三管齊下貴州省2014屆高三數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)試題35 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 理含解析新人教A版

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1、 35　簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決． 自主梳理 1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 (1)判斷不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面區(qū)域，可在直線Ax＋By＋C＝0的某一側(cè)的半平面內(nèi)選取一個(gè)特殊點(diǎn)，如選原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)來(lái)驗(yàn)證Ax＋By＋C的正負(fù)．當(dāng)C≠0時(shí)，常選用______________． 對(duì)于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，無(wú)論B為正值還是負(fù)值，我們都可以把y項(xiàng)的系數(shù)變形為

2、正數(shù)，當(dāng)B>0時(shí)， ①Ax＋By＋C>0表示直線Ax＋By＋C＝0______的區(qū)域； ②Ax＋By＋C<0表示直線Ax＋By＋C＝0______的區(qū)域． (2)畫(huà)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域時(shí)，其邊界直線應(yīng)為虛線；畫(huà)不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面區(qū)域時(shí)，邊界直線應(yīng)為實(shí)線．畫(huà)二元一次不等式表示的平面區(qū)域，常用的方法是：直線定“界”、原點(diǎn)定“域”． 2．線性規(guī)劃的有關(guān)概念 (1)線性約束條件——由條件列出一次不等式(或方程)組． (2)線性目標(biāo)函數(shù)——由條件列出一次函數(shù)表達(dá)式． (3)線性規(guī)劃問(wèn)題：求線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最大值或最小值問(wèn)題． (4)可行解：滿足

3、________________的解(x，y)． (5)可行域：所有________組成的集合． (6)最優(yōu)解：使______________取得最大值或最小值的可行解． 3．利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是： (1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域． (2)作出目標(biāo)函數(shù)的等值線． (3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)等值線，從而確定__________． 自我檢測(cè) 1．(2011北京東城1月檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)(－2，t)在直線x－2y＋4＝0的上方，則t的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－1，＋∞)

4、 D．(0,1) 2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)應(yīng)是(　　) 3．(2010重慶)設(shè)變量x，y滿足約束條件則z＝3x－2y的最大值為(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 4．(2010浙江)若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組且x＋y的最大值為9，則實(shí)數(shù)m等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 5．(2010天津河西高三期中)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z＝2x－y的最大值為_(kāi)_______. 探究點(diǎn)一　不等式組表示的平面區(qū)域 例1　畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，并回答下列問(wèn)題： (1)指出

5、x，y的取值范圍； (2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)整點(diǎn)？ 變式遷移1　(2011安慶模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)區(qū)域M、N，M是由三個(gè)不等式y(tǒng)≥0，y≤x和y≤2－x確定的；N是隨t變化的區(qū)域，它由不等式t≤x≤t＋1 (0≤t≤1)所確定．設(shè)M、N的公共部分的面積為f(t)，則f(t)等于(　　) A．－2t2＋2t B.(t－2)2 C．1－t2 D．－t2＋t＋ 探究點(diǎn)二　求目標(biāo)函數(shù)的最值 例2　(2010天津)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝4x＋2y的最大值為(　　) A．12 B．10 C．8 D．2 變式

6、遷移2　(2010山東)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－4y的最大值和最小值分別為(　　) A．3，－11 B．－3，－11 C．11，－3 D．11,3 探究點(diǎn)三　線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 例3　某公司計(jì)劃2010年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元．甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分和200元/分．假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告能給公司帶來(lái)的收益分別為0.3萬(wàn)元和0.2萬(wàn)元．問(wèn)：該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬(wàn)元？

7、 變式遷移3　(2010四川)某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品，甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)，可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí)，可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過(guò)480小時(shí)，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為(　　) A．甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱 B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱 C．甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱 D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工

8、原料30箱 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 例　(12分)變量x、y滿足 (1)設(shè)z＝4x－3y，求z的最大值； (2)設(shè)z＝，求z的最小值； (3)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍． 【答題模板】 解　 由約束條件 作出(x，y)的可行域如圖所示． 由，解得A. 由，解得C(1,1)．由， 解得B(5,2)．[4分] (1)由z＝4x－3y，得y＝x－. 當(dāng)直線y＝x－過(guò)點(diǎn)B時(shí)，－最小，z最大． ∴zmax＝45－32＝14.[6分] (2)∵z＝＝，∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率． 觀察圖形可知zmin＝kOB＝.[9分] (3)z＝x2＋y2的

