全國中考數學真題分類匯編 9 一元二次方程及其應用

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1、▼▼▼2019屆數學中考復習資料▼▼▼ 一元二次方程及其應用 考點一、 一元二次方程的解法 （10分） 1、直接開平方法 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據平方根的定義可知，是b的平方根，當時，，，當b<0時，方程沒有實數根。 2、配方法 配方法是一種重要的數學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數學的其他領域也有著廣泛的應用。配方法的理論根據是完全平方公式，把公式中的a看做未知數x，并用x代替，則有。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方

2、法。 一元二次方程的求根公式： 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。 考點二、一元二次方程根的判別式 （3分） 根的判別式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即 考點三、一元二次方程根與系數的關系 （3分） 如果方程的兩個實數根是，那么，。也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商。 考點四、分式方程 （8分） 1、分式方程 分母里含有未

3、知數的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是將“分式方程”轉化為“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母 （2）解所得的整式方程 （3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應該舍去；若不等于零，就是原方程的根。 3、分式方程的特殊解法 換元法： 換元法是中學數學中的一個重要的數學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法。 考點五、二元一次方程組 （8~10分） 1、二元一次方程 含有兩個未知數，并且未知項的最高次數是1的整式方程叫做二元一次方程，它的

4、一般形式是（ 2、二元一次方程的解 使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數的值，叫做二元一次方程的一個解。 3、二元一次方程組 兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。 4二元一次方程組的解 使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解。 5、二元一次方正組的解法 （1）代入法（2）加減法 6、三元一次方程 把含有三個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程。 7、三元一次方程組 由三個（或三個以上）一次方程組成，并且含有三個未知數的方程組，叫做三元一次方程組。 一、選擇題

5、1. （2017湖北隨州3分）隨州市尚市“桃花節(jié)”觀賞人數逐年增加，據有關部門統(tǒng)計，2014年約為20萬人次，2017年約為28.8萬人次，設觀賞人數年均增長率為x，則下列方程中正確的是（　?。? A．20（1＋2x）＝28.8 B．28.8（1＋x）2＝20 C．20（1＋x）2＝28.8 D．20＋20（1＋x）＋20（1＋x）2＝28.8 2. （2017江西3分）設α、β是一元二次方程x2＋2x﹣1＝0的兩個根，則αβ的值是（　?。? A．2 B．

6、1 C．﹣2 D．﹣1 3.（2017四川攀枝花）若x＝﹣2是關于x的一元二次方程x2＋ax﹣a2＝0的一個根，則a的值為（　?。? A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4 4．（2017廣西桂林3分）若關于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2＋4x＋1＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 5.（2017

7、貴州安順3分）已知命題“關于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，必有實數解”是假命題，則在下列選項中，b的值可以是（　?。? A．b＝﹣3 B．b＝﹣2 C．b＝﹣1 D．b＝2 6．（2017廣西南寧3分）二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和正比例函數y＝x的圖象如圖所示，則方程ax2＋（b﹣）x＋c＝0（a≠0）的兩根之和（　?。? A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能確定 7. （2017云南省昆明市4分）一元二次方程x

8、2﹣4x＋4＝0的根的情況是（　　） A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．無實數根 D．無法確定 8.(2017河北3分）a，b，c為常數，且（a－c）2>a2＋c2，則關于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情況是（ ） A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根 C．無實數根 D．有一根為0 9．（2017四川瀘州）若關于x的一元二次方程x2＋2（k﹣1）x＋k2﹣1＝0有實數根，則k的

9、取值范圍是（　　） A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1 10.（2017湖北荊門3分）已知3是關于x的方程x2﹣（m＋1）x＋2m＝0的一個實數根，并且這個方程的兩個實數根恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長為（　?。? A．7 B．10 C．11 D．10或11 11．（2017湖北荊門3分）若二次函數y＝x2＋mx的對稱軸是x＝3，則關于x的方程x2＋mx＝7的解為（　?。? A．x1＝0，x2＝6

10、 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝7 12.（2017內蒙古包頭3分）若關于x的方程x2＋（m＋1）x＋＝0的一個實數根的倒數恰是它本身，則m的值是（　?。? A．﹣ B． C．﹣或 D．1 13. （2017山東濰坊3分）關于x的一元二次方程x2﹣x＋sinα＝0有兩個相等的實數根，則銳角α等于（　?。? A．15 B．30 C．45 D．60

11、 二、填空題 14. （2017遼寧丹東3分）某公司今年4月份營業(yè)額為60萬元，6月份營業(yè)額達到100萬元，設該公司5、6兩個月營業(yè)額的月均增長率為x，則可列方程為　________． 15．（2017山東省菏澤市3分）已知m是關于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根，則2m2﹣4m＝　?。? 16.（2017河南）若關于x的一元二次方程x2＋3x﹣k＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是___?。? 17.（2017山東省德州市4分）方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩根為x1，x2，則x12＋x22＝　___?。? 18．（2017四川宜賓）已知一元二次方程x2＋3x﹣4＝0的兩根為x1、x

