江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 專題八 附加題 第4講 幾何證明選講、不等式選講學案.doc
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第4講 幾何證明選講、不等式選講 [考情考向分析] 1.考查三角形及相似三角形的判定與性質;圓的相交弦定理,切割線定理; 圓內接四邊形的性質與判定,屬B級要求.2.考查含絕對值的不等式解法、不等式證明的基本方法、利用不等式性質求最值以及幾個重要不等式的應用,屬B級要求. 熱點一 三角形相似的判定及應用 例1 (2018徐州模擬)如圖, AB是圓O的直徑,弦BD, CA的延長線相交于點E, EF垂直BA的延長線于點F. 求證: AB2=BEBD-AEAC. 證明 連結AD,BC,因為AB為圓O的直徑,所以AD⊥BD,又EF⊥AB,則A,D,E,F(xiàn)四點共圓, 所以BDBE=BABF. 又△ABC∽△AEF,所以=,即ABAF=AEAC, 所以BEBD-AEAC=BABF-ABAF=AB=AB2. 思維升華 在證明線段的乘積相等時,通常用三角形相似或圓的切割線定理.同時,要注意等量的代換. 跟蹤演練1 如圖,AB和BC分別與圓O相切于點D,C,AC經過圓心O,且BC=2OC.求證:AC=2AD. 證明 連結OD.因為AB和BC分別與圓O相切于點D,C, 所以∠ADO=∠ACB=90. 又因為∠A=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB. 所以=. 又BC=2OC=2OD,故AC=2AD. 熱點二 圓有關定理、性質的應用 例2 (2018江蘇南京師大附中模擬)在△ABC中,已知AC=AB,CM是∠ACB的角平分線,△AMC的外接圓交BC邊于點N,求證:BN=2AM. 證明 如圖,在△ABC中,因為CM是∠ACB的角平分線, 所以=. 又AC=AB,所以=,① 因為BA與BC是圓O過同一點B的弦, 所以BMBA=BNBC,即=② 由①②可知,=, 所以BN=2AM. 思維升華 本題使用三角形內角平分線定理和圓的切割線定理,靈活進行等量代換,較好體現(xiàn)了化歸和轉化的數(shù)學思想. 跟蹤演練2 (1)(2018南通、徐州、揚州等六市模擬)如圖,A,B,C是⊙O上的3個不同的點,半徑OA交弦BC于點D.求證: DBDC+OD2=OA2. 證明 如圖,延長AO交⊙O于點E, 則DBDC=DEDA=. ∵OE=OA, ∴DBDC==OA2-OD2. ∴DBDC+OD2=OA2. (2)(2018江蘇鹽城中學模擬)如圖,過點A的圓與BC切于點D,且與AB,AC分別交于點E,F(xiàn).已知AD為∠BAC的平分線. 求證: EF∥BC. 證明 如圖,連結ED. 因為圓與BC切于D,所以∠BDE=∠BAD. 因為AD平分∠BAC.所以∠BAD=∠DAC. 又∠DAC=∠DEF,所以∠BDE=∠DEF. 所以EF∥BC. 熱點三 不等式的證明 例3 (1)(2018南通、徐州、揚州等六市模擬)已知a,b,c為正實數(shù),且a+b+c=,求證: ≥2. 證明 ∵a, b, c為正實數(shù), ∴= =≥=2 (當且僅當a=b=c時取“=”). 故原式成立. (2)已知x>0,y>0,證明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy. 證明 因為x>0,y>0, 所以1+x+y2≥3>0,1+x2+y≥3>0, 故(1+x+y2)(1+x2+y)≥33=9xy. 當且僅當x=y(tǒng)=1時,等號成立. 思維升華 證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法等;依據(jù)不等式的結構特征,也可以直接使用柯西不等式進行證明. 跟蹤演練3 已知a≥b>0,求證:2a3-b3≥2ab2-a2b. 證明 2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2) =(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b). 因為a≥b>0, 所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0, 從而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0, 即2a3-b3≥2ab2-a2b. 熱點四 柯西不等式 例4 (1)(2018淮安等四市模擬)已知a,b,c,d都是正實數(shù),且a+b+c+d=1,求證: +++≥. 證明 ∵[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)]≥ 2 =(a+b+c+d)2=1, 當且僅當a=b=c=d=時,等號成立. 又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=5, ∴+++≥. (2)(2018南京模擬)已知a,b,c∈,且a+b+c=1,求++的最大值. 解 因為(12+12+12)[()2+()2+()2]≥(1+1+1)2, 即(++)2≤9(a+b+c). 因為a+b+c=1, 所以(++)2≤9, 所以++≤3, 當且僅當==, 即a=b=c=時等號成立. 所以++的最大值為3. 