江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第1講 直線與圓學(xué)案.doc
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第1講 直線與圓 [考情考向分析] 高考考查重點是求直線和圓的方程、直線間的平行和垂直關(guān)系、距離、直線與圓的位置關(guān)系，此類問題難度屬于中檔，偶爾出現(xiàn)解答題．其中直線方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程是C級要求． 熱點一 直線、圓的方程 例1 (1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點M(1,0)的直線l與圓x2＋y2＝5交于A，B兩點，其中點A在第一象限，且＝2，則直線l的方程為____________． 答案 x－y－1＝0 解析 方法一 易知l的斜率必存在，設(shè)l：y＝k(x－1)．由＝2，可設(shè)BM＝2t，MA＝t，如圖， 過原點O作OH⊥l于點H，則BH＝.設(shè)OH＝d，在Rt△OBH中，d2＋2＝r2＝5，在Rt△OMH中，d2＋2＝OM2＝1，解得d2＝.所以d2＝＝，解得k＝1或k＝－1，因為點A在第一象限，＝2，由圖知k＝1，所以l：x－y－1＝0. 方法二 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)．因為＝2，所以有即 又代入可得 解得x1＝2，代入可得y1＝1，又點A在第一象限，故A(2,1)，由點A和點M的坐標(biāo)可得直線AB的方程為x－y－1＝0. (2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x＝－2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2x－y－4＝0相切，則圓M的方程為________． 答案 (x＋1)2＋y2＝4 解析 由已知，可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a,0)，a＞－2，半徑為r，則 解得 ∴圓M的方程為(x＋1)2＋y2＝4. 思維升華 求具備一定條件的直線或圓的方程時，其關(guān)鍵是尋找確定直線或圓的兩個幾何要素，待定系數(shù)法也是經(jīng)常使用的方法，解題時要注意平面幾何知識的應(yīng)用． 跟蹤演練1 (1)過點P(－4,0)的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B兩點，若點A恰好是線段PB的中點，則直線l的方程為________． 答案 x3y＋4＝0 解析 設(shè)AB的中點為D，則CD⊥AB， 設(shè)CD＝d，AD＝x，則PA＝AB＝2x， 在Rt△ACD中，由勾股定理得d2＋x2＝r2＝5，① 在Rt△PDC中，由勾股定理得d2＋9x2＝CP2＝25，② 由①②解得d2＝. 易知直線l的斜率一定存在，設(shè)為k， 則l：y＝k(x＋4)， 圓心C(1,0)到直線l的距離為d＝＝， 解得k2＝，k＝， 所以直線l的方程為y＝(x＋4)， 即為x3y＋4＝0. (2)若圓上一點A(2,3)關(guān)于直線x＋2y＝0的對稱點仍在圓上，且圓與直線x－y＋1＝0相交的弦長為2，則圓的方程為________________________． 答案 (x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244 解析 設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 點A(2,3)關(guān)于直線x＋2y＝0的對稱點仍在圓上， 說明圓心在直線x＋2y＝0上，即a＋2b＝0，① 且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.② 而圓與直線x－y＋1＝0相交的弦長為2， 故r2－2＝2，③ 由①②③，解得或 所以所求圓的方程為(x－6)2＋(y＋3)2＝52 或(x－14)2＋(y＋7)2＝244. 熱點二 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 例2 (2018江蘇儀征中學(xué)檢測)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點A， B. (1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點，MN＝AB，求直線l的方程； (2)在圓C上是否存在點P，使得PA2＋PB2＝12 ？若存在，求點P的個數(shù)；若不存在，請說明理由． 解 (1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝4， 所以圓心C，半徑為2. 因為l∥AB, A， B，所以直線l的斜率為＝1， 設(shè)直線l的方程為x－y＋m＝0, 則圓心C到直線l的距離為d＝＝. 因為MN＝AB＝＝2， 而CM2＝d2＋2，所以4＝＋2, 解得m＝0或m＝－4， 故直線l的方程為x－y＝0或x－y－4＝0. (2)假設(shè)圓C上存在點P，設(shè)P， 則2＋y2＝4， PA2＋PB2＝2＋2＋2＋2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋2＝4, 因為<<2＋2，所以圓2＋y2＝4與圓x2＋2＝4相交，所以點P的個數(shù)為2. 思維升華 (1)判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法： ①幾何法：利用d與r的關(guān)系； ②代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷； ③點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交． (2)判斷圓與圓的位置關(guān)系，一般用幾何法，其步驟為： ①確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長； ②利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d，r1＋r2，|r1－r2|； ③比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論． 跟蹤演練2 (1)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若AB＝2，則圓C的面積為________． 答案 4π 解析 圓C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)，半徑r＝，C到直線y＝x＋2a的距離d＝＝.