9、幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中， dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.∴2≤z≤29.[12分] 【突破思維障礙】 1．求解目標(biāo)函數(shù)不是直線形式的最值的思維程序是： →→→ 2．常見(jiàn)代數(shù)式的幾何意義主要有以下幾點(diǎn)： (1)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的距離； 表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離． (2)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率； 表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率． 這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化，往往是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 本題會(huì)出現(xiàn)對(duì)(2)(3)無(wú)從下手

10、的情況，原因是學(xué)生沒(méi)有數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí)，不知道從目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義入手解題． 1．在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知直線l：Ax＋By＋C＝0與點(diǎn)P(x0，y0)，若Ax0＋By0＋C>0，則點(diǎn)P在直線l上方，若Ax0＋By0＋C<0，則點(diǎn)P在直線l下方． 2．在直線l：Ax＋By＋C＝0外任意取兩點(diǎn)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，若P、Q在直線l的同一側(cè)，則Ax1＋By1＋C 與Ax2＋By2＋C同號(hào)；若P、Q在直線l異側(cè)，則Ax1＋By1＋C與Ax2＋By2＋C異號(hào)，這個(gè)規(guī)律可概括為“同側(cè)同號(hào)，異側(cè)異號(hào)”． 3．線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：①分析并將已知數(shù)據(jù)列出表格；②確

11、定線性約束條件；③確定線性目標(biāo)函數(shù)；④畫(huà)出可行域；⑤利用線性目標(biāo)函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解；⑥實(shí)際問(wèn)題需要整數(shù)解時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整，以確定最優(yōu)解． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2011龍巖月考)下面給出的四個(gè)點(diǎn)中，位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是(　　) A．(0,2) B．(－2,0) C．(0，－2) D．(2,0) 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面積為(　　) A．2 B．1 C. D. 3．(

12、2011廣東)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定，若M(x，y)為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)，則z＝的最大值為(　　) A．4 B．3 C．4 D．3 4．(2011安徽)設(shè)變量x，y滿足|x|＋|y|≤1，則x＋2y的最大值和最小值分別為(　　) A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－1 5．(2011四川)某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運(yùn)送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運(yùn)送一次可

13、得利潤(rùn)450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)350元．該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤(rùn)z等于(　　) A．4 650元 B．4 700元 C．4 900元 D．5 000元 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2010北京改編)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則a的取值范圍是________． 7．(2011長(zhǎng)沙一中月考)已知實(shí)數(shù)x、y同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①x－y＋2≤0；②x≥1；③x＋y－7≤0，則的取值范圍是______________． 8．(2011湖南師大月考)設(shè)不

14、等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸，若函數(shù)y＝k(x＋1)＋1的圖象經(jīng)過(guò)區(qū)域M，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(2010廣東)某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐．已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C. 如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位

15、的午餐和晚餐？ 10．(12分)已知 求：(1)z＝x＋2y－4的最大值； (2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值； (3)z＝的范圍． 11．(14分)(2011杭州調(diào)研)預(yù)算用2 000元購(gòu)買(mǎi)單件為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的總數(shù)盡可能的多，但椅子數(shù)不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問(wèn)桌子、椅子各買(mǎi)多少才行？ 35　簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 自主梳理 1．(1)原點(diǎn)(0,0)　①上方?、谙路健?.(4)線性

16、約束條件 (5)可行解　(6)目標(biāo)函數(shù)　3.(3)最優(yōu)解 自我檢測(cè) 1．B　2.C　3.C　4.C 5．7 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　在封閉區(qū)域內(nèi)找整點(diǎn)數(shù)目時(shí)，若數(shù)目較小時(shí)，可畫(huà)網(wǎng)格逐一數(shù)出；若數(shù)目較大，則可分x＝m逐條分段統(tǒng)計(jì)． 解　(1)不等式x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及右下方的點(diǎn)的集合．x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及右上方的點(diǎn)的集合，x≤3表示直線x＝3上及左方的點(diǎn)的集合． 所以，不等式組 表示的平面區(qū)域如圖所示． 結(jié)合圖中可行域得x∈，y∈[－3,8]． (2)由圖形及不等式組知 當(dāng)x＝3時(shí)，－3≤y≤8，有12個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝2時(shí)，－2≤

