高中數(shù)學(xué) 第5課時(shí) 變換的不變量與特征向量教案 新人教A版選修42

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1、 第五講 變換的不變量與特征向量 一. 特征值與特征向量 【探究】 1. 計(jì)算下列結(jié)果: = = 以上的計(jì)算結(jié)果與,的關(guān)系是怎樣的? 2. 計(jì)算下列結(jié)果: = = 以上的計(jì)算結(jié)果與,的關(guān)系是怎樣的? 【定義】 設(shè)矩陣A=,如果存在實(shí)數(shù)及非零向量,使得,則稱(chēng)是矩陣A的一個(gè)特征值。 是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量。 (結(jié)合探究1、2說(shuō)明,特征值與特征向量) 【定理1】 如果是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量,則對(duì)任意的非零常數(shù)k,k也是矩陣A的屬于特征值的特征向量。 其幾何意義是什么? 【定理2】 屬于矩陣的不同特

2、征值的特征向量不共線(xiàn)。 【應(yīng)用】 從幾何角度解釋旋轉(zhuǎn)變換的特征值與特征向量。 二、特征值與特征向量的計(jì)算 1. 設(shè)A=,求A的特征值及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量。 【總結(jié)規(guī)律】 一般的,矩陣A=的特征值及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量的求法。

3、 【應(yīng)用】 求A=的特征值及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量。 【練習(xí):P70】 【第五講.作業(yè)】 1.設(shè)反射變換對(duì)應(yīng)的矩陣為A,則下列不是A的特征向量的是 ( ) A. B. C. D. 2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 ( ) A.矩陣A的一個(gè)特征向量只能屬于A的一個(gè)特征值 B.每個(gè)二階矩陣均有特征向量 C.屬于矩陣A的

4、不同特征值的特征向量一定不共線(xiàn) D. 如果是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量,則對(duì)任意的非零常數(shù)k,k也是矩陣A的屬于特征值的特征向量。 3.設(shè),分別是恒等變換與零變換的特征值,則-= 4.投影變換的所有特征值組成的集合為 5.矩陣的特征多項(xiàng)式為 6.已知A是二階矩陣,且A2=0,則A的特征值為 7.若0是矩陣A=的一個(gè)特征值,則A的屬于0的特征向量為 8.已知1、2是矩陣A=的特征值,則= 9.若向量是矩陣的一個(gè)特征向量,則m= 10.求下列矩陣的特

5、征值及其對(duì)應(yīng)的所有特征向量:① ② ③ 11.已知向量是矩陣的一個(gè)特征向量,求m的值。 12.設(shè)A=,分別求滿(mǎn)足下列條件的所有矩陣A:①是A的屬于2的一個(gè)特征向量。②是A的一個(gè)特征向量。 13.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,矩陣總存在特征向量,求m的取值范圍。 14設(shè)A是可逆的二階矩陣,求證:①A的特征值一定不是0;②若是A的特征值,則1/是A-1的特征值。 1.D  2.B  3.1  4.{0,1}  5.  6.0  7.  8.   9.1  10.① 或;②或③或  11.m=0 12.①②  13.-3≤m≤2  14.①有特征多項(xiàng)式證明;② ,   得征。 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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