又由AB＝2， 得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2， 所以圓C的面積為π(a2＋2)＝4π. (2)(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(x＋1)2＋y2＝2，點A(2,0)，若圓C上存在點M，滿足MA2＋MO2≤10，則點M的縱坐標(biāo)的取值范圍是________． 答案 解析 設(shè)點M(x，y)，因為MA2＋MO2≤10， 所以(x－2)2＋y2＋x2＋y2≤10, 即x2＋y2－2x－3≤0， 因為(x＋1)2＋y2＝2，所以y2＝2－(x＋1)2， 所以x2＋2－(x＋1)2－2x－3≤0， 化簡得x≥－. 因為y2＝2－(x＋1)2，所以y2≤， 所以－≤y≤. 熱點三 直線、圓的綜合問題 例3 如圖所示，已知圓A的圓心在直線y＝－2x上，且該圓存在兩點關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱，又圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，過點B(－2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l1相交于點P. (1)求圓A的方程； (2)當(dāng)MN＝2時，求直線l的方程； (3)(＋)是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請說明理由． 解 (1)由圓存在兩點關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱知圓心A在直線x＋y－1＝0上．由得A(－1,2)，設(shè)圓A的半徑為R，∵圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝＝2， ∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)當(dāng)直線l與x軸垂直時，易知x＝－2符合題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，連結(jié)AQ，則AQ⊥MN， ∵M(jìn)N＝2，∴AQ＝＝1. 由AQ＝＝1，得k＝， ∴直線l的方程為3x－4y＋6＝0， ∴所求直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0. (3)∵AQ⊥BP，∴＝0， ∴(＋)＝2＝2(＋) ＝2； 當(dāng)直線l與x軸垂直時，得P， 則＝，又＝(1,2)， ∴(＋)＝2＝－10； 當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)， 由解得P， ∴＝， ∴(＋)＝2 ＝2＝－10， 綜上所述，(＋)為定值－10. 思維升華 直線、圓的綜合問題包括和圓有關(guān)的定點定值問題、范圍問題及探究性問題．解決的基本思路有兩種：代數(shù)法和幾何法，解題時要注意充分利用方程、向量及圖形的特征． 跟蹤演練3 (2016江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點A(2,4)． (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BC＝OA，求直線l的方程； (3)設(shè)點T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得＋＝，求實數(shù)t的取值范圍． 解 (1)圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－6)2＋(y－7)2＝25，圓心M(6,7)，半徑r＝5， 由題意，設(shè)圓N的方程為(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)． 且＝b＋5. 解得b＝1，∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1. (2)∵kOA＝2， ∴可設(shè)l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0. 又BC＝OA＝＝2. 由題意，圓M的圓心M(6,7)到直線l的距離為 d＝＝＝2. 即＝2，解得m＝5或m＝－15. ∴直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. (3)由＋＝，則四邊形AQPT為平行四邊形， 又∵P，Q為圓M上的兩點，∴PQ≤2r＝10. ∴TA＝PQ≤10，即≤10， 解得2－2≤t≤2＋2. 故所求t的取值范圍為[2－2，2＋2]． 1．(2018江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若＝0，則點A的橫坐標(biāo)為________． 答案 3 解析 設(shè)A(a,2a)，則a＞0. 又B(5,0)，故以AB為直徑的圓的方程為(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0. 由題意知C. 由 解得或∴D(1,2)． 又＝0，＝(5－a，－2a)，＝， ∴(5－a，－2a)＝a2－5a－＝0， 解得a＝3或a＝－1. 又a＞0，∴a＝3. 2．圓心在直線y＝－4x上，且與直線x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________． 答案 (x－1)2＋(y＋4)2＝8 解析 方法一 設(shè)圓心為(a，－4a)，則有r＝＝，解得a＝1，r＝2，則圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 方法二 過點P(3，－2)且垂直于直線x＋y－1＝0的直線方程為x－y－5＝0，聯(lián)立方程組 解得則圓心坐標(biāo)為(1，－4)，半徑為r＝ ＝2，故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 3．(2018江蘇省南京師大附中模擬)已知直線x－y＋b＝0與圓x2＋y2＝9交于不同的兩點A，B.若O是坐標(biāo)原點，且|＋|≥||，則實數(shù)b的取值范圍是______． 答案 (－3，－]∪[，3) 解析 設(shè)AB的中點為D，則＋＝2，故||≥||，即2≥2，再由直線與圓的弦長公式可得，AB＝2(d為圓心到直線的距離)，又直線與圓相交，故d下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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