江蘇高考數(shù)學二輪復習練習：專項限時集訓3　以構建函數(shù)模型、解三角形、動點軌跡為背景的實際問題 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 專項限時集訓(三)　以構建函數(shù)模型、解三角形、動點軌跡為背景的實際問題 (對應學生用書第117頁) (限時：60分鐘) 1．(本小題滿分14分)(20xx鹽城市濱?？h八灘中學二模)如圖4是一“T”型水渠的平面視圖(俯視圖)，水渠的南北方向和東西方向軸截面均為矩形，南北向渠寬為4 m，東西向渠寬m(從拐角處，即圖中A，B處開始)．假定渠內(nèi)的水面始終保持水平位置(即無高度差)． 圖4 (1)在水平面內(nèi)，過點A的一條直線與水渠的內(nèi)壁交于P，Q兩點，且與水渠的一邊的夾角為θ，將線段

2、PQ的長度l表示為θ的函數(shù)； (2)若從南面漂來一根長為7 m的筆直的竹竿(粗細不計)，竹竿始終浮于水平面內(nèi)，且不發(fā)生形變，問：這根竹竿能否從拐角處一直漂向東西向的水渠(不會卡住)？請說明理由. 【導學號：56394096】 [解]　(1)由題意，PA＝，QA＝， 所以l＝PA＋QA，即l＝＋. 4分 (2)設f (θ)＝＋，θ∈. 由f ′(θ)＝－＋＝， 6分 令f ′(θ)＝0，得tan θ0＝. 8分 且當θ∈(0，θ0)，f ′(θ)＜0；當θ∈，f ′(θ)＞0， 所以，f (θ)在(0，θ0)上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增， 所以，當θ＝θ0時，f (θ)取得極小

3、值，即為最小值． 當tan θ0＝時，sin θ0＝，cos θ0＝， 所以f (θ)的最小值為3， 12分 即這根竹竿能通過拐角處的長度的最大值為3 m. 因為3＞7，所以這根竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠.14分 2．(本小題滿分14分)(20xx江蘇省宿遷市三模)某景區(qū)修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖5所示．圓O的圓心與矩形ABCD對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切(E為上切點)，與左右兩邊相交(F，G為其中兩個交點)，圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為1 m且≥，設∠EOF＝θ，透光區(qū)域的面積為S. 圖5 (1)求S關于θ的函數(shù)關系

4、式，并求出定義域； (2)根據(jù)設計要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好．當該比值最大時，求邊AB的長度． [解]　(1)過點O作OH⊥FG于H，∴∠OFH＝∠EOF＝θ； 又OH＝OFsin θ＝sin θ， FH＝OFcos θ＝cos θ，∴S＝4S△OFH＋4S扇形OEF＝2sin θcos θ＋4 θ＝sin 2θ＋2θ； ∵≥，∴sin θ≥，∴θ∈； ∴S關于θ的函數(shù)關系式為S＝sin 2θ＋2θ，θ∈； 6分 (2)由S矩形＝ADAB＝22sin θ＝4sin θ， 則透光區(qū)域與矩形窗面積比值為＝＋， 設f (θ)＝＋，θ∈， 則f ′(θ)＝－si

5、n θ＋ ＝ ＝ ＝； 10分 ∵≤θ＜，∴sin 2θ≤， ∴sin 2θ－θ＜0， ∴f ′(θ)＜0， ∴f (θ)在θ∈上是單調(diào)減函數(shù)； ∴當θ＝時f (θ)取得最大值為＋， 此時AB＝2sin θ＝1(m)； ∴當透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時，所求AB的長度為1 m． 14分 3．(本小題滿分14分)(揚州市高三上學期期中)如圖6，某市在海島A上建了一水產(chǎn)養(yǎng)殖中心．在海岸線l上有相距70公里的B、C兩個小鎮(zhèn)，并且AB＝30公里，AC＝80公里，已知B鎮(zhèn)在養(yǎng)殖中心工作的員工有3百人，C鎮(zhèn)在養(yǎng)殖中心工作的員工有5百人．現(xiàn)欲在BC之間建一個碼頭D，運送來自兩

