《高一數(shù)學(xué) 人教版必修4：第一章 三角函數(shù)的概念 含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高一數(shù)學(xué) 人教版必修4：第一章 三角函數(shù)的概念 含解析（18頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料重點(diǎn)列表：重點(diǎn)列表：重點(diǎn)名稱重要指數(shù)重點(diǎn) 1弧度制及任意角的三角函數(shù)重點(diǎn) 2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式重點(diǎn)詳解：重點(diǎn)詳解：一、弧度制及任意角的三角函數(shù)一、弧度制及任意角的三角函數(shù)1 1任意角(1)角的概念角可以看成平面內(nèi)一條_繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形我們規(guī)定：按_方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按_方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)_(2)象限角使角的頂點(diǎn)與_重合，角的始邊與x軸的_重合角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角是第一象限角可表示為|2k0)，則 sin，cos，tan(x0)cotxy(y0)，
2、secrx(x0)，cscry(y0)(2)正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域sincostan(3)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)sincostan4 4特殊角的三角函數(shù)值角030456090120135150180270360角的弧度數(shù)sincostansin156 24，sin756 24，tan152 3，tan752 3，由余角公式易求 15，75的余弦值和余切值【答案】1 1(1)射線逆時(shí)針順時(shí)針零角(2)原點(diǎn)非負(fù)半軸|2k22k，kZ Z|2k2k32，kZ Z|2k322k2，kZ Z或|2k22k，kZ Z(3)坐標(biāo)軸|2k，kZ Z|2k2，kZ Z|2k32，kZ Z|
3、k，kZ Z|k2，kZ Z|k2，kZ Z(4)|2k，kZ Z或|k360，kZ Z2 2(1)半徑長lr(2)2180180 (3)|r12|r212lr3 3(1)yrxryx(2)R RR R|k2，kZ Z4 4. .角030456090120135150180270360角的弧度數(shù)06432233456322sin01222321322212010cos13222120122232101tan03313不存在 31330不存在0二、同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式二、同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式1 1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)由三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)間有以下兩個(gè)等式：_；_(
4、2)同角三角函數(shù)的關(guān)系式的基本用途：根據(jù)一個(gè)角的某一三角函數(shù)值，求出該角的其他三角函數(shù)值；化簡同角的三角函數(shù)式；證明同角的三角恒等式2 2三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(1)誘導(dǎo)公式的內(nèi)容：x函數(shù)sinxcosxtanxsincostan2cot32cot2(2)誘導(dǎo)公式的規(guī)律：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限其中“奇變偶不變”中的奇、偶分別是指2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化.若是奇數(shù)倍，則正、余弦互變，正、余切互變；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱_“符號(hào)看象限”是把當(dāng)成_時(shí)，原三角函數(shù)式中的角如2所在_原三角函數(shù)值的符號(hào)注意把當(dāng)成銳角是指不一定是銳角，如 sin(360120)
5、sin120，sin(270120)cos120，此時(shí)把 120當(dāng)成了銳角來處理“原三角函數(shù)”是指等號(hào)左邊的函數(shù)(3)誘導(dǎo)公式的作用：誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為_三角函數(shù)，因此常用于化簡和求值，其一般步驟是：任意負(fù)角的三角函數(shù)去負(fù)（化負(fù)角為正角）任意正角的三角函數(shù)脫周脫去k3600到 360的三角函數(shù)化銳（把角化為銳角）銳角三角函數(shù)3 3sinsincoscos，sinsincoscos，sinsincoscos三者之間的關(guān)系(sincos)2_；(sincos)2_；(sincos)2(sincos)2_；(sincos)2(sincos)2_.【參考答案】1 1(1)sin2co