12、2，則x12＋x1x2＋x22＝　___． 19．（2017四川攀枝花）設x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的兩個實數根，則＋的值為　___?。? 20. （2017湖北黃石3分）關于x的一元二次方程x2＋2x﹣2m＋1＝0的兩實數根之積為負，則實數m的取值范圍是　___?。? 21.（2017四川眉山3分）受“減少稅收，適當補貼”政策的影響，某市居民購房熱情大幅提高．據調查，2017年1月該市宏鑫房地產公司的住房銷售量為100套，3月份的住房銷售量為169套．假設該公司這兩個月住房銷售量的增長率為x，根據題意所列方程為　_____?。? 22. （2017四川眉山3分）設m、n是一元二次

13、方程x2＋2x﹣7＝0的兩個根，則m2＋3m＋n＝　?。? 三、解答題 23．（2017四川南充）已知關于x的一元二次方程x2﹣6x＋（2m＋1）＝0有實數根． （1）求m的取值范圍； （2）如果方程的兩個實數根為x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范圍． 18m 苗圃園 圖14 24．（2017四川內江12分）某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊周長為30米的籬笆圍成．已知墻長為18米(如圖14所示)，設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米． (1)若苗圃園的面積為72平方米，求x； (2)

14、若平行于墻的一邊長不小于8米，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？如果有，求出最大值和最小值；如果沒有，請說明理由； (3)當這個苗圃園的面積不小于100平方米時，直接寫出x的取值范圍． 25.（2017黑龍江齊齊哈爾5分）先化簡，再求值：（1﹣）﹣，其中x2＋2x﹣15＝0． 26．（2017湖北荊州12分）已知在關于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均為實數，方程①的根為非負數． （1）求k的取值范圍； （2）當方程②有兩個整數根x1、x2，k為整數，且k＝m＋2，n＝1時，

15、求方程②的整數根； （3）當方程②有兩個實數根x1、x2，滿足x1（x1﹣k）＋x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），且k為負整數時，試判斷|m|≤2是否成立？請說明理由． 27.（2017內蒙古包頭）一幅長20cm、寬12cm的圖案，如圖，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：2．設豎彩條的寬度為xcm，圖案中三條彩條所占面積為ycm2． （1）求y與x之間的函數關系式； （2）若圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的，求橫、豎彩條的寬度． 28. （2017青

16、海西寧10分）青海新聞網訊：2017年2月21日，西寧市首條綠道免費公共自行車租賃系統(tǒng)正式啟用．市政府今年投資了112萬元，建成40個公共自行車站點、配置720輛公共自行車．今后將逐年增加投資，用于建設新站點、配置公共自行車．預計2018年將投資340.5萬元，新建120個公共自行車站點、配置2205輛公共自行車． （1）請問每個站點的造價和公共自行車的單價分別是多少萬元？ （2）請你求出2017年到2018年市政府配置公共自行車數量的年平均增長率． 29. （2017山東濰坊）關于x的方程3x2＋mx﹣8＝0有一個根是，求另一個根及m的值

17、． 30．（2017山東省德州市4分）某中學組織學生到商場參加社會實踐活動，他們參與了某種品牌運動鞋的銷售工作，已知該運動鞋每雙的進價為120元，為尋求合適的銷售價格進行了4天的試銷，試銷情況如表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售價x（元/雙） 150 200 250 300 銷售量y（雙） 40 30 24 20 （1）觀察表中數據，x，y滿足什么函數關系？請求出這個函數關系式； （2）若商場計劃每天的銷售利潤為3000元，則其單價應定為多少元？ 31．（2017山東省

18、濟寧市3分）某地2014年為做好“精準扶貧”，授入資金1280萬元用于一滴安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2017年在2014年的基礎上增加投入資金1600萬元． （1）從2014年到2017年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少？ （2）在2017年異地安置的具體實施中，該地計劃投入資金不低于500萬元用于優(yōu)先搬遷租房獎勵，規(guī)定前1000戶（含第1000戶）每戶每天獎勵8元，1000戶以后每戶每天補助5元，按租房400天計算，試求今年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵？ 32.（2017廣西百色10分）在直角墻角AOB（OA⊥OB，且OA、OB長度不限）

19、中，要砌20m長的墻，與直角墻角AOB圍成地面為矩形的儲倉，且地面矩形AOBC的面積為96m2． （1）求這地面矩形的長； （2）有規(guī)格為0.800.80和1.001.00（單位：m）的地板磚單價分別為55元/塊和80元/塊，若只選其中一種地板磚都恰好能鋪滿儲倉的矩形地面（不計縫隙），用哪一種規(guī)格的地板磚費用較少？ 33.（2017貴州畢節(jié)）為進一步發(fā)展基礎教育，自2014年以來，某縣加大了教育經費的投入，2014年該縣投入教育經費6000萬元．2017年投入教育經費8640萬元．假設該縣這兩年投入教育經費的年平均增長率相同． （1）求這兩年該縣投入教育經費的年

