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回扣1 集合與常用邏輯用語
1．集合
(1)集合的運算性質(zhì)：①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??UA??UB.
(2)子集、真子集個數(shù)計算公式
對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為2n,2n－1,2n－1,2n－2.
(3)集合運算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；若已知的集合是點集，用數(shù)形結合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解．
2．四種命題及其相互關系
(1)
(2)互為逆否命題的兩命題同真同假．
3．含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真
2、假
(1)命題p∨q：若p，q中至少有一個為真，則命題為真命題，簡記為：一真則真．
(2)命題p∧q：若p，q中至少有一個為假，則命題為假命題，p，q同為真時，命題才為真命題，簡記為：一假則假，同真則真．
(3)命題綈p：與命題p真假相反．
4．全稱命題、特稱(存在性)命題及其否定
(1)全稱命題p：?x∈M，p(x)，其否定為特稱(存在性)命題綈p：?x0∈M，綈p(x0)．
(2)特稱(存在性)命題p：?x0∈M，p(x0)，其否定為全稱命題綈p：?x∈M，綈p(x)．
5．充分條件與必要條件的三種判定方法
(1)定義法：正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是
3、p的必要條件)；若p?q，且q?p，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)．
(2)集合法：利用集合間的包含關系．例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若A＝B，則A是B的充要條件．
(3)等價法：將命題等價轉(zhuǎn)化為另一個便于判斷真假的命題．
1．描述法表示集合時，一定要理解好集合的含義——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lgx}——函數(shù)的定義域；{y|y＝lgx}——函數(shù)的值域；{(x，y)|y＝lgx}——函數(shù)圖象上的點集．
2．易混淆0，?，{0}：0是一個實數(shù)；?是一個集合，它含有0個元素；{0}是以0為元素的單元素集合，但是0??，而??{0
4、}．
3．集合的元素具有確定性、無序性和互異性，在解決有關集合的問題時，尤其要注意元素的互異性．
4．空集是任何集合的子集．由條件A?B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A時，務必分析研究A＝?的情況．
5．區(qū)分命題的否定與否命題，已知命題為“若p，則q”，則該命題的否定為“若p，則綈q”，其否命題為“若綈p，則綈q”．
6．在對全稱命題和特稱(存在性)命題進行否定時，不要忽視對量詞的改變．
7．對于充分、必要條件問題，首先要弄清誰是條件，誰是結論．
8．判斷命題的真假要先明確命題的構成．由命題的真假求某個參數(shù)的取值范圍，還可以從集合的角度來思考，將問題轉(zhuǎn)化為集合間的運算．
5、1．設集合M＝{x∈Z|－3＜x＜2}，N＝{x∈Z|－1≤x≤3}，則M∩N等于( )
A．{0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1}
答案 D
解析 ∵M＝{x∈Z|－3＜x＜2}＝{－2，－1,0,1}，
N＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1,0,1,2,3}，
∴M∩N＝{－1,0,1}，故選D.
2．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{y|y＝2x－1，x≥0}，則A∩B等于( )
A．? B．[0,1)∩(3，＋∞)
C．A D．B
答案 C
解析 由題意，得集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{y|y
6、≥0}，那么A∩B＝{x|1＜x＜3}＝A.
3．已知集合M＝{x|log2x＜3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，則M∩N等于( )
A．(0,8) B．{3,5,7}
C．{0,1,3,5,7} D．{1,3,5,7}
答案 D
解析 ∵M＝{x|0＜x＜8}，又N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，
∴M∩N＝{1,3,5,7}，故選D.
4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{5,6,7}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈B}，則C中所含元素的個數(shù)為( )
A．5 B．6
C．12 D．13
答案 D
解析 若x＝5∈A，y＝1
7、∈A，則x＋y＝5＋1＝6∈B，即點(5,1)∈C；同理，(5,2)∈C，(4,1)∈C，(4,2)∈C，(4,3)∈C，(3,2)∈C，(3,3)∈C，(3,4)∈C，(2,3)∈C，(2,4)∈C，(2,5)∈C，(1,4)∈C，(1,5)∈C，所以C中所含元素的個數(shù)為13，故選D.
