2015年高中數(shù)學(xué)《空間幾何體的表面積和體積》自測試題

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1、 例題1 (1)(2012 ?高考北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是 ( ) 2015年高中數(shù)學(xué)《空間幾何體的表面積和體積》自測試題 【梳理自測】 一、柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積 1.已知某球的體積大小等于其表面積大小，則此球的半徑是 （ ） A ：3 B. 3 C. 4 D. 5 2.正六棱柱的高為6,底面邊長為4,則它的全面積為（ ） A. 48（3+^3） B. 48（3+ 2鏡） C. 24（#+ 娟）D. 144 3.棱長為2的正四面體的表面積是（ ） A ；3 B, 4 C. 4 ：3 D. 16 4. 一個幾何體的三視圖如圖

2、所示，則該幾何體的體積為 . 5.如圖所示，在棱長為 4的正方體 ABCD- ABGD中，P是AB上一點，且PB 1 …… ， = 4AB,則多面體P- BBGC的體積為. 一 _ _ 16 答案：1. B 2. A 3. C 4.12+ 兀 5 — 3 ?以上題目主要考查了以下內(nèi)容: 柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積 體積 圓柱 S側(cè)=2-rh V= Sh=兀 r 2h 圓錐 S側(cè)=-rl V="3Sh=亨L_L2h=3 幾 rMl2-r2  圓臺 S 側(cè)=冗(r〔 +「2)1 1 1 V= -（S 上+S下+^Sh - S下）h 3

3、 1 , 2 , 2 , 、, =-九（r 1+「2+「1『2）h 3 直棱柱 S側(cè)=必 V= Sh 正棱錐 1 , ，，… S側(cè)= 2Ch （h 為斜 高） 1 V;遑 _3- 正棱臺 1 S側(cè)=2（C+C ）h V= 1（S 上+S 不十寸S - S下）h 3 球 S球面=4.R v=辿 二、幾何體的表面積 1 .棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和. 2 .圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底 面積之和. 【指點迷津】 1 . 一種數(shù)學(xué)思想 計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將

4、側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直” 來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法. 2 .兩種位置：球的組合體的內(nèi)切與外接 如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體， 正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑. 球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸 截面進(jìn)行解題. 3 .三種方法一一求空間幾何體體積的常用方法 (1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計算. (2)等積法：根據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易，或是求 出一些體積比等. (3)割補法：把不能直接計算體積的空間幾何體進(jìn)行適

5、當(dāng)?shù)姆指罨蜓a形，轉(zhuǎn)化為可計算體積的幾 何體. 考向一幾何體的表面積與側(cè)面積 A. 28+ 6 ；15 B. K- 4 H 儲f左｝視圖 C 56+ 12 5 D. 60+ 12 15 ⑵（2014 ?廣州市高三調(diào)研）已知四棱錐P— ABCD勺三視圖如圖所示，則四棱錐 P— ABCD勺四個 側(cè)面中面積最大的是（ ） A. 3 B. 2 15 C. 6 D. 8 【審題視點】 根據(jù)幾何體的三視圖畫出其直觀圖，利用直觀圖的圖形特征求其表面積或側(cè)面積. 【典例精講】 （1）由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示， 其中An平面BCD CDLBD,且C

6、54, BD= 5, B『2, ED= 3, A『4. . AE= 4, ED= 3, a AD= 5. 又 CDL BR CDL AE, ? ?CDL平面 ABD 故 CDL AR ? .AO介且 S>A ACD= 10. 在 RtzXABE中，AE= 4, BE= 2,故 AB= 2v5. 在 RtzXBCD中，BD= 5, C54,故 SA BC尸 10,且 BO 41. 在AABD中，A已4, BD= 5,故 S^ab戶 10. 在AABC中,AB= 2詆，BO AO 時,則AB邊上的高h(yuǎn)=6,故 Sa ab(C=二 X 275X6 = 6^5. 2 (2)由三視圖

7、知四棱錐如圖所示，N為CD的中點，M為AB的中點，易知PM 1 1 1 =3, PN= ；5,S>A PDC= 2 X 4 X "\^5 =2^5 , S>A PBC= S\ PA產(chǎn)2X2X3=3, SaPAB= 2 X 4 X 3= 6.故選 C. 【答案】 ⑴B⑵C 【類題通法】 (1)多面體的表面積是各個面的面積之和；旋轉(zhuǎn)體的表面積等于側(cè)面面積與底面 面積的和. (2)若所給的幾何體是規(guī)則的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解； (3)若以三視圖的形式給出，解題的關(guān)鍵是對給出的三視圖進(jìn)行分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素 間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，得到幾何體的直觀圖，然后根