6、s21sincostan2 2(1)x函數(shù)sinxcosxtanxsincostan2cossincotsincostan32cossincot2sincostan(2)不變銳角象限(3)銳角3 312sincos12sincos24sincos重點(diǎn)重點(diǎn) 1 1：弧度制及任意角的三角函數(shù)：弧度制及任意角的三角函數(shù)【要點(diǎn)解讀】1 1將角的概念推廣后，要注意銳角與第一象限角的區(qū)別，銳角的集合為|090，第一象限角的集合為|k360k36090，kZ Z，顯然銳角的集合僅是第一象限角的集合的一個(gè)真子集，即銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角2 2角度制與弧度制可利用 180 rad 進(jìn)行換算，
7、在同一個(gè)式子中，采用的度量制必須一致，不可混用如2k30(kZ Z)，k3602(kZ Z)的寫法都是不正確的3 3一般情況下，在弧度制下計(jì)算扇形的弧長和面積比在角度制下計(jì)算更方便、簡捷4 4已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)可利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值，但要注意對(duì)可能情況的討論5 5牢記各象限三角函數(shù)值的符號(hào)，在計(jì)算或化簡三角函數(shù)關(guān)系時(shí)，要注意對(duì)角的范圍以及三角函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行討論6 62k表示與終邊相同的角，其大小為與的偶數(shù)倍(而不是整數(shù)倍)的和，是的整數(shù)倍時(shí)，要分類討論如：(1)sin(2k)sin；(2)sin(k)sin（k為偶數(shù)） ，sin（k為奇數(shù)）(1)ksin.7 7在解簡單的三角
8、不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧【考向 1】角的概念【例題】若是第二象限角，試分別確定 2，2，3的終邊所在位置(3)30k120360k120(kZ Z)，當(dāng)k3n(nZ Z)時(shí)，30n360360n360，當(dāng)k3n1(nZ Z)時(shí)，150n3603180n360，當(dāng)k3n2(nZ Z)時(shí)，270n3603300n360.3的終邊在第一或第二或第四象限【評(píng)析】關(guān)于一個(gè)角的倍角、半角所在象限的討論，有些書上列有現(xiàn)成的結(jié)論表格，記憶較難解此類題一般步驟為先寫出的范圍求出 2，2，3的范圍分類討論求出 2，2，3終邊所在位置【考向 2】扇形的弧長與面積公式【例題】如圖所示，已知扇形AO
9、B的圓心角AOB120，半徑R6，求：(1)AB的長；(2)弓形ACB的面積解：(1)AOB12023，R6，lAB2364.【評(píng)析】直接用公式l|R可求弧長，利用S弓S扇S可求弓形面積關(guān)于扇形的弧長公式和面積公式有角度制與弧度制這兩種形式，其中弧度制不僅形式易記，而且好用，在使用時(shí)要注意把角度都換成弧度，使度量單位一致弧長、面積是實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常遇到的兩個(gè)量，應(yīng)切實(shí)掌握好其公式并能熟練運(yùn)用【考向 3】三角函數(shù)的定義【例題】已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(a，2a)(a0)，求 sin，cos，tan的值解：因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(a，2a)(a0)，所以r 5a，xa，y2a.sinyr2a5a2 55，
10、cosxra5a55，tanyx2aa2.【評(píng)析】若題目中涉及角終邊上一點(diǎn)P的相關(guān)性質(zhì)或條件，往往考慮利用三角函數(shù)的定義求解重點(diǎn)重點(diǎn) 2 2：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式【要點(diǎn)解讀】1 1誘導(dǎo)公式用角度制和弧度制表示都可，運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意函數(shù)名稱是否要改變以及正負(fù)號(hào)的選取2 2已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值，這類問題用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解，一般分為三種情況：(1)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值和這個(gè)角所在的象限或終邊所在的位置都是已知的，此類情況只有一組解(2)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是已知的，但這個(gè)角所在的象限或終邊所在的位置沒有給
