ＝(a2＋1)2－2a2＝a4＋2a2＋1－2a2＝a4＋1， (a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝[(a2＋1)＋a][(a2＋1)－a] ＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1， ∴(a2＋a＋1)(a2－a＋1)－(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝(a4＋1)－(a4＋a2＋1)＝－a2. ∵a≠0，∴a2>0， ∴－a2<0， ∴(a2＋a＋1)(a2－a＋1)<(a2＋a＋1)(a2－a＋1)． 13．已知a>b>0，比較與的大小．解　∵－＝(a－b)＝. ∵a>b>0，∴a－b>0， ∴>0.∴－>0，即>. 四、探究與拓展 14．設(shè)函數(shù)f(x)＝xsinx，x∈，若f(x1)>f(x2)，則x與x的關(guān)系為________．答案　x>x 解析　由題意，得f(x)＝f(|x|)，且當(dāng)x∈時(shí)， f(|x|)為增函數(shù)，又由f(x1)>f(x2)，得f(|x1|)>f(|x2|)，故|x1|>|x2|，于是x>x. 15．若x＞y＞0，比較與的大小關(guān)系．解?。剑剑? 因?yàn)閤＞y＞0，所以x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0， x2＋1＞1，所以＞0. 所以＞＞0.故＞.

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