江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 附加題 第4講 幾何證明選講、不等式選講學(xué)案.doc

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第4講　幾何證明選講、不等式選講 [考情考向分析]　1.考查三角形及相似三角形的判定與性質(zhì)；圓的相交弦定理，切割線定理； 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定，屬B級要求.2.考查含絕對值的不等式解法、不等式證明的基本方法、利用不等式性質(zhì)求最值以及幾個(gè)重要不等式的應(yīng)用，屬B級要求． 熱點(diǎn)一　三角形相似的判定及應(yīng)用 例1　(2018徐州模擬)如圖， AB是圓O的直徑，弦BD, CA的延長線相交于點(diǎn)E, EF垂直BA的延長線于點(diǎn)F. 求證： AB2＝BEBD－AEAC. 證明　連結(jié)AD，BC，因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AD⊥BD，又EF⊥AB，則A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓， 所以BDBE＝BABF. 又△ABC∽△AEF，所以＝，即ABAF＝AEAC， 所以BEBD－AEAC＝BABF－ABAF＝AB＝AB2. 思維升華　在證明線段的乘積相等時(shí)，通常用三角形相似或圓的切割線定理．同時(shí)，要注意等量的代換． 跟蹤演練1　如圖，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC＝2OC.求證：AC＝2AD. 證明　連結(jié)OD.因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90. 又因?yàn)椤螦＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB. 所以＝. 又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD. 熱點(diǎn)二　圓有關(guān)定理、性質(zhì)的應(yīng)用 例2　(2018江蘇南京師大附中模擬)在△ABC中，已知AC＝AB，CM是∠ACB的角平分線，△AMC的外接圓交BC邊于點(diǎn)N，求證：BN＝2AM. 證明　如圖，在△ABC中，因?yàn)镃M是∠ACB的角平分線， 所以＝. 又AC＝AB，所以＝，① 因?yàn)锽A與BC是圓O過同一點(diǎn)B的弦， 所以BMBA＝BNBC，即＝② 由①②可知，＝， 所以BN＝2AM. 思維升華　本題使用三角形內(nèi)角平分線定理和圓的切割線定理，靈活進(jìn)行等量代換，較好體現(xiàn)了化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想． 跟蹤演練2　(1)(2018南通、徐州、揚(yáng)州等六市模擬)如圖，A，B，C是⊙O上的3個(gè)不同的點(diǎn)，半徑OA交弦BC于點(diǎn)D.求證： DBDC＋OD2＝OA2. 證明　如圖，延長AO交⊙O于點(diǎn)E， 則DBDC＝DEDA＝. ∵OE＝OA， ∴DBDC＝＝OA2－OD2. ∴DBDC＋OD2＝OA2. (2)(2018江蘇鹽城中學(xué)模擬)如圖，過點(diǎn)A的圓與BC切于點(diǎn)D，且與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn).已知AD為∠BAC的平分線． 求證： EF∥BC. 證明　如圖，連結(jié)ED. 因?yàn)閳A與BC切于D，所以∠BDE＝∠BAD. 因?yàn)锳D平分∠BAC.所以∠BAD＝∠DAC. 又∠DAC＝∠DEF，所以∠BDE＝∠DEF. 所以EF∥BC. 熱點(diǎn)三　不等式的證明 例3　(1)(2018南通、徐州、揚(yáng)州等六市模擬)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝，求證： ≥2. 證明　∵a, b, c為正實(shí)數(shù)， ∴＝ ＝≥＝2 (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”)． 故原式成立． (2)已知x＞0，y＞0，證明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. 證明　因?yàn)閤＞0，y＞0， 所以1＋x＋y2≥3＞0,1＋x2＋y≥3＞0， 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33＝9xy. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，等號成立． 思維升華　證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等；依據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，也可以直接使用柯西不等式進(jìn)行證明． 跟蹤演練3　已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b. 證明　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因?yàn)閍≥b＞0， 所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0， 從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0， 即2a3－b3≥2ab2－a2b. 熱點(diǎn)四 　柯西不等式 例4　(1)(2018淮安等四市模擬)已知a，b，c，d都是正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＋d＝1，求證： ＋＋＋≥. 證明　∵[(1＋a)＋(1＋b)＋(1＋c)＋(1＋d)]≥ 2 ＝(a＋b＋c＋d)2＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝d＝時(shí)，等號成立． 又(1＋a)＋(1＋b)＋(1＋c)＋(1＋d)＝5， ∴＋＋＋≥. (2)(2018南京模擬)已知a，b，c∈，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值． 解　因?yàn)?12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]≥(1＋1＋1)2， 即(＋＋)2≤9(a＋b＋c)． 因?yàn)閍＋b＋c＝1， 所以(＋＋)2≤9, 所以＋＋≤3， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝， 即a＝b＝c＝時(shí)等號成立． 