高考數(shù)學理一輪資源庫 選修系列學案73坐標系與參數(shù)方程

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1、 精品資料 學案73 坐標系與參數(shù)方程 導學目標: 1.了解坐標系的有關概念,理解簡單圖形的極坐標方程.2.會進行極坐標方程與直角坐標方程的互化.3.理解直線、圓及橢圓的參數(shù)方程,會進行參數(shù)方程與普通方程的互化,并能進行簡單應用. 自主梳理 1.極坐標系的概念 在平面上取一個定點O,叫做極點;自極點O引一條射線Ox,叫做________;再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個____________. 設M是平面上任一點,極點O與點M的距離OM叫做點M的______

2、__,記為ρ;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫做點M的________,記為θ.有序數(shù)對(ρ,θ)叫做點M的__________,記作(ρ,θ). 2.極坐標和直角坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,設M是平面內任意一點,它的直角坐標是(x,y),極坐標為(ρ,θ),則它們之間的關系為x=__________,y=__________.另一種關系為:ρ2=__________,tan θ=______________. 3.簡單曲線的極坐標方程 (1)一般地,如果一條曲線上任意一點都有一個極坐標適合方程φ(ρ,θ)

3、=0,并且坐標適合方程φ(ρ,θ)=0的點都在曲線上,那么方程φ(ρ,θ)=0叫做曲線的________________________________________________________________________. (2)常見曲線的極坐標方程 ①圓的極坐標方程 ____________表示圓心在(r,0)半徑為|r|的圓; ____________表示圓心在(r,)半徑為|r|的圓; ________表示圓心在極點,半徑為|r|的圓. ②直線的極坐標方程 ________________表示過極點且與極軸成α角的直線; __________表示過(a,0)且

4、垂直于極軸的直線; __________表示過(b,)且平行于極軸的直線; ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)表示過(ρ0,θ0)且與極軸成α角的直線方程. 4.常見曲線的參數(shù)方程 (1)直線的參數(shù)方程 若直線過(x0,y0),α為直線的傾斜角,則直線的參數(shù)方程為這是直線的參數(shù)方程,其中參數(shù)l有明顯的幾何意義. (2)圓的參數(shù)方程 若圓心在點M(a,b),半徑為R,則圓的參數(shù)方程為0≤α<2π. (3)橢圓的參數(shù)方程 中心在坐標原點的橢圓+=1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)). (4)拋物線的參數(shù)方程 拋物線y2=2px(p>0)的參數(shù)方程為 自我檢測 1.(教材改編

5、題)點M的直角坐標為(-,-1),則它的極坐標為________. 2.(原創(chuàng)題)在極坐標系中,點(ρ,θ)與(-ρ,π+θ)的位置關系為________. 3.(2011陜西)在直角坐標系xOy中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,設點A,B分別在曲線C1:(θ為參數(shù))和曲線C2:ρ=1上,則|AB|的最小值為________. 4.(2011廣州一模)在極坐標中,直線ρsin(θ+)=2被圓ρ=4截得的弦長為________. 5.(2010陜西)已知圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρsin θ=1,則直線l

6、與圓C的交點的直角坐標為________________. 探究點一 求曲線的極坐標方程 例1 在極坐標系中,以(,)為圓心,為半徑的圓的方程為________. 變式遷移1 如圖,求經(jīng)過點A(a,0)(a>0),且與極軸垂直的直線l的極坐標方程. 探究點二 極坐標方程與直角坐標方程的互化 例2 (2009遼寧)在直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸正半軸為極軸建立坐標系.曲線C的極坐標方程為ρcos=1,M、N分別為C與x軸,y軸的交點. (1)寫出C的直角坐標方程,并求M、N的極坐標; (2)設MN的中點為P,求直線

7、OP的極坐標方程. 變式遷移2 (2010東北三校第一次聯(lián)考)在極坐標系下,已知圓O:ρ=cos θ+sin θ和直線l:ρsin(θ-)=, (1)求圓O和直線l的直角坐標方程; (2)當θ∈(0,π)時,求直線l與圓O公共點的一個極坐標. 探究點三 參數(shù)方程與普通方程的互化 例3 將下列參數(shù)方程化為普通方程: (1); (2); (3). 變式遷移3 化下列參數(shù)方程為普通方程,并作出曲線的草圖. (1)(θ為參數(shù)); (2) (t為參數(shù)).

