高考數(shù)學理一輪資源庫 選修系列不等式選講

上傳人:仙*** 文檔編號:43053604 上傳時間:2021-11-29 格式:DOC 頁數(shù):12 大?。?13KB
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1、 精品資料 學案75 不等式選講 (二)不等式的證明 導學目標: 1.了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法.2.會用比較法、綜合法、分析法、數(shù)學歸納法證明比較簡單的不等式. 自主梳理 1.證明不等式的常用方法 (1)比較法:比較法是證明不等式最基本的方法,具體有作差比較和作商比較兩種,其基本思想是____與0比較大小或____與1比較大?。? (2)綜合法:從已知條件出發(fā),利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或________,經(jīng)過推理論證,最終指導出所要證明的不等式成立. (3)分析法:從

2、待證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的________條件,到將待證不等式歸結(jié)為一個已成立的不等式(已知條件、定理等). (4)反證法 ①反證法的定義 先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點,結(jié)合已知條件,應用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論,以說明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立,我們把它稱為反證法. ②反證法的特點 先假設(shè)原命題不成立,再在正確的推理下得出矛盾,這個矛盾可以是與已知條件矛盾,或與假設(shè)矛盾,或與定義、公理、定理、事實等矛盾. (5)放縮法 ①定義:證明不等式時,通過把不等式的一邊適當?shù)豞___

3、____或________以利于化簡,并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯,從而得出原不等式成立.這種方法 稱為放縮法. ②思路:分析觀察證明式的特點,適當放大或縮小是證題關(guān)鍵. (6)數(shù)學歸納法 與自然數(shù)有關(guān)的不等式可考慮用數(shù)學歸納法證明. 自我檢測 1.已知M=a2+b2,N=ab+a+b-1,則M,N的大小關(guān)系為________. 2.設(shè)x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,則實數(shù)a,b應滿足的條件為______________. 3.若a>0,b>0,給出下列四個不等式: ①a+b+≥2;②(a+b)(+)≥4;③≥a+b;④a+≥-2. 其中正確

4、的序號為______________. 4.用數(shù)學歸納法證明(1+)(1+)(1+)…(1+)>(k>1),則當n=k+1時,左端應乘上________.這個乘上去的代數(shù)式共有因子的個數(shù)是________. 5.用數(shù)學歸納法證明≥()n(a,b是非負實數(shù),n∈N)時,假設(shè)n=k命題成立之后,證明n=k+1命題也成立的關(guān)鍵是______________. 探究點一 比較法證明不等式 例1 已知a>0,b>0,求證:+≥+. 變式遷移1 (2011福建)設(shè)不等式|2x-1|<1的解集為M. ①求集合M; ②若a,b∈M,試比較ab+1與a+b的大?。?

5、 探究點二 用綜合法證明不等式 例2 設(shè)a、b、c均為正數(shù),求證: ++≥++. 變式遷移2 設(shè)x是正實數(shù),求證: (x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3. 探究點三 用分析法證明不等式 例3 已知a>b>0,求證:<-<. 變式遷移3 已知a>0,求證: -≥a+-2. 探究點四 數(shù)學歸納法 例4 用數(shù)學歸納法證明: +++…+>(n≥2).

6、 變式遷移4 用數(shù)學歸納法證明

7、等于,另一個小于;三個都大于等于.如果從正面證明,將有7種情況需要證明,非常繁雜,可考慮用反證法證明. 【答題模板】 證明 (1)∵f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2, ∴f(1)+f(3)-2f(2)=2.[2分] (2)假設(shè)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于, 則|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,[4分] 而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=2, 與假設(shè)矛盾.[9分] ∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于.[10分] 【突破

8、思維障礙】 根據(jù)正難則反的證明原則,|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|至少有一個不小于的反面為|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于,所以用反證法證明只有一種情況,如果這一種情況不成立,則原命題成立. 【易錯點剖析】 在證明(2)中如果不知道用反證法證,而是從正面分七種情況證明,往往會出現(xiàn)這樣或那樣的失誤. 1.證明不等式的常用方法有六種,即比較法、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法、反證法、放縮法,重點是前四種方法. 2.比較法是證明不等式的一個最基本,最常用的方法.當被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時,一般使用作差比較法;當被證的不等式(或變形后)的兩端都是正