所以＋＋的最大值為3. 思維升華　利用柯西不等式證明不等式或求最值時(shí)，要先根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征對式子變形，使之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu)． 跟蹤演練4　(2018江蘇丹陽高級中學(xué)模擬)已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝4，求＋＋z2的最小值． 解　由柯西不等式得， ≥2 ＝2 ＝16， 所以＋＋z2≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝， 即x＝，y＝，z＝時(shí)取“＝”． 所以＋＋z2的最小值為. 1．(2018江蘇)如圖，圓O的半徑為2，AB為圓O的直徑，P為AB延長線上一點(diǎn)，過P作圓O的切線，切點(diǎn)為C.若PC＝2，求BC的長． 證明　如圖，連結(jié)OC. 因?yàn)镻C與圓O相切， 所以O(shè)C⊥PC. 又因?yàn)镻C＝2，OC＝2， 所以O(shè)P＝＝4. 又因?yàn)镺B＝2，從而B為Rt△OCP斜邊的中點(diǎn)， 所以BC＝2. 2．(2018江蘇)若x，y，z為實(shí)數(shù)，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值． 證明　由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2. 因?yàn)閤＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，不等式取等號， 此時(shí)x＝，y＝，z＝， 所以x2＋y2＋z2的最小值為4. 3．(2017江蘇)如圖，AB為半圓O的直徑，直線PC切半圓O于點(diǎn)C，AP⊥PC，P為垂足． 求證：(1)∠PAC＝∠CAB； (2)AC2＝APAB. 證明　(1)因?yàn)镻C切半圓O于點(diǎn)C， 所以∠PCA＝∠CBA， 因?yàn)锳B為半圓O的直徑，所以∠ACB＝90， 因?yàn)锳P⊥PC，所以∠APC＝90. 因此∠PAC＝∠CAB. (2)由(1)知△PAC∽△CAB，故＝， 即AC2＝APAB. 4．(2017江蘇)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證明：ac＋bd≤8. 證明　由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)， 因?yàn)閍2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 所以(ac＋bd)2≤64， 因此ac＋bd≤8. 1．(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)如圖所示，AB為⊙O的直徑，AE平分∠BAC交⊙O于E點(diǎn)，過E作⊙O的切線交AC于點(diǎn)D，求證：AC⊥DE. 證明　連結(jié)OE，因?yàn)镋D是⊙O切線，所以O(shè)E⊥ED. 因?yàn)镺A＝OE，所以∠1＝∠OEA. 又因?yàn)椤?＝∠2，所以∠2＝∠OEA， 所以O(shè)E∥AC，所以AC⊥DE. 2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點(diǎn)D. 求證：△ABD∽△AEB. 證明　因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABD＝∠C. 又因?yàn)椤螩＝∠E，所以∠ABD＝∠E， 又∠BAE為公共角，可知△ABD∽△AEB. 3．如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)BD并延長至點(diǎn)C，使BD＝DC，連結(jié)AC，AE，DE. 求證：∠E＝∠C. 證明　連結(jié)OD，因?yàn)锽D＝DC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥AC，于是∠ODB＝∠C.因?yàn)镺B＝OD，所以∠ODB＝∠B，于是∠B＝∠C. 因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以∠E和∠B為同弧所對的圓周角， 故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C. 4．解不等式x＋|2x＋3|≥2. 解　原不等式可化為或 解得x≤－5或x≥－. 綜上，原不等式的解集是. 5．(2018江蘇南京師大附中模擬)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：＋≥. 證明　方法一　因?yàn)閍＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋＋≥5＋2＝9. 而(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以＋≥. 當(dāng)且僅當(dāng) 即a＝，b＝時(shí)，等號成立． 方法二　因?yàn)閍＞0，b＞0，由柯西不等式得 [(2a＋1)＋(2b＋1)]≥2 ＝(1＋2)2＝9. 由a＋b＝1，得 (2a＋1)＋(2b＋1)＝4， 所以＋≥.當(dāng)且僅當(dāng) 即a＝，b＝時(shí)等號成立． 6．(2016江蘇)設(shè)a＞0，＜，|y－2|＜， 求證：|2x＋y－4|＜a. 證明　由a＞0，|x－1|＜可得|2x－2|＜， 又|y－2|＜， ∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)|≤|2x－2|＋|y－2|＜＋＝a. 即|2x＋y－4|＜a. 7．(2018全國大聯(lián)考江蘇卷)如圖，AD，BC，CD是以AB為直徑的圓的切線，切點(diǎn)分別為A，B，P，AC和BD交于Q點(diǎn)． 求證：PQ⊥AB. 證明　∵AD，BC是以AB為直徑的圓的切線， ∴AD⊥AB，BC⊥AB， ∴AD∥BC，∴△CQB∽△AQD，∴＝. 又∵DA，DP是以AB為直徑的圓的切線， ∴DA＝DP，同理，CP＝CB，∴＝，∴PQ∥DA， 又∵DA⊥AB，∴PQ⊥AB. 8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋3y2＝1，求當(dāng)x＋y取最大值時(shí)x的值． 解　由柯西不等式，得[x2＋(y)2]≥2， 即(x2＋3y2)≥(x＋y)2. 而x2＋3y2＝1，所以(x＋y)2≤， 所以－≤x＋y≤， 由得 所以當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝時(shí)，(x＋y)max＝. 所以當(dāng)x＋y取最大值時(shí)x的值為.