17、y≤7，有10個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝1時(shí)，－1≤y≤6，有8個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝0時(shí)，0≤y≤5，有6個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝－1時(shí)，1≤y≤4，有4個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝－2時(shí)，2≤y≤3，有2個(gè)整點(diǎn)； ∴平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(個(gè))． 變式遷移1　D　[作出由不等式組組成的平面區(qū)域M，即△AOE表示的平面區(qū)域， 當(dāng)t＝0時(shí)， f(0)＝11＝， 當(dāng)t＝1時(shí)， f(1)＝11＝， 當(dāng)0

18、(1)＝， 綜上可知選D.] 例2　解題導(dǎo)引　1.求目標(biāo)函數(shù)的最值，必須先準(zhǔn)確地作出線性可行域再作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，據(jù)題意確定取得最優(yōu)解的點(diǎn)，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最值． 2．線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by取最大值時(shí)的最優(yōu)解與b的正負(fù)有關(guān)，當(dāng)b>0時(shí)，最優(yōu)解是將直線ax＋by＝0在可行域內(nèi)向上平移到端點(diǎn)(一般是兩直線交點(diǎn))的位置得到的，當(dāng)b<0時(shí)，則是向下方平移． B 　[畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)z＝4x＋2y可轉(zhuǎn)化為y＝－2x＋， 作出直線y＝－2x并平移，顯然當(dāng)其過(guò)點(diǎn)A時(shí)縱截距最大．解方程組 得A(2,1)，∴zmax＝10.] 變式遷移2　A　[作出可行域如

19、圖所示． 目標(biāo)函數(shù)y＝x－z，則過(guò)B、A點(diǎn)時(shí)分別取到最大值與最小值．易求B(5,3)，A(3,5)． ∴zmax＝35－43＝3，zmin＝33－45＝－11.] 例3　解題導(dǎo)引　解線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟是：(1)分析題意，設(shè)出未知量； (2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答． 解　設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元， 由題意得 目標(biāo)函數(shù)為z＝3 000x＋2 000y. 二元一次不等式組等價(jià)于 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示． 作直線l：3 000x＋2

20、000y＝0，即3x＋2y＝0. 平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)M時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值． 由方程解得x＝100，y＝200. 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100,200)． 所以zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)． 答　該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬(wàn)元． 變式遷移3　B　[ 設(shè)甲車間加工原料x(chóng)箱，乙車間加工原料y箱， 由題意可知 甲、乙兩車間每天總獲利為z＝280x＋200y. 畫(huà)出可行域如圖所示． 點(diǎn)M(15,55)為直線x＋y＝70和直線10x＋6y＝480的交點(diǎn)，由圖象知在

21、點(diǎn)M(15,55)處z取得最大值．] 課后練習(xí)區(qū) 1．C　2.B　3.C　4.B　5.C 6．(1,3] 7. 解析　由 ?A(1,6)， ?B， ∴kOA＝6，kOB＝. ∴k∈，即∈. 8. 解析　 作可行域，如圖． 因?yàn)楹瘮?shù)y＝k(x＋1)＋1的圖象是過(guò)點(diǎn)P(－1,1)，且斜率為k的直線l，由圖知，當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2)時(shí)，k取最大值，當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)B(3,0)時(shí)，k取最小值－，故k∈. 9．解　設(shè)該兒童分別預(yù)訂x，y個(gè)單位的午餐和晚餐，共花費(fèi)z元，則z＝2.5x＋4y.(2分) 可行域?yàn)椤〖?6分) 作出可行域如圖所示： (9分) 經(jīng)

22、試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＝4，y＝3時(shí)，花費(fèi)最少，為2.54＋43＝22(元)．故應(yīng)當(dāng)為兒童分別預(yù)訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐．(12分) 10．解　 作出可行域如圖所示，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)． (1)易知可行域內(nèi)各點(diǎn)均在直線x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－4>0，將點(diǎn)C(7,9)代入z得最大值為21.(4分) (2)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)M(0,5)的距離的平方，過(guò)M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上， 故z的最小值是|MN|2＝.(8分) (3)z＝2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)Q連線的斜率的兩倍， 因此kQA＝，kQB＝， 故z的范圍為.(12分) 11．解　設(shè)桌子、椅子分別買(mǎi)x張、y把， 目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y，(2分) 把所給的條件表示成不等式組， 即約束條件為(6分) 由　解得 所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為. 由　解得 所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為.(9分) 所以滿足條件的可行域是以A、B、 O(0,0)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(如圖)．(12分) 由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y在可行域內(nèi)的最優(yōu)解為 B，但注意到x∈N*，y∈N*，故取 故買(mǎi)桌子25張，椅子37把是最好的選擇．(14分) 10