高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 第2篇 第10節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念與計算

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1、 精品資料 第二篇　第10節(jié) 一、選擇題 1．在曲線y＝x2＋1的圖象上取一點(1,2)及鄰近一點(1＋Δx,2＋Δy)，則為(　　) A．Δx＋＋2 B．Δx－－2 C．Δx＋2　 D．Δx－＋2 解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－2 ＝(Δx)2＋2(Δx)， ∴＝Δx＋2，選C. 答案：C 2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，則f′(0)等于(　　) A．2　 B．0 C．－2　 D．－4 解析：∵f′(x)＝2f′(1)＋2x， ∴f′(1)＝2f′(1)＋2， ∴

2、f′(1)＝－2， ∴f′(x)＝2x－4， ∴f′(0)＝－4. 故選D. 答案：D 3．(2014合肥模擬)函數(shù)y＝x2cos x在x＝1處的導(dǎo)數(shù)是(　　) A．0　 B．2cos 1－sin 1 C．cos 1－sin 1　 D．1 解析：∵y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′ ＝2xcos x－x2sin x， ∴在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為2cos 1－sin 1， 故選B. 答案：B 4．(2014安慶模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋g(x)．若曲線y＝g(x)在點P(0，g(0))處的切線方程是y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在點Q(

3、0，f(0))處的切線方程是(　　) A．y＝2x＋1　　　 B．y＝2x＋3 C．y＝x＋2　　　 D．y＝3x＋2 解析：由題意得g′(0)＝2，g(0)＝1， 而f′(x)＝ex＋g′(x)， ∴f′(0)＝e0＋2＝3，f(0)＝e0＋1＝2， ∴切點坐標(biāo)為(0,2)． ∴切線方程為y－2＝3(x－0)， 即y＝3x＋2.選D. 答案：D 5．(2014濰坊模擬)若曲線f(x)＝xsin x＋1在x＝處的切線與直線ax＋2y＋1＝0互相垂直，則實數(shù)a等于(　　) A．－2　 B．－1 C．1　 D．2 解析：f′(x)＝sin x＋xcos x，依

4、題意， f′＝1，且－1＝－1， 解得a＝2， 故選D. 答案：D 6．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)＝1，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知y＝f′(x)的圖象如圖所示，若兩個正數(shù)a、b滿足f(2a＋b)<1，則的取值范圍是(　　) A.　 B．∪(5，＋∞) C.　 D．(－∞，3) 解析：觀察圖象，可知f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，在[0，＋∞)上是增函數(shù)， 由f(2a＋b)<1＝f(4)，可得畫出以(a，b)為坐標(biāo)的可行域(如圖陰影部分所示)， 而可看成(a，b)與點P(－1，－1)連線的斜率，可求得選項C為所求．故選C. 答案：C 二、填空題

5、 7．設(shè)直線y＝x＋b是曲線y＝ln x(x>0)的一條切線，則實數(shù)b的值為________． 解析：由已知條件可得直線的斜率k＝， y′＝(ln x)′＝＝， 得切點的橫坐標(biāo)為x＝2， 切點坐標(biāo)為(2，ln 2)． 由點(2，ln 2)在切線y＝x＋b上可得 b＝ln 2－2＝ln 2－1. 答案：ln 2－1 8.(2014蕪湖市期末評價)如圖所示，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點P(3，f(3))處的切線方程為y＝－x＋5，則f(3)－f′(3)＝________. 解析：f(3)＝2，f′(3)＝－1， 所以f(3)－f′(3)＝3. 答案：3 9．(2014黃山

6、模擬)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對于定義域內(nèi)任意x1、x2(x1≠x2)，有＝f′恒成立，則稱f(x)為恒均變函數(shù)．給出下列函數(shù)：①f(x)＝2x＋3；②f(x)＝x2－2x＋3；③f(x)＝；④f(x)＝ex；⑤f(x)＝ln x．其中為恒均變函數(shù)的序號是________．(寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號) 解析：函數(shù)①是一次函數(shù)顯然是恒均變函數(shù)； 對函數(shù)②f′(x)＝2x－2， 所以有f′＝2－2＝x1＋x2－2， 又＝＝x1＋x2－2， 因此函數(shù)②是恒均變函數(shù)； 對于函數(shù)③④⑤可以驗證當(dāng)x1＝1，x2＝3時等式均不成立． 答案：①② 10．已知直線l與曲線f(x)

7、＝x2＋3x－2＋ln x相切，則直線l的斜率的最小值為_______． 解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線上任意一點P(x，y)處的切線l的斜率為f′(x)＝2x＋3＋. 因為x>0， 所以2x＋≥2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝， 即x＝時取等號)， 所以f′(x)＝2x＋3＋≥2＋3， 即直線l的斜率的最小值為2＋3. 答案：2＋3 三、解答題 11．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2)y＝(－2)2； (3)y＝x－sincos； (4)設(shè)f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，試確定常數(shù)a，b，c，d，使得f′(x)＝xc

8、os x. 解：(1)法一　y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′ ＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3) ＝18x2－4x＋9. 法二　∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3， ∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝(－2)2＝x－4＋4， ∴y′＝x′－(4)′＋4′＝1－4x－＝1－2x－. (3)∵y＝x－sincos＝x－sin x， ∴y′＝x′－′＝1－cos x. (4)由已知f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx

9、＋d)cos x]′＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x. ∵f′(x)＝xcos x，∴必須有 即?a＝d＝1，b＝c＝0. 12．已知函數(shù)f(x)＝在x＝處的切線為l，直線g(x)＝kx＋與l平行，求f(x)的圖象上的點到直線g(x)的最短距離． 解：因為f(x)＝， 所以f′(x)＝. 所以切線l的斜率為k＝f′＝1，切點為T. 所以切線l的方程為x－y＋＝0. 因為切線l與直線g(x)＝kx＋平行， 所以k＝1， 即g(x)＝x＋. f(x)的圖象上的點到直線g(x)＝x＋的最短距離為切線l：x－y＋＝0與直線x－y＋＝0之間的距離， 所以所求最短距離為＝.