河北省衡水市2019年高考數(shù)學 各類考試分項匯編 專題03 導數(shù)與應用 文.doc

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專題03 導數(shù)與應用 一、選擇題 1. 【河北省衡水中學2018屆高三第十六次模擬考試】已知函數(shù)的圖象在點處的切線為，若也與函數(shù)， 的圖象相切，則必滿足（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2. 【河北省衡水中學2019屆高三上學期三調考試】已知函數(shù)滿足，且存在實數(shù)使得不等式成立，則的取值范圍為( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵，∴， ∴，解得，，解得， ∴，∴， ∴在遞增，而， 5. 【河北省衡水中學2019屆高三上學期二調考試】已知函數(shù)，，若成立，則的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設，則，，，∴，令，則，，∴是上的增函數(shù)，又，∴當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，是極小值也是最小值， 3. 【河北省衡水中學2019屆高三上學期二調考試】已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)與的圖象恰有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是____________. 【答案】 【解析】因為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，且所以當時，與有一個公共點；當時，令，即有一個解即可. 設，則得. 因為當時，當時，所以當時，有唯一的極小值，即有最小值，所以當時，有一個公共點. 綜上，實數(shù)的取值范圍是. 當時，，又在上單調遞減，所以在上恒成立，則在上單調遞減，又，所以在上恒成立. 當時，，，又在上單調遞減，所以存在，使得， 所以在上，在上， 所以在上單調遞增，在上單調遞減， 又，所以在上恒成立， 所以在上恒成立不可能. 綜上所述， . 3. 【河北省衡水中學2019屆高三上學期六調】已知函數(shù)． （1）討論的導函數(shù)的零點的個數(shù)； （2）證明：當時，． 【答案】（1），沒有零點，，存在唯一的零點；（2）證明見解析. 【解析】（1）定義域為，的零點個數(shù)與的交點個數(shù)，①時，無交點，②時，有1個交點，③時，無交點 （2）由（1）時，存在唯一，使，即，且時，單調遞減，時，單調遞增，∴，∴當時， 4. 【河北省衡水中學2018屆高三第十六次模擬考試】已知函數(shù)（），. （1）當在處的切線與直線垂直時，方程有兩相異實數(shù)根，求的取值范圍； （2）若冪函數(shù)的圖象關于軸對稱，求使不等式在上恒成立的的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由題設可得，令（） 則令得. 遞減 極小值 遞增 ∵，，， 且有兩個不等實根，∴， 即 ∴ 又， ①，即時，. 所以在內單調遞增，，所以 ②，即時，由在內單調遞增， 且∵，. ∴使得. 遞減 極小值 遞增 所以的最小值為. 又，所以. 因此，要使當時，恒成立，只需，即即可. 解得，此時，可得， 以下求出的取值范圍. ∴在上單調遞增， ∴， 從而，不符合題意． ②若，當時，，在上單調遞增， ∴， ∴在上單調遞增， ∴, 從而在上，不符合題意； ③若，則在上恒成立， ∴在上單調遞減， ∴， ∴在上單調遞減， ∴， ∴即在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減. 且當時，，當時，， 要使有兩個不同的根， 必有，解得 ∴實數(shù)的取值范圍是. ②∵， ∴ 又，∴， ∴ 令， 則， 9. 【河北省衡水中學2019屆高三上學期三調考試】已知函數(shù)(其中，是自然對數(shù)的底數(shù)). (1)若，當時，試比較與2的大??； (2)若函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍，并證明：. 【答案】（1）（2）見解析 （2）函數(shù)有兩個極值點，則是的兩個根，即方程有兩個根， 設，則， 當時，，函數(shù)單調遞增且； 當時，，函數(shù)單調遞增且； 當時，，函數(shù)單調遞增且； 要使方程有兩個根，只需，如圖所示 故實數(shù)的取值范圍是 又由上可知函數(shù)的兩個極值點滿足，由得. 由于，故，所以 10. 【河北省衡水中學2019屆高三上學期二調考試】已知函數(shù) (1)求曲線在點處的切線方程； (2)若函數(shù)恰有2個零點，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（1） （2） （2）由題意得，， 所以. 由，解得， 故當時，，在上單調遞減； 當時，，在上單調遞增. 所以. 又，， 結合函數(shù)的圖象可得，若函數(shù)恰有兩個零點， 則解得. 所以實數(shù)的取值范圍為. 11. 【河北省衡水中學2019屆高三上學期二調考試】已知函數(shù). (1)當時，若在上恒成立，求的取值范圍； (2)當時，證明：. 【答案】（1） （2）見解析 （2）因為， 所以，. 令，則. 當時，，單調遞減； 當時，，單調遞增. 所以，即當時，， 所以在上單調遞減. 又因為 所以當時，當時， 于是對恒成立. 12. 【河北省衡水中學2019屆高三上學期二調考試】已知函數(shù)，， 令. （Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間； （Ⅱ）若關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值. 【答案】（1）；（2）. 當時，. 令得，所以當時， ；當時， . 因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù). 故函數(shù)的最大值為. 令，因為，. 又因為在上是減函數(shù)，所以當時， . 所以整數(shù)的最小值為2. 13. 