20、平均增長率； （2）若該縣教育經費的投入還將保持相同的年平均增長率，請你預算2017年該縣投入教育經費多少萬元． 答案 一元二次方程及其應用 一、選擇題 1. （2017湖北隨州3分）隨州市尚市“桃花節(jié)”觀賞人數逐年增加，據有關部門統(tǒng)計，2014年約為20萬人次，2017年約為28.8萬人次，設觀賞人數年均增長率為x，則下列方程中正確的是（　?。? A．20（1＋2x）＝28.8 B．28.8（1＋x）2＝20 C．20（1＋x）2＝28.8

21、 D．20＋20（1＋x）＋20（1＋x）2＝28.8 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】設這兩年觀賞人數年均增長率為x，根據“2014年約為20萬人次，2017年約為28.8萬人次”，可得出方程． 【解答】解：設觀賞人數年均增長率為x，那么依題意得20（1＋x）2＝28.8， 故選C． 2. （2017江西3分）設α、β是一元二次方程x2＋2x﹣1＝0的兩個根，則αβ的值是（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 【考點】根與系數的關

22、系． 【分析】根據α、β是一元二次方程x2＋2x﹣1＝0的兩個根，由根與系數的關系可以求得αβ的值，本題得以解決． 【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2＋2x﹣1＝0的兩個根， ∴αβ＝， 故選D． 3.（2017四川攀枝花）若x＝﹣2是關于x的一元二次方程x2＋ax﹣a2＝0的一個根，則a的值為（　?。? A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4 【考點】一元二次方程的解． 【分析】把x＝﹣2代入已知方程，列出關于a的新方程，通過解新方程可以求得a的值． 【解答】解：根據題意，將x＝﹣2代入

23、方程x2＋ax﹣a2＝0，得： 4﹣3a﹣a2＝0，即a2＋3a﹣4＝0， 左邊因式分解得：（a﹣1）（a＋4）＝0， ∴a﹣1＝0，或a＋4＝0， 解得：a＝1或﹣4， 故選：C． 【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根． 4．（2017廣西桂林3分）若關于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2＋4x＋1＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＜5 B．k＜5，且k≠1

24、 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】根據方程為一元二次方程且有兩個不相等的實數根，結合一元二次方程的定義以及根的判別式即可得出關于k的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結論． 【解答】解：∵關于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2＋4x＋1＝0有兩個不相等的實數根， ∴，即， 解得：k＜5且k≠1． 故選B． 5.（2017貴州安順3分）已知命題“關于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，必有實數解”是假命題，則在下列選項中，b的值可以是（　　） A．b＝﹣3 B．b＝﹣2

25、 C．b＝﹣1 D．b＝2 【分析】根據判別式的意義，當b＝﹣1時△＜0，從而可判斷原命題為是假命題． 【解答】解：△＝b2﹣4，當b＝﹣1時，△＜0，方程沒有實數解， 所以b取﹣1可作為判斷命題“關于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，必有實數解”是假命題的反例． 故選C． 【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．任何一個命題非真即假．要說明一個命題

26、的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可． 6．（2017廣西南寧3分）二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和正比例函數y＝x的圖象如圖所示，則方程ax2＋（b﹣）x＋c＝0（a≠0）的兩根之和（　　） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能確定 【考點】拋物線與x軸的交點． 【分析】設ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為x1，x2，由二次函數的圖象可知x1＋x2＞0，a＞0，設方程ax2＋（b﹣）x＋c＝0（a≠0）的兩根為a，b再根據根與系數的關系即可得出結

27、論． 【解答】解：設ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為x1，x2， ∵由二次函數的圖象可知x1＋x2＞0，a＞0， ∴﹣＞0． 設方程ax2＋（b﹣）x＋c＝0（a≠0）的兩根為a，b，則a＋b＝﹣＝﹣＋， ∵a＞0，∴＞0，∴a＋b＞0．故選C． 【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，熟知拋物線與x軸的交點與一元二次方程根的關系是解答此題的關鍵． 7. （2017云南省昆明市4分）一元二次方程x2﹣4x＋4＝0的根的情況是（　?。? A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．無實數根

28、 D．無法確定 【考點】根的判別式． 【分析】將方程的系數代入根的判別式中，得出△＝0，由此即可得知該方程有兩個相等的實數根． 【解答】解：在方程x2﹣4x＋4＝0中， △＝（﹣4）2﹣414＝0， ∴該方程有兩個相等的實數根． 故選B． 8.(2017河北3分）a，b，c為常數，且（a－c）2>a2＋c2，則關于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情況是（ ） A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根 C．無實數根 D．有一根為0 答案：Ｂ 解析：由（a－c）2>a2＋