8、 探究點四 參數(shù)方程與極坐標的綜合應用 例4 求圓ρ=3cos θ被直線(t是參數(shù))截得的弦長. 變式遷移4 (2011課標全國)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)) M是C1上的動點,P點滿足=2,P點的軌跡為曲線C2. (1)求C2的方程; (2)在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線θ=與C1的異于極點的交點為A,與C2的異于極點的交點為B,求|AB|. 本節(jié)內容要注意以下兩點:一、簡單曲線的極坐標方程可結合極坐標系中ρ和θ

9、的具體含義求出,也可利用極坐標方程與直角坐標方程的互化得出.同直角坐標方程一樣,由于建系的不同,曲線的極坐標方程也會不同.在沒有充分理解極坐標的前提下,可先化成直角坐標解決問題.二、在普通方程中,有些F(x,y)=0不易得到,這時可借助于一個中間變量(即參數(shù))來找到變量x,y之間的關系.同時,在直角坐標系中,很多比較復雜的計算(如圓錐曲線),若借助于參數(shù)方程來解決,將會大大簡化計算量.將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關鍵是消去其中的參數(shù),此時要注意其中的x,y(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍,也即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性.參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧有:代入消元

10、、加減消元、平方后相加減消元等.同極坐標方程一樣,在沒有充分理解參數(shù)方程的前提下,可先化成直角坐標方程再去解決相關問題. (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.直角(t為參數(shù))恒過定點________. 2.點M(5,)為極坐標系中的一點,給出如下各點的坐標: ①(-5,-);②(5,);③(-5,);④(-5,-). 其中可以作為點M關于極點的對稱點的坐標的是______(填序號). 3.在極坐標系中,若點A,B的坐標分別為(3,),(4,-),則AB=________,S△AOB=________.(其中O是極點) 4.(2011廣東)已知兩

11、曲線參數(shù)方程分別為(0≤θ<π)和(t∈R),它們的交點坐標為________. 5.(2011天津)已知拋物線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點,且與圓(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,則r=________. 6.(2010廣東韶關一模)在極坐標系中,圓心在(,π)且過極點的圓的方程為________. 7.(2009安徽)以直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線的極坐標方程為θ=(ρ∈R),它與曲線(α為參數(shù))相交于兩點A和B,則AB=________. 8.(2010廣東深圳高級中學一模)在直角坐

12、標系中圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),若以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標系,則圓C的極坐標方程為________. 二、解答題(共42分) 9.(14分)⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ. (1)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程; (2)求經(jīng)過⊙O1,⊙O2交點的直線的直角坐標方程. 10.(14分)(2011江蘇,21C)在平面直角坐標系xOy中,求過橢圓(φ為參數(shù))的右焦點,且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程.

13、 11.(14分)(2010福建)在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=2sin θ. (1)求圓C的直角坐標方程; (2)設圓C與直線l交于點A,B.若點P的坐標為(3,),求PA+PB. 學案73 坐標系與參數(shù)方程 答案 自主梳理 1.極軸 極坐標系 極徑 極角 極坐標 2.ρcos θ ρsin θ x2+y2 (x≠0) 3.(1)極坐標方程 (2)①ρ=2rcos θ ρ=2rsin θ ρ=r?、讦龋?/p>

14、α(ρ∈R) ρcos θ=a ρsin θ=b 自我檢測 1.(2,π)(答案不唯一) 2.重合 3.3 解析 ∵C1:(x-3)2+(y-4)2=1,C2:x2+y2=1, ∴兩圓心之間的距離為d==5. ∵A∈曲線C1,B∈曲線C2,∴|AB|min=5-2=3. 4.4 解析 直線ρsin(θ+)=2可化為x+y-2=0,圓ρ=4可化為x2+y2=16, 由圓中的弦長公式得2=2 =4. 5.(-1,1),(1,1) 解析 ∵y=ρsin θ, ∴直線l的直角坐標方程為y=1. 由得x2+(y-1)2=1. 由得或 ∴直線l與圓C的交點的直角坐標為(-

