高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第7章 立體幾何 第2節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理學(xué)案 理 北師大版

《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第7章 立體幾何 第2節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第7章 立體幾何 第2節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理學(xué)案 理 北師大版（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二節(jié)　空間圖形的基本關(guān)系與公理 [考綱傳真]　(教師用書獨(dú)具)1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題． (對應(yīng)學(xué)生用書第108頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．空間圖形的公理 (1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))． (2)公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)． (3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線． (4)公理4：

2、平行于同一條直線的兩條直線平行． 推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面． 推理3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面． (5)等角定理 空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)． 2．空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 直線與直線 直線與平面 平面與平面 平行關(guān)系 圖形 語言 符號 語言 a∥b a∥α α∥β 相交關(guān)系 圖形 語言 符號 語言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 獨(dú)有關(guān)系 圖形 語言 符號 語言

3、 a，b是異面 直線 aα 3.異面直線所成的角 (1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a與b所成的角． (2)范圍：. [知識(shí)拓展] 1．唯一性定理 (1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行． (2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直． (3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行． (4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直． 2．異面直線的判定定理 經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線． [基本能力自測] 1．(思考辨析)

4、判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線．(　　) (2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面．(　　) (3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．(　　) (4)若直線a不平行于平面α，且aα，則α內(nèi)的所有直線與a異面．(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3)　(4) 2．(教材改編)如圖721所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為(　　) 圖721 A．30　　　　B．45 C．60 D．

5、90 C　[連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60.] 3．在下列命題中，不是公理的是(　　) A．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行 B．過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 C．如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi) D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 A　[A不是公理，是個(gè)常用的結(jié)論，需經(jīng)過推理論證；B，C，D是平面的基本性質(zhì)公理．] 4．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直

6、線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是(　　) A．相交或平行 B．相交或異面 C．平行或異面 D．相交、平行或異面 D　[依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．] 5．(20xx山東高考)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[由題意知aα，bβ，若a，b相交，則a，b有公共點(diǎn)，從而α，β有公共點(diǎn)，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，則a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面．因此“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β

7、相交”的充分不必要條件．故選A．] (對應(yīng)學(xué)生用書第109頁) 平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用 　如圖722，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證： 圖722 (1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面； (2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)． [證明]　(1)如圖，連接EF，CD1，A1B. ∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)， ∴EF∥BA1. 又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面． (2)∵EF∥CD1，EF

8、面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)． [規(guī)律方法]　1.證明線共面或點(diǎn)共面的常用方法 (1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面. (2)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi). (3)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合. 2.證明點(diǎn)共線問題的常用方法 (1)基本性質(zhì)法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基本性質(zhì)3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上. (2)納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線

9、，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上. 3.證明三線共點(diǎn)問題常用的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上. [跟蹤訓(xùn)練]　如圖723，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. 圖723 (1)求證：E，F(xiàn)，G，H四面共面； (2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線． [證明]　(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)， 所以EF∥BD. 在△BCD中，＝＝， 所以GH∥BD， 所以EF∥GH. 所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． (2)因?yàn)镋G∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC，

10、 所以P∈平面ABC．同理P∈平面ADC． 所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)． 又平面ABC∩平面ADC＝AC， 所以P∈AC， 所以P，A，C三點(diǎn)共線．] 空間兩直線的位置關(guān)系 　(1)(20xx東北三省三校二聯(lián))α是一個(gè)平面，m，n是兩條直線，A是一個(gè)點(diǎn)．若mα，nα，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不可能是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：79140224】 A．垂直 B．相交 C．異面 D．平行 (2)(20xx河北邯鄲調(diào)研)如圖724，在三棱錐SABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是(　　) 圖724

11、 A．相交 B．平行 C．異面 D．以上都有可能 (1)D　(2)B　[(1)由于A∈m，A∈α，mα，則有m與α相交，而nα，那么m，n的位置關(guān)系只可能是相交(包括垂直)或異面，不可能平行，故選D. (2)連接SG1并延長交AB于M，連接SG2并延長交AC于N，連接MN(圖略)．由題意知SM為△SAB的中線，且SG1＝SM，SN為△SAC的中線，且SG2＝SN，∴在△SMN中，＝，∴G1G2∥MN， 易知MN是△ABC的中位線，∴MN∥BC， 因此可得G1C2∥BC，即直線G1G2與BC的位置關(guān)系是平行．故選B.] [規(guī)律方法]　 [跟蹤訓(xùn)練]　如圖725，在正方體AB

12、CDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論： 圖725 ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與BN是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線AM與DD1是異面直線． 其中正確的結(jié)論的序號為________． ③④　[直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以①②錯(cuò)誤．點(diǎn)B，B1，N在平面BB1C1C中，點(diǎn)M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線．同理AM，DD1也是異面直線．] 異面直線所成的角 　(1)(20xx全國卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120，AB＝2，BC

13、＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(　　) A． B． C． D． (2)(20xx南京、欽州第二次適應(yīng)性考試)已知底面是邊長為2的正方形的四棱錐PABCD中，四棱錐的側(cè)棱長都為4，E是PB的中點(diǎn)，則異面直線AD與CE所成角的余弦值為(　　) A． B． C． D． (1)C　(2)A　[ (1)法一：將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如圖(1)所示，連接AD1，B1D1，BD. (1) 由題意知∠ABC＝120，AB＝2，BC＝CC1＝1， 所以AD1＝BC1＝，AB1＝，∠DAB＝60. 在△ABD中，由余弦定理

14、知BD2＝22＋12－221cos 60＝3，所以BD＝，所以B1D1＝. 又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角θ， 所以cos θ＝＝＝. 故選C． 法二：以B1為坐標(biāo)原點(diǎn)，B1C1所在的直線為x軸，垂直于B1C1的直線為y軸，BB1所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖(2)所示． (2) 由已知條件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，，1)，則＝(1,0，－1)，(1，－，－1)． 所以cos〈，〉＝＝＝. 所以異面直線AB1與BC1所成的角的余弦值為. 故選C． (2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AD∥BC，

15、則異面直線AD和CE所成角為BC和CE所成角，即∠BCE.在△PBC中，PB＝PC＝4，BC＝2，所以由余弦定理得cos∠PBC＝＝，則在△BCE中，CE2＝BE2＋BC2－2BEBCcos∠PBC＝4＋4－8cos∠PBC＝6，故cos∠BCE＝＝＝，故選A．] [規(guī)律方法]　求異面直線所成角的兩種方法 (1)平移法 ①作：通過作平行線得到相交直線. ②證：證明所作角為異面直線所成的角(或其補(bǔ)角). ③求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角. (2)向量法：利用向量的內(nèi)積求所成角的余弦值. [跟蹤訓(xùn)練]　如圖726，E、F分別是三棱錐PABC的棱AP、BC的中點(diǎn)，PC＝10，AB＝6，EF＝7，則異面直線AB與PC所成的角為________. 【導(dǎo)學(xué)號：79140225】 圖726 60　[取AC的中點(diǎn)D，連接DE、DF(圖略)，則DE∥PC，DF∥AB，∠EDF或其補(bǔ)角為異面直線AB與PC所成的角，利用余弦定理可求得∠EDF＝120，所以異面直線AB與PC所成的角為60.]