29、c2得出－２ac＞０，因此△＝b２－４ac＞０，所以兩根，故選Ｂ項。 知識點：根的判別式△＝b２－４ac，大于零，２根；等于零２同根；小于零，無根。 9．（2017四川瀘州）若關于x的一元二次方程x2＋2（k﹣1）x＋k2﹣1＝0有實數根，則k的取值范圍是（　?。? A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1 【考點】根的判別式． 【分析】直接利用根的判別式進而分析得出k的取值范圍． 【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2＋2（k﹣1）x＋k2﹣1＝0有實數根， ∴△＝b2﹣4ac＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）

30、＝﹣8k＋8≥0， 解得：k≤1． 故選：D． 10.（2017湖北荊門3分）已知3是關于x的方程x2﹣（m＋1）x＋2m＝0的一個實數根，并且這個方程的兩個實數根恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長為（　?。? A．7 B．10 C．11 D．10或11 【考點】解一元二次方程－因式分解法；一元二次方程的解；三角形三邊關系；等腰三角形的性質． 【分析】把x＝3代入已知方程求得m的值；然后通過解方程求得該方程的兩根，即等腰△ABC的兩條邊長，由三角形三邊關系和三角形的周長公式進行解答即可．

31、 【解答】解：把x＝3代入方程得9﹣3（m＋1）＋2m＝0， 解得m＝6， 則原方程為x2﹣7x＋12＝0， 解得x1＝3，x2＝4， 因為這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長， ①當△ABC的腰為4，底邊為3時，則△ABC的周長為4＋4＋3＝11； ②當△ABC的腰為3，底邊為4時，則△ABC的周長為3＋3＋4＝10． 綜上所述，該△ABC的周長為10或11． 故選：D． 11．（2017湖北荊門3分）若二次函數y＝x2＋mx的對稱軸是x＝3，則關于x的方程x2＋mx＝7的解為（　?。? A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7

32、 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝7 【考點】二次函數的性質；解一元二次方程－因式分解法． 【分析】先根據二次函數y＝x2＋mx的對稱軸是x＝3求出m的值，再把m的值代入方程x2＋mx＝7，求出x的值即可． 【解答】解：∵二次函數y＝x2＋mx的對稱軸是x＝3， ∴﹣＝3，解得m＝﹣6， ∴關于x的方程x2＋mx＝7可化為x2﹣6x﹣7＝0，即（x＋1）（x﹣7）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝7． 故選D． 12.（2017內蒙古包頭3分）若關于x的方程x2＋（m＋1）x＋＝0的一個實數根的倒數恰是它本身，則m的值是（　　） A

33、．﹣ B． C．﹣或 D．1 【考點】一元二次方程的解． 【分析】由根與系數的關系可得：x1＋x2＝﹣（m＋1），x1?x2＝，又知個實數根的倒數恰是它本身，則該實根為1或﹣1，然后把1分別代入兩根之和的形式中就可以求出m的值． 【解答】解：由根與系數的關系可得： x1＋x2＝﹣（m＋1），x1?x2＝， 又知個實數根的倒數恰是它本身， 則該實根為1或﹣1， 若是1時，即1＋x2＝﹣（m＋1），而x2＝，解得m＝﹣； 若是﹣1時，則m＝． 故選：C． 13. （2017山東濰坊3分）關于x的一

34、元二次方程x2﹣x＋sinα＝0有兩個相等的實數根，則銳角α等于（　?。? A．15 B．30 C．45 D．60 【考點】根的判別式；特殊角的三角函數值． 【分析】由方程有兩個相等的實數根，結合根的判別式可得出sinα＝，再由α為銳角，即可得出結論． 【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣x＋sinα＝0有兩個相等的實數根， ∴△＝﹣4sinα＝2﹣4sinα＝0， 解得：sinα＝， ∵α為銳角， ∴α＝30． 故選B． 二、填空題 14. （2017遼寧丹東3分）某公司今年4月份營業(yè)額為60萬元

35、，6月份營業(yè)額達到100萬元，設該公司5、6兩個月營業(yè)額的月均增長率為x，則可列方程為　60（1＋x）2＝100　． 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】設平均每月的增長率為x，根據4月份的營業(yè)額為60萬元，6月份的營業(yè)額為100萬元，分別表示出5，6月的營業(yè)額，即可列出方程． 【解答】解：設平均每月的增長率為x， 根據題意可得：60（1＋x）2＝100． 故答案為：60（1＋x）2＝100． 15．（2017山東省菏澤市3分）已知m是關于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根，則2m2﹣4m＝　6?。? 【考點】一元二次方程的解． 【專題】推理填空題． 【分析】根