5．已知集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，集合B＝{x|y＝lgx}，則(?RA)∩B為( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．[－1,1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
答案 C
解析 因為A＝{y|y＝sin x，x∈R}＝[－1,1]，
B＝{x|y＝lgx}
8、＝(0，＋∞)，
所以(?RA)∩B＝(1，＋∞)．
6．設有兩個命題，命題p：關于x的不等式(x－3)≥0的解集為{x|x≥3}，命題q：若函數(shù)y＝kx2－kx－8的值恒小于0，則－32＜k＜0，那么( )
A．“p且q”為真命題 B．“p或q”為真命題
C．“綈p”為真命題 D．“綈q”為假命題
答案 C
解析 不等式(x－3)≥0的解集為{x|x≥3或x＝1}，所以命題p為假命題．若函數(shù)y＝kx2－kx－8的值恒小于0，則－32＜k≤0，所以命題q也是假命題，所以“綈p”為真命題．
7．(2016天津)設{an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q<0”是“對任意的正
9、整數(shù)n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
答案 C
解析 設數(shù)列的首項為a1，則a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)<0，即q<－1，
故q<0是q<－1的必要不充分條件．故選C.
8．設命題甲：ax2＋2ax＋1＞0的解集是實數(shù)集R；命題乙：0
10、＝1＞0恒成立，
當a≠0時，
解得05}，則M∪N等于( )
A．{x|－3－3}
D．
11、{x|x<－3或x>5}
答案 C
解析 在數(shù)軸上表示集合M，N，則M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故選C.
11．下列四個結論：
①若x>0，則x>sin x恒成立；
②命題“若x－sin x＝0，則x＝0”的逆否命題為“若x≠0，則x－sin x≠0”；
③“命題p∧q為真”是“命題p∨q為真”的充分不必要條件；
④命題“?x∈R，x－lnx>0”的否定是“?x0∈R，x0－lnx0<0”．
其中正確結論的個數(shù)是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 對于①，令y＝x－sin x，則y′＝1－cosx≥0，則函數(shù)y＝x－sin x在R上
12、單調(diào)遞增，則當x>0時，x－sin x>0－0＝0，即當x>0時，x>sin x恒成立，故①正確；
對于②，命題“若x－sin x＝0，則x＝0”的逆否命題為“若x≠0，則x－sin x≠0”，故②正確；
對于③，命題p∨q為真即p，q中至少有一個為真，p∧q為真即p，q都為真，可知“p∧q為真”是“p∨q為真”的充分不必要條件，故③正確；
對于④，命題“?x∈R，x－lnx>0”的否定是“?x0∈R，x0－lnx0≤0”，故④錯誤．
綜上，正確結論的個數(shù)為3，故選C.
12．設集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“長度”
13、，那么集合M∩N的“長度”的最小值是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由已知，可得即0≤m≤，
即≤n≤1，
當集合M∩N的長度取最小值時，M與N應分別在區(qū)間[0,1]的左右兩端．
取m的最小值0，n的最大值1，
可得M＝，N＝.
所以M∩N＝∩＝.
此時集合M∩N的“長度”的最小值為－＝.
故選C.
13．已知集合M＝，若3∈M,5?M，則實數(shù)a的取值范圍是______________．
答案 ∪(9,25]
解析 ∵集合M＝，
得(ax－5)(x2－a)＜0，
當a＝0時，顯然不成立，
當a＞0時，原不等式可化為(x－)(x＋)＜0，
14、若＜，只需滿足解得1≤a＜；
若＞，只需滿足
解得9＜a≤25，當a＜0時，不符合條件．
綜上，a的取值范圍為∪(9,25]．
14．若“?x∈，m≤tanx＋1”為真命題，則實數(shù)m的最大值為________．
答案 0
解析 令f(x)＝tan x＋1，則函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)，故f(x)的最小值為f＝0，
∵?x∈，m≤tanx＋1，
故m≤(tan x＋1)min，
∴m≤0，故實數(shù)m的最大值為0.
15．若“m＞a”是“函數(shù)f(x)＝x＋m－的圖象不過第三象限”的必要不充分條件，則實數(shù)a能取的最大整數(shù)為________．
答案?。?
解析 f(0)＝m＋，
15、∵函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第三象限，
∴m＋≥0，即m≥－，
又“m＞a”是“m≥－”的必要不充分條件，
∴a＜－，則實數(shù)a能取的最大整數(shù)為－1.
16．下列結論：
①命題“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”的逆否命題是“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”；
②“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要條件；
③若“命題p：?x∈R，x2＋x＋1≠0”，則“綈p：?x0∈R，x＋x0＋1＝0”；
④若“p∨q”為真命題，則p，q均為真命題．
其中錯誤結論的序號是______________．
答案?、?
解析 對于若“p∨q”為真命題，則p，q中至少有一個為真命題，所以④錯誤．
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