9、數(shù)且為乘積形式或冪指數(shù)形式時,一般使用作商比較法. 3.分析法執(zhí)果索因,利于思考;綜合法由因?qū)Ч?,宜于表達,適合人們的思維習慣,凡是能用分析法證明的不等式,一般可以用綜合法證明. 因此,我們做題時,通常先用分析法探求證題途徑,在解答問題時用綜合法書寫. 4.放縮法就是利用不等式的傳遞性的方法,即要證a>b,可以證a>c且c>b.其中c的確定是最困難的,要憑借對題意的分析和一定的解題經(jīng)驗. 放縮法的常用措施:(1)舍去或加上一些項,如2+>2;(2)將分子或分母放大(縮小),如<,>,<,> (k∈N*且k>1)等. (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共42分)

10、 1.已知a、b、m∈R+且a>b,則與的大小關(guān)系為________. 2.設(shè)a∈R且a≠0,以下四個式子中恒大于1的個數(shù)是________. ①a3+1;②a2-2a+2;③a+;④a2+. 3.在下列不等式中,一定成立的是________(填序號). ①48a<84b; ②aabb>abba; ③a3>a2-a+1; ④(+)m2<. 4.如圖所示,矩形OPAQ中,a1”“<”或“=”) 5.已知P=+,Q=+,則P、Q的大小關(guān)系為________. 6.有一臺天平,兩臂

11、長略有差異,其他均精確.現(xiàn)將一物體A分別放在左、右托盤內(nèi)各稱一次,稱得的結(jié)果分別為a克和b克,關(guān)于物體A的質(zhì)量,有下列一些說法: (1)物體A的質(zhì)量是克; (2)物體A的質(zhì)量介于a克與b克之間; (3)物體A的質(zhì)量大于克; (4)物體A的質(zhì)量大于克. 其中正確的說法是________.(將滿足題意的所有序號填在題中橫線上) 7.設(shè)兩個不相等的正數(shù)a,b滿足a3-b3=a2-b2,則a+b的取值范圍是________. 二、解答題(共48分) 8.(12分)若a+b=1,求證: +≤2. 9.(12分)(2009江蘇)設(shè)a≥b>0,求

12、證:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 10.(12分)已知x,y,z均為正數(shù),求證: ++≥++. 11.(12分)用數(shù)學歸納法證明++…+>. 學案75 不等式選講 (二)不等式的證明 答案 自主梳理 1.(1)差 商 (2)定理 (3)充分 (5)①放大 縮小 自我檢測 1.M≥N 解析 ∵M-N=a2+b2-ab-a-b+1 =(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2) =[(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)]

13、 =[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]≥0,當且僅當a=b=1時“=”成立.∴M≥N. 2.a(chǎn)b≠1或a≠-2 解析 由x>y,得a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2>0,所以有ab≠1或a≠-2. 3.①②③④ 解析 ∵a>0,b>0, ∴①a+b+≥2+≥2 =2; ②(a+b)(+)≥4=4; ③∵≥, ∴a2+b2≥=(a+b) ≥(a+b).∴≥a+b; ④∵a>0,∵a+>0,∴④恒成立. 4.(1+)(1+)…(1+) 2k-1 解析 因為分母的公差為2,所以乘上去的第一個因式是(1+),最后一個是(1+),共有2k-

14、2k-1=2k-1項. 5.兩邊同乘以 解析 要想辦法出現(xiàn)ak+1+bk+1,兩邊同乘以,右邊也出現(xiàn)了要求證的()k+1. 課堂活動區(qū) 例1 解題導引 不等式左、右兩邊是多項式形式,可用作差或作商比較法,也可用分析法、綜合法. 證明 ∵+-(+) ==, 又+>0,>0,(-)2≥0, ∴+-(+)≥0.故+≥+. 變式遷移1 解?、儆蓔2x-1|<1得-1<2x-1<1,解得00, 故ab+1>a+b. 例2 解題導引 本例不等