36、據m是關于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根，通過變形可以得到2m2﹣4m值，本題得以解決． 【解答】解：∵m是關于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根， ∴m2﹣2m﹣3＝0， ∴m2﹣2m＝3， ∴2m2﹣4m＝6， 故答案為：6． 【點評】本題考查一元二次方程的解，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件． 16.（2017河南）若關于x的一元二次方程x2＋3x﹣k＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是　k＞﹣?。? 【考點】根的判別式；解一元一次不等式． 【分析】由方程有兩個不相等的實數根即可得出△＞0，代入數據即可得出關于k的一元一次不等式，解不等式即可得出結論

37、． 【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2＋3x﹣k＝0有兩個不相等的實數根， ∴△＝32﹣41（﹣k）＝9＋4k＞0， 解得：k＞﹣． 故答案為：k＞﹣． 【點評】本題考查了根的判別式以及解一元一次不等式，解題的關鍵是根據根的個數結合根的判別式得出關于k的一元一次不等式．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據根的個數結合根的判別式得出方程（不等式或不等式組）是關鍵． 17.（2017山東省德州市4分）方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩根為x1，x2，則x12＋x22＝　?。? 【考點】根與系數的關系． 【分析】根據根與系數的關系得出“x1＋x2＝﹣＝，x1?x2＝＝﹣”，再

38、利用完全平方公式將x12＋x22轉化成﹣2x1?x2，代入數據即可得出結論． 【解答】解：∵方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩根為x1，x2， ∴x1＋x2＝﹣＝，x1?x2＝＝﹣， ∴x12＋x22＝﹣2x1?x2＝﹣2（﹣）＝． 故答案為：． 【點評】本題考查了根與系數的關系以及完全平方公式，解題的關鍵是求出x1＋x2＝，x1?x2＝﹣．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據根與系數的關系找出兩根之和與兩根之積，再利用完全平方公式將原代數式轉化成只含兩根之和與兩根之積的代數式是關鍵． 18．（2017四川宜賓）已知一元二次方程x2＋3x﹣4＝0的兩根為x1、x2，則x12＋

39、x1x2＋x22＝　13　． 【考點】根與系數的關系． 【分析】根據根與系數的關系得到x1＋x2＝﹣3，x1x2＝﹣4，再利用完全平方公式變形得到x12＋x1x2＋x22＝（x1＋x2）2﹣x1x2，然后利用整體代入的方法計算． 【解答】解：根據題意得x1＋x2＝﹣3，x1x2＝﹣4， 所以x12＋x1x2＋x22＝（x1＋x2）2﹣x1x2＝（﹣3）2﹣（﹣4）＝13． 故答案為13． 19．（2017四川攀枝花）設x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的兩個實數根，則＋的值為　﹣　． 【考點】根與系數的關系． 【分析】根據根與系數的關系得到x1＋x2、x1?x2的值，然后將所

40、求的代數式進行變形并代入計算即可． 【解答】解：∵方程x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的兩個實數根， ∴x1＋x2＝，x1x2＝﹣， ∴＋＝＝＝﹣． 故答案為：﹣． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝﹣，x1?x2＝． 20. （2017湖北黃石3分）關于x的一元二次方程x2＋2x﹣2m＋1＝0的兩實數根之積為負，則實數m的取值范圍是　m＞?。? 【分析】設x1、x2為方程x2＋2x﹣2m＋1＝0的兩個實數根．由方程有實數根以及兩根之積為負可得出關于m的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結論．

41、 【解答】解：設x1、x2為方程x2＋2x﹣2m＋1＝0的兩個實數根， 由已知得：，即 解得：m＞． 故答案為：m＞． 【點評】本題考查了根與系數的關系、根的判別式以及解一元一次不等式，解題的關鍵是得出關于m的一元一次不等式組．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據根的情況結合根的判別式以及根與系數的關系得出關于m的一元一次不等式組是關鍵． 21.（2017四川眉山3分）受“減少稅收，適當補貼”政策的影響，某市居民購房熱情大幅提高．據調查，2017年1月該市宏鑫房地產公司的住房銷售量為100套，3月份的住房銷售量為169套．假設該公司這兩個月住房銷售量的增長率為x，根據題

42、意所列方程為　100（1＋x）2＝169?。? 【分析】根據年1月該市宏鑫房地產公司的住房銷售量為100套，3月份的住房銷售量為169套．設該公司這兩個月住房銷售量的增長率為x，可以列出相應的方程． 【解答】解：由題意可得， 100（1＋x）2＝169， 故答案為：100（1＋x）2＝169． 【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關鍵是明確題意，列出形應的方程． 22. （2017四川眉山3分）設m、n是一元二次方程x2＋2x﹣7＝0的兩個根，則m2＋3m＋n＝　5　． 【分析】根據根與系數的關系可知m＋n＝﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2＋2m﹣7＝0，最后可

