江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 數(shù)列 規(guī)范答題示例5 數(shù)列的綜合問(wèn)題學(xué)案.doc
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規(guī)范答題示例5 數(shù)列的綜合問(wèn)題 典例5 (16分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=a,(an+1)(an+1+1)=6(Sn+n),n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若對(duì)任意的n∈N*,都有Sn≤n(3n+1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (3)當(dāng)a=2時(shí),將數(shù)列{an}中的部分項(xiàng)按原來(lái)的順序構(gòu)成數(shù)列{bn},且b1=a2,求證:存在無(wú)數(shù)個(gè)滿足條件的無(wú)窮等比數(shù)列{bn}. 審題路線圖 (1) →→ (2)→→ → (3)→→ 規(guī) 范 解 答分 步 得 分 構(gòu) 建 答 題 模 板 (1)解 當(dāng)n=1時(shí),(a1+1)(a2+1)=6(S1+1),故a2=5; 當(dāng)n≥2時(shí),(an-1+1)(an+1)=6(Sn-1+n-1), 所以(an+1)(an+1+1)-(an-1+1)(an+1)=6(Sn+n)-6(Sn-1+n-1), 即(an+1)(an+1-an-1)=6(an+1). 又an>0,所以an+1-an-1=6,3分 所以a2k-1=a+6(k-1)=6k+a-6,a2k=5+6(k-1)=6k-1,k∈N*, 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=5分 (2)解 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n+1為偶數(shù), 所以an=3n+a-3,an+1=3n+2, 所以(3n+a-3+1)(3n+2+1)=6(Sn+n),整理得Sn=(3n+a-2)(n+1)-n. 由Sn≤n(3n+1),得a≤對(duì)n∈N*恒成立. 令f(n)=(n∈N*),則f(n+1)-f(n)=>0, 所以f(n)=(n∈N*)單調(diào)遞增,f(n)min=f(1)==4,所以a≤4.8分 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n+1為奇數(shù),an=3n-1,an+1=3n+a, 所以(3n-1+1)(3n+a+1)=6(Sn+n),整理得Sn=, 由Sn≤n(3n+1)得,a≤3(n+1)對(duì)n∈N*恒成立,所以a≤9. 又a1=a>0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,4].10分 (3)解 當(dāng)a=2時(shí),若n為奇數(shù),則an=3n-1,所以an=3n-1(n∈N*). 因?yàn)閿?shù)列{bn}的首項(xiàng)是b1=5,其整數(shù)倍的最小項(xiàng)是a7=20, 故可令等比數(shù)列{bn}的公比q=4m(m∈N*), 因?yàn)閎1=a2=5,所以bn=54m(n-1). 設(shè)k=m(n-1),因?yàn)?+4+42+…+4k-1=, 所以4k=3(1+4+42+…+4k-1)+1, 所以54k=5[3(1+4+42+…+4k-1)+1] =3[5(1+4+42+…+4k-1)+2]-1.14分 因?yàn)?(1+4+42+…+4k-1)+2為正整數(shù), 所以數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}中包含的無(wú)窮等比數(shù)列. 又公比q=4m(m∈N*)有無(wú)數(shù)個(gè)不同的取值,對(duì)應(yīng)著不同的等比數(shù)列,故無(wú)窮等比數(shù)列{bn}有無(wú)數(shù)個(gè).16分 第一步 找關(guān)系,求通項(xiàng):根據(jù)已知條件確定數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系. 第二步 巧轉(zhuǎn)化,定方法:根據(jù)要證式子或所求結(jié)論的結(jié)構(gòu),進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化,如對(duì)數(shù)列求和,將數(shù)列函數(shù)化討論數(shù)列的性質(zhì)等確定解題方法. 第三步 寫步驟,再反思:確定解題方案后要認(rèn)真規(guī)范書寫解題步驟,數(shù)列綜合問(wèn)題一般為壓軸題,難度較大,要有搶分意識(shí),不放過(guò)任何一個(gè)得分點(diǎn). 評(píng)分細(xì)則 (1)求出an的遞推公式給3分; (2)求出{an}的通項(xiàng)公式給2分; (3)討論n為奇數(shù)的情況給3分; (4)討論n為偶數(shù)的情況給2分; (5)求出{bn}的通項(xiàng)公式給4分; (6)證明出最后結(jié)果給2分. 跟蹤演練5 (2018南通、徐州等六市調(diào)研)設(shè)等比數(shù)列a1,a2,a3,a4的公比為q,等差數(shù)列b1, b2,b3,b4的公差為d,且q≠1,d≠0.記ci=ai+bi (i=1,2,3,4). (1)求證:數(shù)列c1,c2,c3不是等差數(shù)列; (2)設(shè)a1=1,q=2.若數(shù)列c1, c2, c3是等比數(shù)列,求b2關(guān)于d的函數(shù)關(guān)系式及其定義域; (3)數(shù)列c1,c2, c3,c4能否為等比數(shù)列?并說(shuō)明理由. (1)證明 假設(shè)數(shù)列c1,c2,c3是等差數(shù)列, 則2c2=c1+c3, 即2=+. 因?yàn)閎1,b2,b3是等差數(shù)列, 所以2b2=b1+b3.從而2a2=a1+a3. 又因?yàn)閍1,a2,a3是等比數(shù)列,所以a=a1a3. 所以a1=a2=a3,這與q≠1矛盾,從而假設(shè)不成立. 所以數(shù)列c1,c2,c3不是等差數(shù)列. (2)解 因?yàn)閍1=1, q=2, 所以an=2n-1. 因?yàn)閏=c1c3, 所以2=, 即b2=d2+3d, 由c2=2+b2≠0,得d2+3d+2≠0, 所以d≠-1且d≠-2. 又d≠0,所以b2=d2+3d,定義域?yàn)? (3)解 設(shè)c1,c2,c3,c4成等比數(shù)列,其公比為q1, 則 則將①+③-2②得, a1(q-1)2=c1(q1-1)2,⑤ 將②+④-2③得, a1q2=c1q12,⑥ 因?yàn)閍1≠0, q≠1,由⑤得c1≠0, q1≠1. 由⑤⑥得q=q1,從而a1=c1.代入①得b1=0. 再代入②,得d=0,與d≠0矛盾. 所以c1,c2,c3,c4不成等比數(shù)列.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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