8、據(jù)條件求解. 變式訓(xùn)練 1. (2014 ?濰坊市考前適應(yīng)性訓(xùn)練)如圖為某個幾何體的三視圖，則該幾何體的 側(cè)面積為( ) A. 16+ 4 冗 B. 12+4 冗 C. 16+ 8 兀 D. 12+8 兀 解析：選A該幾何體是半圓柱和一個三棱柱的組合體，其側(cè)面積為 4冗+6+10= 16+4冗. 例題 2 (1)(2014 體積等于 cm3. lE構(gòu)圖 一b卜 4 L 二 ?0 j 考向二幾何體的體積 ?遼寧省五校聯(lián)考）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的 ⑵（2013 ?高考重慶卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 （

9、 ） 560 B. 580 C. 200 D. 240 【審題視點】 由三視圖分清是旋轉(zhuǎn)體，還是多面體或是組合體，然后求出計算體積所需要的量, 代入公式. 【典例精講】 （1）該幾何體的直觀圖為上為圓臺、下為半球的組合體，其體積 V= 1冗X3X（42 84兀 128冗 212冗 3 + 4X2+ 22) + 1X 4兀 X43 = 2 3 （2）先將三視圖還原為空間幾何體，再根據(jù)體積公式求解.由三視圖知該幾何體為直四棱柱，其 底面為等腰梯形，上底長為 2,下底長為8,高為4,故面積為S= (2+8) X4 =20.又棱柱的高為 10,所以體積 V

10、 Sh= 20X 10= 200. 【答案】（1）212冗（2） C 3 【類題通法】 （1）若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用 公式進(jìn)行求解. （2）若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出， 則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進(jìn) 行求解. （3）若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解. 變式訓(xùn)練 2. （2014 ?鄭州市二測）一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示（單位：cm）,其中正（主）視圖是 直角三角形，側(cè)（左）視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，則這個幾何體的體積是 （ ） 九3 A -2

11、cm 冗 3 B 3cm -九 3 C-7cm 3 D.九 cm 解析：選 帆（左｝配圖 A依題意得，該幾何體是一個圓錐的一半 （沿圓錐的軸剖開），其中該圓錐的底面半徑 為1、高為3,因此該幾何體的體積為1x 1x冗X12X3 = 2 3 九 2 、r 萬cm,選A 考向三 球的組合體及球的性質(zhì) 例題3 （1）（2013 ?高考全國卷）已知H是球O的直徑AB上一點，AH： HB= 1 ： 2, AB，平面a, H為垂足，a截球。所得截面的面積為冗，則球。的表面積為 ⑵（2014 ?安徽省“江南十?！甭?lián)考）一個正方體削去一個角所得到的幾何體的三視圖如圖所示

12、 （圖中三個四邊形都是邊長為2的正方形），則該幾何體外接球的體積為 【審題視點】 （1）利用球的截面性質(zhì)求解三角形. ⑵尋找球的直徑與幾何體邊長間的關(guān)系. 【典例精講】 ⑴如圖，設(shè)球。的半徑為R,則由AH： H及1 ： 2得 HA= 1 - 2R= 2R 3 3 ;截面面積為冗=兀?（HM）2, O* % 3 ? ?HMh 1. 在 Rt^HM時，。準(zhǔn)OH + HM, ? .R2= 1R2+HM=親+ 1, 9 9 ? ??R= 3^ 4 . S球=4 兀 r2= 4 幾 2 9 二2冗. （2）依題意可知，新的幾何體的外接球也就是原正方體的外

13、接球，要求的直徑就是正方體的體對 角線， 2R= 2V3（R為球的半徑）， r= V3. ???球的體積V=［九R3 = 4，3冗. 3 9 _ 【答案】 ⑴2九（2）4鎘冗 【類題通法】 解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的 關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及 體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的. 變式訓(xùn)練 3. （2014 ?長春模擬）已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面 3 上.若圓錐底面面積是這個球面面積的則這兩個圓錐中，體積較小者的