43、將m2＋3m＋n變成m2＋2m＋m＋n，最終可得答案． 【解答】解：∵設m、n是一元二次方程x2＋2x﹣7＝0的兩個根， ∴m＋n＝﹣2， ∵m是原方程的根， ∴m2＋2m﹣7＝0，即m2＋2m＝7， ∴m2＋3m＋n＝m2＋2m＋m＋n＝7﹣2＝5， 故答案為：5． 【點評】本題主要考查了根與系數的關系，解題的關鍵是把m2＋3m＋n轉化為m2＋2m＋m＋n的形式，結合根與系數的關系以及一元二次方程的解即可解答． 三、解答題 23．（2017四川南充）已知關于x的一元二次方程x2﹣6x＋（2m＋1）＝0有實數根． （1）求m的取值范圍； （2）如果方程的兩

44、個實數根為x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范圍． 【分析】（1）根據判別式的意義得到△＝（﹣6）2﹣4（2m＋1）≥0，然后解不等式即可； （2）根據根與系數的關系得到x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，再利用2x1x2＋x1＋x2≥20得到2（2m＋1）＋6≥20，然后解不等式和利用（1）中的結論可確定滿足條件的m的取值范圍． 【解答】解：（1）根據題意得△＝（﹣6）2﹣4（2m＋1）≥0， 解得m≤4； （2）根據題意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1， 而2x1x2＋x1＋x2≥20， 所以2（2m＋1）＋6≥20

45、，解得m≥3， 而m≤4， 所以m的范圍為3≤m≤4． 【點評】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根時，x1＋x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根與系數的關系． 　 24．（2017四川內江12分）某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊周長為30米的籬笆圍成．已知墻長為18米(如圖14所示)，設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米． (1)若苗圃園的面積為72平方米，求x； (2)若平行于墻的一邊長不小于8米，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎？如果有，求出最大值和最小值；如果

46、沒有，請說明理由； (3)當這個苗圃園的面積不小于100平方米時，直接寫出x的取值范圍． 18m 苗圃園 圖14 [考點]應用題，一元二次方程，二次函數。 解：(1)苗圃園與墻平行的一邊長為(30－2x)米．依題意可列方程 x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0． 2分 解得x1＝3，x2＝12． 4分 (2)依題意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11． 面積S＝x(30－2x)＝－2(x－)2＋(6≤x≤11)． ①當x＝時，S有最大值，S最大＝； 6分 ②當x＝11時，S有最小值，S最?。?1(30－22)＝88． 8分 (3)令x(30－2x

47、)＝100，得x2－15x＋50＝0． 解得x1＝5，x2＝10． 10分 ∴x的取值范圍是5≤x≤10． 12分 25.（2017黑龍江齊齊哈爾5分）先化簡，再求值：（1﹣）﹣，其中x2＋2x﹣15＝0． 【考點】分式的化簡求值． 【分析】先算括號里面的，再算除法，最后算減法，根據x2＋2x﹣15＝0得出x2＋2x＝15，代入代數式進行計算即可． 【解答】解：原式＝?﹣ ＝﹣ ＝， ∵x2＋2x﹣15＝0， ∴x2＋2x＝15， ∴原式＝． 26．（2017湖北荊州12分）已知在關于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均

48、為實數，方程①的根為非負數． （1）求k的取值范圍； （2）當方程②有兩個整數根x1、x2，k為整數，且k＝m＋2，n＝1時，求方程②的整數根； （3）當方程②有兩個實數根x1、x2，滿足x1（x1﹣k）＋x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），且k為負整數時，試判斷|m|≤2是否成立？請說明理由． 【分析】（1）先解出分式方程①的解，根據分式的意義和方程①的根為非負數得出k的取值； （2）先把k＝m＋2，n＝1代入方程②化簡，由方程②有兩個整數實根得△是完全平方數，列等式得出關于m的等式，由根與系數的關系和兩個整數根x1、x2得出m＝1和﹣1，分別代入方程后解出即可． （3）

49、根據（1）中k的取值和k為負整數得出k＝﹣1，化簡已知所給的等式，并將兩根和與積代入計算求出m的值，做出判斷． 【解答】解：（1）∵關于x的分式方程的根為非負數， ∴x≥0且x≠1， 又∵x＝≥0，且≠1， ∴解得k≥﹣1且k≠1， 又∵一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0中2﹣k≠0， ∴k≠2， 綜上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2； （2）∵一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0有兩個整數根x1、x2，且k＝m＋2，n＝1時， ∴把k＝m＋2，n＝1代入原方程得：﹣mx2＋3mx＋（1﹣m）＝0，即：mx2﹣3mx＋m﹣1＝0， ∴△≥0，