6、鎮(zhèn)的員工到養(yǎng)殖中心工作，又知水路運輸與陸路運輸每百人每公里運輸成本之比為1∶2. 圖6 (1)求sin∠ABC的大??； (2)設∠ADB＝θ，試確定θ的大小，使得運輸總成本最少． [解]　(1)在△ABC中，cos∠ABC＝＝＝－， 所以sin∠ABC＝. 4分 (2)在△ABD中，由＝＝得：＝＝. 所以AD＝，BD＝＝－. 6分 設水路運輸?shù)拿堪偃嗣抗锏馁M用為k元，陸路運輸?shù)拿堪偃嗣抗锏馁M用為2k元， 則運輸總費用y＝(5CD＋3BD)2k＋8kAD＝2k[5(70－BD)＋3BD＋4AD] ＝20k＝20k. 令H(θ)＝，則H′(θ)＝，令H′(θ)＝0，解

7、得：cos θ＝，θ＝. 10分 當0＜θ＜時，H′(θ)＜0，H(θ)單調(diào)遞減； 當＜θ＜時，H′(θ)＞0，H(θ)單調(diào)遞增， ∴θ＝時，H(θ)取最小值，同時y也取得最小值． 此時BD＝－＝，滿足0＜＜70，所以點D落在BC之間． 所以θ＝時，運輸總成本最小. 14分 4．(本小題滿分16分) 如圖7所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測得∠DAC＝15，沿山坡前進50 m到達B處，又測得∠DBC＝45，根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算cos θ的值． 圖7 [解]　由∠DAC＝15，∠DBC＝45可

8、得∠BDA＝30，∠DBA＝135，∠BDC＝90－(15＋θ)－30＝45－θ， 4分 由內(nèi)角和定理可得∠DCB＝180－(45－θ)－45＝90＋θ，根據(jù)正弦定理可得＝，即DB＝100sin 15＝100sin(45－30)＝25(－1)， 10分 又＝，即＝，得到cos θ＝－1. 16分 5．(本小題滿分16分)(鎮(zhèn)江市高三上學期期末)如圖8，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC＝200 m，斜邊AB＝400 m．現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點D，E，F(xiàn). 圖8 (1)若甲、乙都以每分鐘1

9、00 m的速度從點B出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當乙出發(fā)1分鐘后，求此時甲、乙兩人之間的距離； (2)設∠CEF＝θ，乙丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且∠DEF＝，請將甲乙之間的距離y表示為θ的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離． [解]　(1)依題意得BD＝300，BE＝100， 在△ABC中，cos B＝＝，∴B＝， 2分 在△BDE中，由余弦定理得： DE2＝BD2＋BE2－2BDBEcos B＝3002＋1002－2300100＝70 000， ∴DE＝100. 6分 即甲、乙兩人之間的距離為100 m． 7分 (2)由題意得EF＝

10、2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ， 在直角三角形CEF中，CE＝EFcos∠CEF＝2ycos θ， 9分 在△BDE中，由正弦定理得＝，即＝， ∴y＝＝，0＜θ＜， 12分 所以當θ＝時，y有最小值50. 14分 故甲、乙之間的最小距離為50 m． 16分 6．(本小題滿分16分)(20xx江蘇省鹽城市高考數(shù)學三模)一兒童游樂場擬建造一個“蛋筒”型游樂設施，其軸截面如圖9中實線所示．ABCD是等腰梯形，AB＝20米，∠CBF＝α(F在AB的延長線上，α為銳角)．圓E與AD，BC都相切，且其半徑長為100－80 sin α米．EO是垂直于AB的一個立柱，則當sin α的值設計為

11、多少時，立柱EO最矮？ 【導學號：56394097】 圖9 [解]　如圖所示，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系． 因為B(10,0)，kBC＝tan α，所以直線BC的方程為：y＝tan α(x－10)，即xtan α－y－10tan α＝0， 4分 設圓心E(0，t)(t＞0)，由圓E與直線BC相切，得100－80sin α＝＝， 所以EO＝t＝， 8分 令f (α)＝，α∈， 則f ′(α)＝， 設sin α0＝，α0∈.列表如下： α (0，α0) α0 f ′(α) － 0 ＋ f (α) 減 極小值 增 所以當α＝α0，即sin α＝時，f (α)取最小值. 15分 所以當sin α＝時，立柱EO最矮. 16分