14、高 解析：如圖，設(shè)球的半徑為 R,圓錐底面半徑為r. 與體積較大者的高的比值為 - 2 3 2 由題意得兀r2=-X4幾R2. ??:2= 根據(jù)球的截面的性質(zhì)可知兩圓錐的高必過球心 Q且兩圓錐的頂點以及圓錐與球的交點是球的大 圓上的點，且AB，OiC. ? . OO= .F2- r2=‘R, 1 R 因此體積較小的圓錐的圖 AO= R— ‘R= 2， R 3 體積較大的圓錐的圖BO=R+ 2 = /R. 一、 1 且這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比為 o. 3 答案：1 3 幾何體體積的計算方法 典型例題 （2013

15、?高考江蘇卷）如圖，在三棱柱 AiBiG-ABO^, D, E, F分別是AB, AG AA的 中點.設(shè)三棱錐F—ADE的體積為 V 三棱柱AiBG —ABG的體積為V2,則V1 ： % = 【方法分析】 ①題目條件：在三棱柱 ABC-ABG中，從側(cè)棱及底邊中點處分 割出一個三棱錐. ②解題目標(biāo)：兩個幾何體體積之比. ③關(guān)系探究：（i）把三棱柱看作是任意三棱柱：通過點 D, E, F為中點得出三棱柱與三棱錐的底 面面積以及高之間的關(guān)系，然后利用體積公式得到體積之間的比值. （ii）把三棱柱看作任意三棱柱，根據(jù)同底同高的三棱錐與三棱柱體積之間的關(guān)系， 直接得出答案. （iii）把三

16、棱柱看作特殊三棱柱：如正三棱柱，并設(shè)出各棱長，具體計算體積. 【解答過程】 方法（i）設(shè)三棱柱的底面 ABG的面積為S,高為h,則具體積為 5= Sh.因為D, 1 E分別為AB, AG的中點，所以△ ADE勺面積等于4S.又因為F為AA的中點，所以三棱錐F- ADE的局 等于1h,于是三棱錐F- ADE的體積V1 = 1X1S . ；h==Sh= 九，故V ：上=1 ： 24. 2 3 4 2 24 24 i 1 萬法（ii）連接 AG, AB,則 M = [VA—ABG 8 而 VA-AB諼 1V2, V1 = ；1V2. 3 24 方法（iii）若三方8柱 ABG—

17、ABE正三棱柱，設(shè) AB= 2, AA= 2. 則 V = Sh=（X22X2 = 2^3, 1 3 3 V1=3X 4 解析：將三視圖還原為直觀圖，然后根據(jù)三視圖特征及數(shù)據(jù)，利用體積 公式求解. 由幾何體的三視圖可知該幾何體是一個底面是正方形的四棱錐，其底面 " ■ ■ ■ " - " 1 邊長為3,且該四棱錐的高是1,故其體積為V=^x9X1=3. 3 答案：3 *以上是由明師教育編輯整理 仁匕 Vi : V2=1 ： 24. 【答案】 1 ： 24 【回歸反思】 （1）對于規(guī)則幾何體體積的大小可直接考慮底面積與高的量. ⑵ 用特殊代替一般可解決體積比（面積

18、比）之類的問題. （3）在錐體中平行于底的截面分割出的小錐體與原錐體的體積比為相似比的立方. 真題體驗 止住，視圖 ?住j視圖 1. 一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 A. 200+9 兀 C. 140+9 兀 B. 200+ 18 兀 D. 140+ 18 兀 解析：選A由三視圖可知該幾何體的下面是一個長方體，上面是半個圓柱組成的組合體.長方 體的長、寬、高分別為10、4、5,半圓柱底面圓半徑為3,高為2,故組合體體積V= 10X4X5+9 兀=200+9 兀. 2. （2013 ?高考遼寧卷）已知直三棱柱 ABC- ABG的6個頂點都在球。的球面上.若 A

19、B= 3, AC =4, ABAC, AA=12,則球。的半徑為（ ） A3^ B. 2 70 C.123 D. 3 10 解析：選C根據(jù)球的內(nèi)接三棱柱的性質(zhì)求解. 因為直三棱柱中 AB= 3, AO4, AA= 12, ABAG 所以BO5,且BC為過底面ABC的截面圓的 直徑.取BC中點D,則ODL底面ABC則O在側(cè)面BCCB內(nèi)，矩形BCCB的對角線長即為球直徑，所 13 以 2R=。122+ 52 = 13,即 R= -2. ,IQ Q 主神圖 左視圖 的視圖 解析：由三視圖可知，該幾何體為一個半徑為1的半球，其表面積為半個球面面積與截面面積的 和，即‘X 4冗+冗=3冗. 答案：3九 4. （2013 ?高考北京卷）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為 3. （2013 ?高考陜西卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為