15、式中的a、b、c具有同等的地位,證明此類型不等式往往需要通過系數(shù)的變化,利用基本不等式進行放縮,得到要證明的結(jié)論. 證明 ∵a、b、c均為正數(shù), ∴≥≥, 當且僅當a=b時等號成立; 同理:≥≥, 當且僅當b=c時等號成立; ≥≥, 當且僅當a=c時等號成立. 三個不等式相加即得++≥++, 當且僅當a=b=c時等號成立. 變式遷移2 證明 x是正實數(shù),由基本不等式知, x+1≥2,1+x2≥2x,x3+1≥2, 故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥22x2=8x3 (當且僅當x=1時等號成立). 例3 解題導引 當要證的不等式較復雜,已知條件信息量太少,已知與

16、待證間的聯(lián)系不明顯時,一般可采用分析法.分析法是步步尋求不等式成立的充分條件,而實際操作時往往是先從要證的不等式出發(fā),尋找使不等式成立的必要條件,再考慮這個必要條件是否充分,這種“逆求”過程能培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力,也是分析問題、解決問題時常用的思考方法. 證明 欲證<-<, 只需證<<.∵a>b>0, ∴只需證<<, 即<1<.欲證<1, 只需證+<2,即<.該式顯然成立. 欲證1<, 只需證2<+,即<.該式顯然成立. ∴<1<成立,且以上各步均可逆. ∴<-<成立. 變式遷移3 證明 要證 -≥a+-2, 只需證 +2≥a++, ∵a>0,∴只需證2≥2, 從而

17、只要證2 ≥, 只要證4≥2, 即a2+≥2,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立. 例4 解題導引 用數(shù)學歸納法證明不等式,推導n=k+1也成立時,證明不等式的常用方法,如比較法、分析法、綜合法均要靈活運用.在證明過程中,常常利用不等式的傳遞性對式子放縮,建立關(guān)系. 證明 (1)當n=2時,>0,不等式成立. (2)假設(shè)n=k(k≥2)時,原不等式成立. 即++++…+>, 則當n=k+1時,左邊=+++…++++…+>+++…+>+++…+=+==. ∴當n=k+1時,原不等式成立. 由(1)(2)知,原不等式對n≥2的所有的自然數(shù)都成立, 即+++…+>(n≥2).

18、 變式遷移4 證明 (1)當n=1時,顯然命題成立. (2)假設(shè)n=k(k∈N*)時,原不等式成立. 即 解析 ∵-==>0, ∴>. 2.1 解析 只有a2+≥2>1. 3.④ 解析 取a=b=1,顯然有=444=16>1, ∴48>84,①不成立; ∵=ab=a-b, 當a

19、a3-a2+a-1=(a-1)(a2+1), 當a<1時,③不成立; ∵(+)2=7+2,2=(2+)2=7+2, ∴+<,又m2 5.P,所以(1)(3)錯誤. 由放縮法易知必介于a,b之間,所以說法(2

20、)正確. 又<=,所以說法(4)正確. 7.(1,) 解析 ∵a3-b3=a2-b2(a≠b), ∴a2+ab+b2=a+b,∴(a+b)2-ab=a+b, ∴ab=(a+b)2-(a+b),又∵0

21、9.證明 3a3+2b3-(3a2b+2ab2) =3a2(a-b)+2b2(b-a) =(3a2-2b2)(a-b).(8分) 因為a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,(10分) 從而(3a2-2b2)(a-b)≥0, 即3a3+2b3≥3a2b+2ab2.(12分) 10.證明 因為x,y,z均為正數(shù), 所以+=≥,(3分) 同理可得+≥,+≥,(6分) 當且僅當x=y(tǒng)=z時,以上三式等號都成立,將上述三個不等式兩邊分別相加,并除以2, 得++≥++.(12分) 11.證明 (1)當n=1時,>1,命題成立.(2分) (2)假設(shè)n=k時命題成立,即++…+>.則當n=k+1時, ++…++>+>+(k+1)=, 即當n=k+1時不等式也成立.(10分) 綜合(1)(2),得對一切正整數(shù)n,不等式都成立.(12分)

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