思維升華 利用柯西不等式證明不等式或求最值時,要先根據(jù)柯西不等式的結構特征對式子變形,使之與柯西不等式有相似的結構. 跟蹤演練4 (2018江蘇丹陽高級中學模擬)已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=4,求++z2的最小值. 解 由柯西不等式得, ≥2 =2 =16, 所以++z2≥=, 當且僅當==, 即x=,y=,z=時取“=”. 所以++z2的最小值為. 1.(2018江蘇)如圖,圓O的半徑為2,AB為圓O的直徑,P為AB延長線上一點,過P作圓O的切線,切點為C.若PC=2,求BC的長. 證明 如圖,連結OC. 因為PC與圓O相切, 所以OC⊥PC. 又因為PC=2,OC=2, 所以OP==4. 又因為OB=2,從而B為Rt△OCP斜邊的中點, 所以BC=2. 2.(2018江蘇)若x,y,z為實數(shù),且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值. 證明 由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2. 因為x+2y+2z=6,所以x2+y2+z2≥4, 當且僅當==時,不等式取等號, 此時x=,y=,z=, 所以x2+y2+z2的最小值為4. 3.(2017江蘇)如圖,AB為半圓O的直徑,直線PC切半圓O于點C,AP⊥PC,P為垂足. 求證:(1)∠PAC=∠CAB; (2)AC2=APAB. 證明 (1)因為PC切半圓O于點C, 所以∠PCA=∠CBA, 因為AB為半圓O的直徑,所以∠ACB=90, 因為AP⊥PC,所以∠APC=90. 因此∠PAC=∠CAB. (2)由(1)知△PAC∽△CAB,故=, 即AC2=APAB. 4.(2017江蘇)已知a,b,c,d為實數(shù),且a2+b2=4,c2+d2=16,證明:ac+bd≤8. 證明 由柯西不等式,得(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2), 因為a2+b2=4,c2+d2=16, 所以(ac+bd)2≤64, 因此ac+bd≤8. 1.(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市調研)如圖所示,AB為⊙O的直徑,AE平分∠BAC交⊙O于E點,過E作⊙O的切線交AC于點D,求證:AC⊥DE. 證明 連結OE,因為ED是⊙O切線,所以OE⊥ED. 因為OA=OE,所以∠1=∠OEA. 又因為∠1=∠2,所以∠2=∠OEA, 所以OE∥AC,所以AC⊥DE. 2.如圖,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點D. 求證:△ABD∽△AEB. 證明 因為AB=AC,所以∠ABD=∠C. 又因為∠C=∠E,所以∠ABD=∠E, 又∠BAE為公共角,可知△ABD∽△AEB. 3.如圖,AB是圓O的直徑,D,E為圓上位于AB異側的兩點,連結BD并延長至點C,使BD=DC,連結AC,AE,DE. 求證:∠E=∠C. 證明 連結OD,因為BD=DC,O為AB的中點,所以OD∥AC,于是∠ODB=∠C.因為OB=OD,所以∠ODB=∠B,于是∠B=∠C. 因為點A,E,B,D都在圓O上,且D,E為圓O上位于AB異側的兩點,所以∠E和∠B為同弧所對的圓周角, 故∠E=∠B.所以∠E=∠C. 4.解不等式x+|2x+3|≥2. 解 原不等式可化為或 解得x≤-5或x≥-. 綜上,原不等式的解集是. 5.(2018江蘇南京師大附中模擬)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:+≥. 證明 方法一 因為a>0,b>0,a+b=1, 所以[(2a+1)+(2b+1)]=1+4++≥5+2=9. 而(2a+1)+(2b+1)=4,所以+≥. 當且僅當 即a=,b=時,等號成立. 方法二 因為a>0,b>0,由柯西不等式得 [(2a+1)+(2b+1)]≥2 =(1+2)2=9. 由a+b=1,得 (2a+1)+(2b+1)=4, 所以+≥.當且僅當 即a=,b=時等號成立. 6.(2016江蘇)設a>0,<,|y-2|<, 求證:|2x+y-4|<a. 證明 由a>0,|x-1|<可得|2x-2|<, 又|y-2|<, ∴|2x+y-4|=|(2x-2)+(y-2)|≤|2x-2|+|y-2|<+=a. 即|2x+y-4|<a. 7.(2018全國大聯(lián)考江蘇卷)如圖,AD,BC,CD是以AB為直徑的圓的切線,切點分別為A,B,P,AC和BD交于Q點. 求證:PQ⊥AB. 證明 ∵AD,BC是以AB為直徑的圓的切線, ∴AD⊥AB,BC⊥AB, ∴AD∥BC,∴△CQB∽△AQD,∴=. 又∵DA,DP是以AB為直徑的圓的切線, ∴DA=DP,同理,CP=CB,∴=,∴PQ∥DA, 又∵DA⊥AB,∴PQ⊥AB. 8.已知實數(shù)x,y滿足x2+3y2=1,求當x+y取最大值時x的值. 解 由柯西不等式,得[x2+(y)2]≥2, 即(x2+3y2)≥(x+y)2. 而x2+3y2=1,所以(x+y)2≤, 所以-≤x+y≤, 由得 所以當且僅當x=,y=時,(x+y)max=. 所以當x+y取最大值時x的值為.- 配套講稿:
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