江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 專題六 數(shù)列 規(guī)范答題示例5 數(shù)列的綜合問題學案.doc
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規(guī)范答題示例5 數(shù)列的綜合問題 典例5 (16分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=a,(an+1)(an+1+1)=6(Sn+n),n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若對任意的n∈N*,都有Sn≤n(3n+1),求實數(shù)a的取值范圍; (3)當a=2時,將數(shù)列{an}中的部分項按原來的順序構成數(shù)列{bn},且b1=a2,求證:存在無數(shù)個滿足條件的無窮等比數(shù)列{bn}. 審題路線圖 (1) →→ (2)→→ → (3)→→ 規(guī) 范 解 答分 步 得 分 構 建 答 題 模 板 (1)解 當n=1時,(a1+1)(a2+1)=6(S1+1),故a2=5; 當n≥2時,(an-1+1)(an+1)=6(Sn-1+n-1), 所以(an+1)(an+1+1)-(an-1+1)(an+1)=6(Sn+n)-6(Sn-1+n-1), 即(an+1)(an+1-an-1)=6(an+1). 又an>0,所以an+1-an-1=6,3分 所以a2k-1=a+6(k-1)=6k+a-6,a2k=5+6(k-1)=6k-1,k∈N*, 故數(shù)列{an}的通項公式為an=5分 (2)解 當n為奇數(shù)時,n+1為偶數(shù), 所以an=3n+a-3,an+1=3n+2, 所以(3n+a-3+1)(3n+2+1)=6(Sn+n),整理得Sn=(3n+a-2)(n+1)-n. 由Sn≤n(3n+1),得a≤對n∈N*恒成立. 令f(n)=(n∈N*),則f(n+1)-f(n)=>0, 所以f(n)=(n∈N*)單調遞增,f(n)min=f(1)==4,所以a≤4.8分 當n為偶數(shù)時,n+1為奇數(shù),an=3n-1,an+1=3n+a, 所以(3n-1+1)(3n+a+1)=6(Sn+n),整理得Sn=, 由Sn≤n(3n+1)得,a≤3(n+1)對n∈N*恒成立,所以a≤9. 又a1=a>0,所以實數(shù)a的取值范圍是(0,4].10分 (3)解 當a=2時,若n為奇數(shù),則an=3n-1,所以an=3n-1(n∈N*). 因為數(shù)列{bn}的首項是b1=5,其整數(shù)倍的最小項是a7=20, 故可令等比數(shù)列{bn}的公比q=4m(m∈N*), 因為b1=a2=5,所以bn=54m(n-1). 設k=m(n-1),因為1+4+42+…+4k-1=, 所以4k=3(1+4+42+…+4k-1)+1, 所以54k=5[3(1+4+42+…+4k-1)+1] =3[5(1+4+42+…+4k-1)+2]-1.14分 因為5(1+4+42+…+4k-1)+2為正整數(shù), 所以數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}中包含的無窮等比數(shù)列. 又公比q=4m(m∈N*)有無數(shù)個不同的取值,對應著不同的等比數(shù)列,故無窮等比數(shù)列{bn}有無數(shù)個.16分 第一步 找關系,求通項:根據(jù)已知條件確定數(shù)列的項之間的關系. 第二步 巧轉化,定方法:根據(jù)要證式子或所求結論的結構,進行適當轉化,如對數(shù)列求和,將數(shù)列函數(shù)化討論數(shù)列的性質等確定解題方法. 第三步 寫步驟,再反思:確定解題方案后要認真規(guī)范書寫解題步驟,數(shù)列綜合問題一般為壓軸題,難度較大,要有搶分意識,不放過任何一個得分點. 評分細則 (1)求出an的遞推公式給3分; (2)求出{an}的通項公式給2分; (3)討論n為奇數(shù)的情況給3分; (4)討論n為偶數(shù)的情況給2分; (5)求出{bn}的通項公式給4分; (6)證明出最后結果給2分. 跟蹤演練5 (2018南通、徐州等六市調研)設等比數(shù)列a1,a2,a3,a4的公比為q,等差數(shù)列b1, b2,b3,b4的公差為d,且q≠1,d≠0.記ci=ai+bi (i=1,2,3,4). (1)求證:數(shù)列c1,c2,c3不是等差數(shù)列; (2)設a1=1,q=2.若數(shù)列c1, c2, c3是等比數(shù)列,求b2關于d的函數(shù)關系式及其定義域; (3)數(shù)列c1,c2, c3,c4能否為等比數(shù)列?并說明理由. (1)證明 假設數(shù)列c1,c2,c3是等差數(shù)列, 則2c2=c1+c3, 即2=+. 因為b1,b2,b3是等差數(shù)列, 所以2b2=b1+b3.從而2a2=a1+a3. 又因為a1,a2,a3是等比數(shù)列,所以a=a1a3. 所以a1=a2=a3,這與q≠1矛盾,從而假設不成立. 所以數(shù)列c1,c2,c3不是等差數(shù)列. (2)解 因為a1=1, q=2, 所以an=2n-1. 因為c=c1c3, 所以2=, 即b2=d2+3d, 由c2=2+b2≠0,得d2+3d+2≠0, 所以d≠-1且d≠-2. 又d≠0,所以b2=d2+3d,定義域為. (3)解 設c1,c2,c3,c4成等比數(shù)列,其公比為q1, 則 則將①+③-2②得, a1(q-1)2=c1(q1-1)2,⑤ 將②+④-2③得, a1q2=c1q12,⑥ 因為a1≠0, q≠1,由⑤得c1≠0, q1≠1. 由⑤⑥得q=q1,從而a1=c1.代入①得b1=0. 再代入②,得d=0,與d≠0矛盾. 所以c1,c2,c3,c4不成等比數(shù)列.- 配套講稿:
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