【河北省衡水中學2019屆高三上學期二調考試】已知函數(shù). (1)若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍； (2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，記作，且，證明：. 【答案】（1） （2）見解析 （2）由題得，則 因為有兩個極值點， 所以 欲證等價于證，即， 所以 因為，所以原不等式等價于?. 由可得，則?. 由??可知，原不等式等價于，即 設，則，則上式等價于. 令，則 因為，所以，所以在區(qū)間上單調遞增， 所以當時，，即， 所以原不等式成立，即. 14. 【河北省衡水中學2019屆高三第一次摸底考試】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)． 討論函數(shù)的極值； 若，證明：當，時，． 【答案】（1）時，時，函數(shù)取得極小值；時，函數(shù)取得極大值；時，無極值；（2）證明見解析. 證明：當，時，，只要證明即可， 由可知：在內單調遞減，． ， 令， ， 函數(shù)在上單調遞減， ， 因此結論成立． 15. 【河北省衡水中學2018年高考押題(一)】已知函數(shù),（，為自然對數(shù)的底數(shù)） （1）試討論函數(shù)的極值情況； （2）當且時，總有 【答案】(1) 當時, 無極值; 當時, 極大值為，無極小值.(2)見解析. （2）當時， 設函數(shù)， 則，記， 則 當變化時，的變化情況如下表： 單調遞減 極小值 單調遞增 由上表可知 而 由，知 所以 所以，即 所以在內為單調遞增函數(shù). 所以當時， 即當且時， 所以當且時，總有. 16. 【河北省衡水中學2018年高考押題(三)】已知函數(shù)（，）. （1）如果曲線在點處的切線方程為，求、值； （2）若，，關于的不等式的整數(shù)解有且只有一個，求的取值范圍. 【答案】（1）（2）. （2）當時，， 關于的不等式的整數(shù)解有且只有一個. 等價于關于的不等式的整數(shù)解有且只要一個，構造函數(shù)，所以. ①當時，因為，所以，又，所以，所以在內單調遞增. 因為，所以在上存在唯一的整數(shù)使得，即. ②當時，為滿足題意，函數(shù)在內不存在整數(shù)使，即在上不存在整數(shù)使. 因為，所以. 當時，函數(shù)，所以在內為單調遞減函數(shù)，所以，即； 當時，，不符合題意. 綜上所述，的取值范圍為. 17. 【河北省衡水中學2018年高考押題(二)】設函數(shù). （1）試討論函數(shù)的單調性； （2）如果且關于的方程有兩解，，證明. 【答案】（1）見解析；（2）見解析. （2）要證，只需證. 設 ， 因為， 所以為單調遞增函數(shù). 所以只需證， 即證， 只需證.（*） 又，， 所以兩式相減，并整理，得. 把代入（*）式， 得只需證， 可化為. 令，得只需證. 令（）， 則， 所以在其定義域上為增函數(shù)， 所以. 綜上得原不等式成立. 18. 【河北省衡水中學2018年高考押題(二)】在直角坐標系中，曲線：（為參數(shù)，），在以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線：. （1）試將曲線與化為直角坐標系中的普通方程，并指出兩曲線有公共點時的取值范圍； （2）當時，兩曲線相交于，兩點，求. 【答案】（1）的取值范圍為；（2）. （2）當時，曲線：， 兩曲線交點，所在直線方程為. 曲線的圓心到直線的距離為， 所以. 19. 【河北省衡水中學2018年高考押題(二)】已知函數(shù). （1）在下面給出的直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，并由圖象找出滿足不等式的解集； （2）若函數(shù)的最小值記為，設，且有，試證明：. 【答案】（1）解集為；（2）見解析見解析. （2）證明：由圖可知函數(shù)的最小值為，即. 所以，從而， 從而 . 當且僅當時，等號成立， 即，時，有最小值， 所以得證. 20. 【河北省衡水中學2018屆高三十五模試題】已知函數(shù). （1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間； （2）是否存在實數(shù)，使得至少有一個，使成立，若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由. （2）先考慮“至少有一個，使成立”的否定“， 恒成立”. 即可轉化為恒成立. 令，則只需在恒成立即可， ， 當時，在時， ，在時， 的最小值為，由得， 故當時， 恒成立， 當時， ， 在不能恒成立， 當時，取，有， 在不能恒成立， 綜上所述，即時，至少有一個，使成立. 21. 【河北省衡水中學2018屆高三上學期七調考試】已知函數(shù)的最大值為，的圖像關于軸對稱. （1）求實數(shù)， 的值. （2）設，則是否存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）， .（2）見解析. （2）由（1）知，，則，所以，令，則對恒成立， 所以在區(qū)間內單調遞增，所以恒成立， 所以函數(shù)在區(qū)間內單調遞增. 假設存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是， 則， 問題轉化為關于的方程在區(qū)間內是否存在兩個不相等的實根， 即方程在區(qū)間內是否存在兩個不相等的實根， 令， ，則， 設， ，則對恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，故恒成立，所以，所以函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，所以方程在區(qū)間內不存在兩個不相等的實根. 綜上所述，不存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是. 22. 【河北省衡水中學2018屆高三高考押題（一)】已知函數(shù)，（，為自然對數(shù)的底數(shù)）. （1）試討論函數(shù)的極值情況； （2）證明：當且時，總有. 【答案】(1) 在處取得極大值，且極大值為，無極小值. (2)見解析. 故在處取得極大值，且極大值為，無極小值. 當變化時，，的變化情況如下表： 由上表可知， 而 ， 由，知， 所以， 所以，即. 所以在內為單調遞增函數(shù). 所以當時，. 即當且時， . 所以當且時，總有. 證法二：當時， . 因為且，故只需證. 當時，成立；