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1、
第十一篇 第4節(jié)
一、選擇題
1.(20xx濰坊模擬)用反證法證明某命題時(shí),對(duì)結(jié)論“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是( )
A.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)
B.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)
C.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)
D.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)
解析:“恰有一個(gè)”反面應(yīng)是至少有兩個(gè)或都是奇數(shù).故選B.
答案:B
2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值( )
A.恒為負(fù)值 B.恒等于零
C.恒為正值 D.無法確定正負(fù)
解
2、析:由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),
則f(x1)+f(x2)<0,故選A.
答案:A
3.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證:<a”索的因應(yīng)是( )
A.a(chǎn)-b>0 B.a(chǎn)-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
解析:<a?b2-ac<3a2
?(a+c)2-ac<3a2
?a2
3、+2ac+c2-ac-3a2<0
?-2a2+ac+c2<0
?2a2-ac-c2>0
?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.故選C.
答案:C
4.(20xx汕頭一中月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式:1+2+3+…+n2=(n∈N*),則從n=k到n=k+1時(shí)左邊應(yīng)添加的項(xiàng)為( )
A.k2+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
解析:∵當(dāng)n=k時(shí),等式左邊=1+2+3+…+k2,
當(dāng)n=k+1時(shí),等式左邊=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
4、,
∴比較上述兩個(gè)式子,當(dāng)n=k+1時(shí),等式左邊是在假設(shè)n=k時(shí)等式成立的基礎(chǔ)上,等式的左邊加上了(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.
故選D.
答案:D
5.(20xx遼寧大連模擬)設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合,在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對(duì)任意的a,b∈S,對(duì)于有序元素對(duì)(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng)),若對(duì)任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,則對(duì)任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是( )
A.(a*b)*a=a B.[a*(b*a)]*(a*b)=a
C.b*(b*b)=b D.(a*b)*[b*(a*b)]=b
解析:由已知條件
5、可得對(duì)任意a,b∈S,a*(b*a)=b,
則b*(b*b)=b,[a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a,(a*b)*[b*(a*b)]=(a*b)*a=b,即選項(xiàng)B,C,D中的等式均恒成立,僅選項(xiàng)A中的等式不恒成立.故選A.
答案:A
6.對(duì)于不等式<n+1(n∈N*),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下:
(1)當(dāng)n=1時(shí),<1+1,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*且k≥1)時(shí),不等式成立,
即<k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí),=<==(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立,
則上述證法( )
A.過程全部正確
B.n=1驗(yàn)
6、得不正確
C.歸納假設(shè)不正確
D.從n=k到n=k+1的推理不正確
解析:在n=k+1時(shí),沒有應(yīng)用n=k時(shí)的假設(shè),故推理錯(cuò)誤.故選D.
答案:D
二、填空題
7.設(shè)a>b>0,m=-,n=,則m,n的大小關(guān)系是________.
解析:法一 取a=2,b=1,得m<n.
法二 分析法:-<?+>?a<b+2·+a-b?2·>0,顯然成立.
答案:m<n
8.已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn),其中n∈N*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為___
7、_____.
解析:由條件得cn=an-bn=-n=,
∴cn隨n的增大而減小.
∴cn+1<cn.
答案:cn+1<cn
9.用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理數(shù)根,那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù).用反證法證明時(shí),假設(shè)的內(nèi)容是________.
解析:“至少有一個(gè)”的否定為“都不是”.
答案:假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)
10.用數(shù)學(xué)歸納法證明:12+22+…+n2+…+22+12=,第二步證明由“k到k+1”時(shí),左邊應(yīng)加________.
解析:當(dāng)n=k時(shí),左邊=12+22+…+k2+…+22+12;
當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=
8、12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12.
答案:(k+1)2+k2
三、解答題
11.已知a>0,求證:-≥a+-2.
證明:要證-≥a+-2.
只要證+2≥a++.
∵a>0,故只要證2≥2,
即a2++4+4≥
a2+2++2+2,
從而只要證2≥,
只要證4≥2,即a2+≥2,
而上述不等式顯然成立,故原不等式成立.
12.(20xx湖南常德模擬)設(shè)a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.
(1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
(1)解:∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)=;
a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.
猜想an=(n∈N*).
(2)證明:①易知,n=1時(shí),猜想正確.
②假設(shè)n=k時(shí)猜想正確,
即ak=,
則ak+1=f(ak)==
==.
這說明,n=k+1時(shí)猜想正確.
由①②知,對(duì)于任何n∈N*,都有an=.