11、出，解答這類問題，首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個(gè)角所在的象限或終邊所在的位置，然后分不同的情況求解(3)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，此類情況須對(duì)字母進(jìn)行討論，并注意適當(dāng)選取分類標(biāo)準(zhǔn)，一般有兩組解3 3計(jì)算、化簡三角函數(shù)式常用技巧(1)減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切，如涉及 sin，cos的齊次分式問題，常采用分子分母同除以 cosn(nN N* *)，這樣可以將被求式化為關(guān)于 tan的式子(2)巧用“1”進(jìn)行變形，如 1sin2cos2tancottan45sec2tan2等(3)平方關(guān)系式需開方時(shí)，應(yīng)慎重考慮符號(hào)的選取(4)理解 sincos，sincos的內(nèi)在
12、聯(lián)系，必要時(shí)可用方程思想或整體代換方法解決【考向 1】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡和求值【例題】(1)已知 sin13，且為第二象限角，求 tan；(2)已知 sin13，求 tan；(3)已知 sinm(m0，m1)，求 tan.(3)sinm(m0，m1)，cos 1sin2 1m2(當(dāng)為第一、四象限角時(shí)取正號(hào)，當(dāng)為第二、三象限角時(shí)取負(fù)號(hào))當(dāng)為第一、四象限角時(shí)，tanm1m2；當(dāng)為第二、三象限角時(shí)，tanm1m2.【評(píng)析】解題時(shí)要注意角的取值范圍，分類討論，正確判斷函數(shù)值的符號(hào)【考向 2】誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例題】(1)化簡sin（2）cos（）cos2cos112cos（）sin（3
13、）sin（）sin92；(2)已知是第三象限角，且f()sin（）cos（2）tan()tan（）sin（）.若 cos3215，求f()的值；若1860，求f()的值【評(píng)析】三角式的化簡通常先用誘導(dǎo)公式，將角度統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關(guān)系式，這可以避免交錯(cuò)使用公式時(shí)導(dǎo)致的混亂在運(yùn)用公式時(shí)正確判斷符號(hào)至關(guān)重要三角函數(shù)的化簡、求值是三角函數(shù)中的基本問題，也是高考常考的問題，要予以重視難點(diǎn)列表：難點(diǎn)列表：難點(diǎn)名稱難度指數(shù)難點(diǎn) 1三角函數(shù)線的應(yīng)用難點(diǎn) 2關(guān)于 sin，cos的齊次式問題難點(diǎn)詳解：難點(diǎn)詳解：三角函數(shù)線如圖，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P.過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，過點(diǎn)A(1，0)作單位圓的
14、切線，設(shè)它與的終邊(當(dāng)為第一、四象限角時(shí))或其反向延長線(當(dāng)為第二、三象限角時(shí))相交于點(diǎn)T.根據(jù)三角函數(shù)的定義，有OMx_，MPy_，AT_.像OM，MP，AT這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段，這三條與單位圓有關(guān)的有向線段MP，OM，AT，分別叫做角的、，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線【答案】cossinyxtan正弦線余弦線正切線難點(diǎn)難點(diǎn) 1 1：三角函數(shù)線的應(yīng)用：三角函數(shù)線的應(yīng)用【要點(diǎn)解讀】(1)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)求三角函數(shù)值，先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后利用三角函數(shù)定義求解(2)已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)求三角函數(shù)值，可直接根據(jù)三角線求解(3)已知角的終邊所在的直線方程求三角函數(shù)值，
15、先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后利用三角函數(shù)定義求解相關(guān)問題，同時(shí)注意分類討論(4)判斷三角函數(shù)值的符號(hào)問題，先判斷角所在的象限，再根據(jù)各象限的符號(hào)規(guī)律判斷【考向 1】三角函數(shù)線的概念【例題】用單位圓證明角的正弦絕對(duì)值與余弦絕對(duì)值之和不小于 1，即已知 02，求證：|sin|cos|1.證明：作平面直角坐標(biāo)系xOy和單位圓(1)當(dāng)角的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)， 不妨設(shè)為Ox軸， 設(shè)它交單位圓于A點(diǎn)， 如圖 1， 顯然 sin0，cosOA1，所以|sin|cos|1.圖 1圖 2【評(píng)析】三角函數(shù)線是任意角的三角函數(shù)的幾何表示，利用單位圓中的三角函數(shù)線可以直觀地表示三角函數(shù)值的符號(hào)及