50、即△＝（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0， ∴△＝9m2﹣4m（m﹣1）＝m（5m＋4）， ∵x1、x2是整數，k、m都是整數， ∵x1＋x2＝3，x1?x2＝＝1﹣， ∴1﹣為整數， ∴m＝1或﹣1， ∴把m＝1代入方程mx2﹣3mx＋m﹣1＝0得：x2﹣3x＋1﹣1＝0， x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， x1＝0，x2＝3； 把m＝﹣1代入方程mx2﹣3mx＋m﹣1＝0得：﹣x2＋3x﹣2＝0， x2﹣3x＋2＝0， （x﹣1）（x﹣2）＝0， x1＝1，x2＝2； （3）|m|≤2不成立，理由是： 由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2， ∵k是負

51、整數， ∴k＝﹣1， （2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0且方程有兩個實數根x1、x2， ∴x1＋x2＝﹣＝＝﹣m，x1x2＝＝， x1（x1﹣k）＋x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k）， x12﹣x1k＋x22﹣x2k＝x1x2﹣x1k﹣x2k＋k2， x12＋x22═x1x2＋k2， （x1＋x2）2﹣2x1x2﹣x1x2＝k2， （x1＋x2）2﹣3x1x2＝k2， （﹣m）2﹣3＝（﹣1）2， m2﹣4＝1， m2＝5， m＝， ∴|m|≤2不成立． 【點評】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，考查了根的判別式及分式方程的解；注意：①解分式方程

52、時分母不能為0；②一元二次方程有兩個整數根時，根的判別式△為完全平方數． 27.（2017內蒙古包頭）一幅長20cm、寬12cm的圖案，如圖，其中有一橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：2．設豎彩條的寬度為xcm，圖案中三條彩條所占面積為ycm2． （1）求y與x之間的函數關系式； （2）若圖案中三條彩條所占面積是圖案面積的，求橫、豎彩條的寬度． 【考點】一元二次方程的應用；根據實際問題列二次函數關系式． 【分析】（1）由橫、豎彩條的寬度比為3：2知橫彩條的寬度為xcm，根據：三條彩條面積＝橫彩條面積＋2條豎彩條面積﹣橫豎彩條重疊矩形的面積，可列函數關系式； （2）根據：三條

53、彩條所占面積是圖案面積的，可列出關于x的一元二次方程，整理后求解可得． 【解答】解：（1）根據題意可知，橫彩條的寬度為xcm， ∴y＝20x＋212?x﹣2x?x＝﹣3x2＋54x， 即y與x之間的函數關系式為y＝﹣3x2＋54x； （2）根據題意，得：﹣3x2＋54x＝2012， 整理，得：x2﹣18x＋32＝0， 解得：x1＝2，x2＝16（舍）， ∴x＝3， 答：橫彩條的寬度為3cm，豎彩條的寬度為2cm． 28. （2017青海西寧10分）青海新聞網訊：2017年2月21日，西寧市首條綠道免費公共自行車租賃系統(tǒng)正式啟用．市政府今年投資了112萬元，建成40個公共自

54、行車站點、配置720輛公共自行車．今后將逐年增加投資，用于建設新站點、配置公共自行車．預計2018年將投資340.5萬元，新建120個公共自行車站點、配置2205輛公共自行車． （1）請問每個站點的造價和公共自行車的單價分別是多少萬元？ （2）請你求出2017年到2018年市政府配置公共自行車數量的年平均增長率． 【考點】一元二次方程的應用；二元一次方程組的應用． 【分析】（1）分別利用投資了112萬元，建成40個公共自行車站點、配置720輛公共自行車以及投資340.5萬元，新建120個公共自行車站點、配置2205輛公共自行車進而得出等式求出答案； （2）利用2017年配置720輛公

55、共自行車，結合增長率為x，進而表示出2018年配置公共自行車數量，得出等式求出答案． 【解答】解：（1）設每個站點造價x萬元，自行車單價為y萬元．根據題意可得： 解得： 答：每個站點造價為1萬元，自行車單價為0.1萬元． （2）設2017年到2018年市政府配置公共自行車數量的年平均增長率為a． 根據題意可得：720（1＋a）2＝2205 解此方程：（1＋a）2＝， 即：，（不符合題意，舍去） 答：2017年到2018年市政府配置公共自行車數量的年平均增長率為75%． 29. （2017山東濰坊）關于x的方程3x2＋mx﹣8＝0有一個根是，求另一個根及m的值． 【考點】

56、根與系數的關系． 【分析】由于x＝是方程的一個根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后由根與系數的關系來求方程的另一根． 【解答】解：設方程的另一根為t． 依題意得：3（）2＋m﹣8＝0， 解得m＝10． 又t＝﹣， 所以t＝﹣4． 綜上所述，另一個根是﹣4，m的值為10． 30．（2017山東省德州市4分）某中學組織學生到商場參加社會實踐活動，他們參與了某種品牌運動鞋的銷售工作，已知該運動鞋每雙的進價為120元，為尋求合適的銷售價格進行了4天的試銷，試銷情況如表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售價x（元/雙） 150 200 250

