（福建專用）2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 附錄 數(shù)學(xué)高考“素養(yǎng)立意”的解讀與典例分析學(xué)案 理 新人教A版.doc

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附錄:數(shù)學(xué)高考“素養(yǎng)立意”的解讀與典例分析 一、核心素養(yǎng) 1.“核心素養(yǎng)”的內(nèi)涵 核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過(guò)程中,逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力.“核心素養(yǎng)”之“核心”應(yīng)當(dāng)是基礎(chǔ),是起著奠基作用的品格和能力,聚集的是思維素養(yǎng).核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)的不是知識(shí)和技能,而是獲取知識(shí)的能力. 2.核心素養(yǎng)的基本特點(diǎn) (1)核心素養(yǎng)是知識(shí)、能力和態(tài)度等的綜合表現(xiàn). (2)核心素養(yǎng)可以通過(guò)接受教育、訓(xùn)練來(lái)形成和發(fā)展. (3)核心素養(yǎng)具有發(fā)展連續(xù)性和階段性. (4)核心素養(yǎng)兼具個(gè)人價(jià)值和社會(huì)價(jià)值. (5)核心素養(yǎng)的作用發(fā)揮具有整合性. 二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過(guò)程中,逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力.高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性,又相互交融,形成一個(gè)有機(jī)整體. 三、如何認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、反思、積累、升華、孕育出來(lái)的,面對(duì)復(fù)雜的、不確定的現(xiàn)實(shí)情境和問(wèn)題時(shí),能夠綜合運(yùn)用特定的數(shù)學(xué)觀念、知識(shí)、技能、思維模式、探究技能等,用積極的態(tài)度、科學(xué)的精神去提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、交流結(jié)果的過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的綜合品質(zhì). 四、在教學(xué)中培育學(xué)生核心素養(yǎng)的措施 1.樹(shù)立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí). 2.教師在教學(xué)實(shí)踐中要結(jié)合情境不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式,以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)基本能力. 3.以學(xué)生發(fā)展為本,充分發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神、思維品質(zhì)的重要作用. 4.幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的基本思想和文化價(jià)值,積累學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決實(shí)際問(wèn)題的基本經(jīng)驗(yàn),提升數(shù)學(xué)基本能力,特別是抽象能力、推理能力、建模能力、運(yùn)算能力、直觀想象能力、數(shù)據(jù)分析能力. 5.堅(jiān)持并加強(qiáng)問(wèn)題導(dǎo)向,重視創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,特別是實(shí)際情境,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用能力. 6.把教學(xué)活動(dòng)的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上,要加強(qiáng)“學(xué)法”指導(dǎo),幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣;充分運(yùn)用信息技術(shù)手段,積極探索有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的多樣化教學(xué)方式. 五、數(shù)學(xué)學(xué)科的各項(xiàng)核心素養(yǎng) 1.數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程.主要包括:從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征. 在數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中,積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系,能通過(guò)抽象、概括去認(rèn)識(shí)、理解、把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì),能逐漸養(yǎng)成一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣,能在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式解決問(wèn)題. 2.邏輯推理 邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)問(wèn)題的思維過(guò)程.主要包括兩類:一類是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理,推理形式主要有演繹. 在邏輯推理核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中,學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題;能掌握推理的基本形式,表述論證的過(guò)程;能理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,建構(gòu)知識(shí)框架;形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì),增強(qiáng)數(shù)學(xué)交流能力. 3.數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程.主要包括:在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題,分析問(wèn)題、構(gòu)建模型,求解結(jié)論,驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問(wèn)題. 在數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中,積累用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).學(xué)生能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題;能夠針對(duì)問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型;能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型,并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型;能夠提升應(yīng)用能力,增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí). 4.直觀想象 直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.主要包括:借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題;建立形與數(shù)的聯(lián)系;構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型,探索解決問(wèn)題的思路. 在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中,學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力,增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí),提升數(shù)形結(jié)合的能力,感悟事物的本質(zhì),培養(yǎng)創(chuàng)新思維. 5.數(shù)學(xué)運(yùn)算 數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.