16、大小， 并能從任意角的旋轉(zhuǎn)過程中表示三角函數(shù)值的變化規(guī)律 在求三角函數(shù)的定義域、解三角不等式、證明三角不等式等方面，三角函數(shù)線具有獨(dú)特的簡便性【考向 2】利用三角函數(shù)線進(jìn)行證明【例題】求證：當(dāng)0，2 時(shí)，sintan.證明：如圖所示，設(shè)角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作圓的切線交OP的延長線于T，過P作PMOA于M，連接AP，則在 RtPOM中，sinMP，在 RtAOT中，tanAT，又根據(jù)弧度制的定義，有APOP， 易 知SPOAS扇 形PO ASAOT， 即12OAMP12APOA12OAAT，即 sintan.難點(diǎn)難點(diǎn) 2 2：關(guān)于 sin，cos的齊次
17、式問題【要點(diǎn)解讀】(1)已知 sin(或 cos)的值， 求 cos(或 sin)、 tan的值時(shí)， 先利用平方關(guān)系 sin2cos21，再利用商數(shù)關(guān)系 tansincos，其中利用平方關(guān)系進(jìn)行開方時(shí)要注意根據(jù)角所在的象限選擇恰當(dāng)?shù)姆?hào)(2)已知 tan的值，求 sin和 cos的值時(shí)，通常利用兩個(gè)基本關(guān)系式建立方程組求解【考向 1】一次變換【例題】已知tantan11，求下列各式的值(1)sin3cossincos；(2)sin2sincos2.【評(píng)析】(1)形如asinbcos和asin2bsincosccos2的式子分別稱為關(guān)于sin，cos的一次齊次式和二次齊次式，對(duì)涉及它們的三角變換
18、通常轉(zhuǎn)化為正切(分子分母同除以 cos或 cos2)求解如果分母為 1，可考慮將 1 寫成 sin2cos2.(2)已知 tanm的條件下， 求解關(guān)于 sin， cos的齊次式問題， 必須注意以下幾點(diǎn)： 一定是關(guān)于 sin，cos的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數(shù)式 因?yàn)?cos0， 所以可以用 cosn(nN N* *)除之，這樣可以將被求式化為關(guān)于 tan的表示式，可整體代入 tanm的值，從而完成被求式的求值運(yùn)算注意 1sin2cos2的運(yùn)用【考向 2】高次變換【例題】已知 tan3，求 sin23sincos1 的值解法一：sin23sincos1sin23sincossin2cos
19、21tan23tan1tan21323313211.解法二：tan30，是第一、三象限角由sin2cos21，sin3cos，有sin31010，cos1010(為第一象限角)，或sin31010，cos1010(為第三象限角)sincos310.sin23sincos1910331011.【趁熱打鐵】【趁熱打鐵】1 1sin585的值為()A22B.22C32D322 2若 sin35，2，則 tan的值為()A34B34C43D433 3下列關(guān)系式中正確的是()Asin11cos10sin168Bsin168sin11cos10Csin11sin168cos10Dsin168cos10si
20、n114 4已知f(cosx)cos2x，則f(sin15)的值等于()A12B12C32D325 5若 sin是 5x27x60 的根，則sin32sin32tan2（2）cos2cos2sin（）()A35B53C45D546 6已知 sincos 2，(0，)，則 tan()A1B22C.22D17 7已知 sincos18，且42，則 cossin的值是_8 8若一扇形的周長為 60cm，那么當(dāng)它的半徑和圓心角各為_cm 和_rad 時(shí)，扇形的面積最大9 9若是第三象限角，則 2，2分別是第幾象限角？1 10 0已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x， 2)(x0)且 cos36x，求 sintan
21、的值第一章第一章1 解：sin585sin(90645)sin4522.故選 A A. .2 解：sin35，2，cos45.tansincos34.故選 B B. .3解 ： cos10 sin80 ， sin168 sin(18012) sin12 ， sin11sin168cos10.故選 C C. .4 解：f(sin15)f(cos75)cos15032.故選 D D. .5 解 ： 由 5x2 7x 6 0 得x 35或x 2. sin 35. 原 式 cos（cos）tan2sin（sin）（sin）1sin53.故選 B B. .6 解：將 sincos2兩端平方，整理得 2s
22、incos1，2sincos2sincossin2cos22tantan211，即(tan1)20，解得 tan1.故選 A A. .7 解：42，sincos.12sincos(cossin)234，cossin32.故填3 32 2. .9 解：是第三象限角，2k2k32，kZ Z.4k224k3，kZ Z.2是第一、二象限角，或角的終邊在y軸非負(fù)半軸上又k22k34，kZ Z，當(dāng)k2m(mZ Z)時(shí)，2m222m34(mZ Z)，則2是第二象限角；當(dāng)k2m1(mZ Z)時(shí)，2m3222m74(mZ Z)，則2是第四象限角故2是第二、四象限角10 解：P(x， 2)(x0)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離rx22.又 cosxx2236x，x 10，r2 3.當(dāng)x 10時(shí)，點(diǎn)P( 10， 2)，由三角函數(shù)定義知 sin66，tan 21055.sintan66555 66 530.當(dāng)x 10時(shí)，同理可求得 sintan6 55 630.
高一數(shù)學(xué) 人教版必修4：第一章 三角函數(shù)的概念 含解析