57、 300 銷售量y（雙） 40 30 24 20 （1）觀察表中數據，x，y滿足什么函數關系？請求出這個函數關系式； （2）若商場計劃每天的銷售利潤為3000元，則其單價應定為多少元？ 【考點】一次函數的應用． 【分析】（1）由表中數據得出xy＝6000，即可得出結果； （2）由題意得出方程，解方程即可，注意檢驗． 【解答】解：（1）由表中數據得：xy＝6000， ∴y＝， ∴y是x的反比例函數， 故所求函數關系式為y＝； （2）由題意得：（x﹣120）y＝3000， 把y＝代入得：（x﹣120）?＝3000， 解得：x＝240； 經檢驗，x＝

58、240是原方程的根； 答：若商場計劃每天的銷售利潤為3000元，則其單價應定為240元． 【點評】本題考查了反比例函數的應用、列分式方程解應用題；根據題意得出函數關系式和列出方程是解決問題的關鍵． 31．（2017山東省濟寧市3分）某地2014年為做好“精準扶貧”，授入資金1280萬元用于一滴安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2017年在2014年的基礎上增加投入資金1600萬元． （1）從2014年到2017年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少？ （2）在2017年異地安置的具體實施中，該地計劃投入資金不低于500萬元用于優(yōu)先搬遷租房獎勵，規(guī)定前1000戶（含第1000戶）每戶

59、每天獎勵8元，1000戶以后每戶每天補助5元，按租房400天計算，試求今年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵？ 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】（1）設年平均增長率為x，根據：2014年投入資金給（1＋增長率）2＝2017年投入資金，列出方程組求解可得； （2）設今年該地有a戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵，根據：前1000戶獲得的獎勵總數＋1000戶以后獲得的獎勵總和≥500萬，列不等式求解可得． 【解答】解：（1）設該地投入異地安置資金的年平均增長率為x，根據題意， 得：1280（1＋x）2＝1280＋1600， 解得：x＝0.5或x＝﹣2.25（舍）， 答：從2014年到

60、2017年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為50%； （2）設今年該地有a戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵，根據題意， 得：10008400＋（a﹣1000）5400≥5000000， 解得：a≥1900， 答：今年該地至少有1900戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵． 32.（2017廣西百色10分）在直角墻角AOB（OA⊥OB，且OA、OB長度不限）中，要砌20m長的墻，與直角墻角AOB圍成地面為矩形的儲倉，且地面矩形AOBC的面積為96m2． （1）求這地面矩形的長； （2）有規(guī)格為0.800.80和1.001.00（單位：m）的地板磚單價分別為55元/塊和80元/塊，若只選其中一種地板

61、磚都恰好能鋪滿儲倉的矩形地面（不計縫隙），用哪一種規(guī)格的地板磚費用較少？ 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】（1）根據題意表示出長方形的長，進而利用長寬＝面積，求出即可； （2）分別計算出每一規(guī)格的地板磚所需的費用，然后比較即可． 【解答】（1）設這地面矩形的長是xm，則依題意得： x（20﹣x）＝96， 解得x1＝12，x2＝8（舍去）， 答：這地面矩形的長是12米； （2）規(guī)格為0.800.80所需的費用：96（0.800.80）55＝8250（元）． 規(guī)格為1.001.00所需的費用：96（1.001.00）80＝7680（元）． 因為8250＜7680，

62、所以采用規(guī)格為1.001.00所需的費用較少． 33.（2017貴州畢節(jié)）為進一步發(fā)展基礎教育，自2014年以來，某縣加大了教育經費的投入，2014年該縣投入教育經費6000萬元．2017年投入教育經費8640萬元．假設該縣這兩年投入教育經費的年平均增長率相同． （1）求這兩年該縣投入教育經費的年平均增長率； （2）若該縣教育經費的投入還將保持相同的年平均增長率，請你預算2017年該縣投入教育經費多少萬元． 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】（1）設該縣投入教育經費的年平均增長率為x，根據2014年該縣投入教育經費6000萬元和2017年投入教育經費8640萬元列出方程，再求解即可； （2）根據2017年該縣投入教育經費和每年的增長率，直接得出2017年該縣投入教育經費為8640（1＋0.2），再進行計算即可． 【解答】解：（1）設該縣投入教育經費的年平均增長率為x，根據題意得： 6000（1＋x）2＝8640 解得：x＝0.2＝20%， 答：該縣投入教育經費的年平均增長率為20%； （2）因為2017年該縣投入教育經費為8640萬元，且增長率為20%， 所以2017年該縣投入教育經費為：y＝8640（1＋0.2）＝10368（萬元）， 答：預算2017年該縣投入教育經費10368萬元．