主要包括:理解運(yùn)算對(duì)象,掌握運(yùn)算法則,探究運(yùn)算方向,選擇運(yùn)算方法,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,求得運(yùn)算結(jié)果等. 在數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中,學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;能有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題;能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展,養(yǎng)成程序化思考問(wèn)題的習(xí)慣;形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神. 6.數(shù)據(jù)分析 數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲得相關(guān)數(shù)據(jù),運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷,形成知識(shí)的過(guò)程.主要包括:收集數(shù)據(jù),整理數(shù)據(jù),提取信息,構(gòu)建模型對(duì)信息進(jìn)行分析、推斷,獲得結(jié)論. 在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中,學(xué)生能夠提升數(shù)據(jù)處理的能力,增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí),養(yǎng)成通過(guò)數(shù)據(jù)思考問(wèn)題的習(xí)慣,積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 六、“素養(yǎng)立意”的典例剖析 【例1】已知圓C:x2+y2-2x+4y=0關(guān)于直線3x-ay-11=0對(duì)稱,則圓C中以a4,-a4為中點(diǎn)的弦長(zhǎng)為 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 答案D 解析∵圓C:x2+y2-2x+4y=0關(guān)于直線3x-ay-11=0對(duì)稱, ∴直線3x-ay-11=0過(guò)圓心C(1,-2), ∴3+2a-11=0, 直觀想象 解得a=4, ∴a4,-a4=(1,-1), 數(shù)學(xué)運(yùn)算 點(diǎn)(1,-1)到圓心C(1,-2)的距離d=(1-1)2+(-1+2)2=1, 數(shù)學(xué)運(yùn)算 圓C:x2+y2-2x+4y=0的半徑r=124+16=5, 數(shù)學(xué)運(yùn)算 ∴圓C中以a4,-a4為中點(diǎn)的弦長(zhǎng)為2r2-d2=25-1=4.故選D. 直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算 【例2】已知矩形ABCD,AB=6,BC=4,E,F分別是AB,CD上兩動(dòng)點(diǎn),且AE=DF,把四邊形BCFE沿EF折起,使平面BCFE⊥平面ABCD,若折得的幾何體的體積最大,則該幾何體外接球的體積為　　　　　. 答案642π3 解析畫出折得的幾何體(直三棱柱)如圖所示, 直觀想象 設(shè)DF=x,FC=6-x,則DC=x2-(6-x)2=12x-36, 數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算 由題設(shè)底面面積S△DFC=12(6-x)12x-36=3(6-x)x-3, 數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算 因?yàn)楦邽?,所以當(dāng)g(x)=(6-x)x-3的最大值時(shí),折得的幾何體的體積最大. 邏輯推理 令x-3=t?x=t2+3,6-x=3-t2, 數(shù)學(xué)抽象 則g(x)=f(t)=t(3-t2)=-t3+3t, 數(shù)學(xué)建模 求導(dǎo)可得f(t)=-3(t2-1)=-3(t+1)(t-1),故當(dāng)t=1?x=4時(shí), 數(shù)學(xué)運(yùn)算 即DC=16-4=23時(shí),幾何體的體積最大,此時(shí)底面外接圓的半徑為r=2. 設(shè)外接球的球心為O,則點(diǎn)O到底面的距離d=2, 直觀想象 所以球的半徑R=d2+r2=4+4=22, 則外接球的體積V=43π(22)3=64π23. 數(shù)學(xué)運(yùn)算 【例3】從某校隨機(jī)抽取200名學(xué)生,獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位:h)的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖(如圖). 編號(hào) 分組 頻數(shù) 1 [0,2) 12 2 [2,4) 16 3 [4,6) 34 4 [6,8) 44 5 [8,10) 50 6 [10,12) 24 7 [12,14) 12 8 [14,16) 4 9 [16,18] 4 合　計(jì) 200 (1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生,試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12 h的概率; (2)求頻率分布直方圖中的a,b的值; (3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,試估計(jì)樣本中的200名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組. 解(1)由頻率分布表,得該周課外閱讀時(shí)間不少于12 h的頻數(shù)為12+4+4=20, 數(shù)據(jù)分析 故可估計(jì)該周課外閱讀時(shí)間少于12 h的概率為1-20200=0.9. 數(shù)學(xué)運(yùn)算 (2)由頻率分布表可知數(shù)據(jù)在[4,6)的頻數(shù)為34,故這一組的頻率為0.17,即a=0.085, 數(shù)據(jù)在[8,10)的頻數(shù)為50,故這一組的頻率為0.25,即b=0.125. 數(shù)據(jù)分析 (3)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1200(121+316+534+744+950+1124+1312+154+174) =7.68(h), 數(shù)學(xué)運(yùn)算 故樣本中的200名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第四組. 數(shù)據(jù)分析 【例4】(2017全國(guó)Ⅰ,理20)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3-1,32,P41,32中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. (1)求C的方程; (2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過(guò)定點(diǎn). 解(1)由于P3,P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)P3,P4兩點(diǎn). 直觀想象 又由1a2+1b2>1a2+34b2知,C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1,所以點(diǎn)P2在C上. 邏輯推理 因此1b2=1,1a2+34b2=1,解得a2=4,b2=1. 故C的方程為x24+y2=1. 數(shù)學(xué)運(yùn)算 (2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2, 如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐標(biāo)分別為t,4-t22,t,-4-t22. 則k1+k2=4-t2-22t-4-t2+22t=-1,得t=2,不符合題設(shè). 數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算 從而可設(shè)l:y=kx+m(m≠1).將y=kx+m代入x24+y2=1, 直觀想象 得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 由題設(shè)可知Δ=16(4k2-m2+1)>0. 數(shù)學(xué)運(yùn)算 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1. 而k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2 =2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2. 由題設(shè)k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)4m2-44k2+1+(m-1)-8km4k2+1=0. 解得k=-m+12. 當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時(shí),Δ>0,于是l:y=-m+12x+m, 邏輯推理 即y+1=-m+12(x-2), 所以l過(guò)定點(diǎn)(2,-1). 數(shù)學(xué)抽象