15、1,1)和(1,1). 課堂活動區(qū) 例1 解題導引 求曲線的極坐標方程的步驟:①建立適當?shù)臉O坐標系,設P(ρ,θ)是曲線上任意一點;②由曲線上的點所適合的條件,列出曲線上任意一點的極徑ρ和極角θ之間的關系式;③將列出的關系式進行整理、化簡,得出曲線上的極坐標方程;④證明所得方程就是曲線的極坐標方程,若方程的推導過程正確,化簡過程都是同解變形,這一證明可以省略. 答案 ρ=asin θ,0≤θ<π 解析 圓的直徑為a,設圓心為C,在圓上任取一點A(ρ,θ), 則∠AOC=-θ或θ-,即∠AOC=|θ-|. 又ρ=acos∠AOC=acos|θ-|=asin θ. ∴圓的方程是ρ

16、=asin θ,0≤θ<π. 變式遷移1 解 設P(ρ,θ)是直線l上任意一點,OPcos θ=OA,即ρcos θ=a, 故所求直線的極坐標方程為ρcos θ=a. 例2 解題導引 直角坐標方程化為極坐標方程比較容易,只要運用公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化簡即可;而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些,解此類問題常通過變形,構造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,進行整體代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法.但對方程進行變形時,方程必須同解,因此應注意對變形過程的檢驗. 解 (1)由ρcos=1得ρ=1. 從而C的直

17、角坐標方程為x+y=1, 即x+y=2,當θ=0時,ρ=2,所以M(2,0). 當θ=時,ρ=,所以N. (2)M點的直角坐標為(2,0). N點的直角坐標為(0,). 所以P點的直角坐標為, 則P點的極坐標為, 所以直線OP的極坐標方程為θ=,ρ∈(-∞,+∞). 變式遷移2 解 (1)圓O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圓O的直角坐標方程為x2+y2=x+y, 即x2+y2-x-y=0. 直線l:ρsin(θ-)=,即ρsin θ-ρcos θ=1, 則直線l的直角坐標方程為y-x=1, 即x-y+1=0. (2)由得 故直

18、線l與圓O公共點的一個極坐標為(1,). 例3 解題導引 參數(shù)方程通過消去參數(shù)化為普通方程.對于(1)直接消去參數(shù)k有困難,可通過兩式相除,先降低k的次數(shù),再運用代入法消去k;對于(2)可運用恒等式(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ消去θ;對于(3)可運用恒等式()2+()2=1消去t. 另外,參數(shù)方程化為普通方程時,不僅要消去參數(shù),還應注意普通方程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致. 解 (1)兩式相除,得k=.將k=代入, 得x=. 化簡,得所求的普通方程是4x2+y2-6y=0(y≠6). (2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ

19、), 得y2=2-x. 又x=1-sin 2θ∈[0,2], 得所求的普通方程是y2=2-x,x∈[0,2]. (3)由()2+()2=1, 得x2+4y2=1.又x=≠-1, 得所求的普通方程是x2+4y2=1(x≠-1). 變式遷移3 解 (1)由y2=(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=1+2x,得y2=2x+1. ∵-≤sin 2θ≤,∴-≤x≤. ∵-≤sin θ+cos θ≤,∴-≤y≤. 故所求普通方程為 y2=2 (-≤x≤,-≤y≤),圖形為拋物線的一部分. 圖形如圖甲所示. (2)由x2+y2=2+2=1及x=≠0,xy=≥0知,所求軌

20、跡為兩段圓弧x2+y2=1 (0

21、為ρ=8sin θ. 射線θ=與C1的交點A的極徑為ρ1=4sin, 射線θ=與C2的交點B的極徑為ρ2=8sin. 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2. 課后練習區(qū) 1.(3,-1) 解析 由題知,x-3=(y+1),∴恒過定點(3,-1). 2.②③ 3.5 6 解析 ∵∠AOB=,∴∠AOB為直角三角形. ∴AB==5,S△AOB=34=6. 4.(1,) 解析 將兩曲線的參數(shù)方程化為一般方程分別為+y2=1(0≤y≤1,-

22、 即x-y-2=0.因為直線y=x-2與圓(x-4)2+y2=r2相切,由題意得r==. 6.ρ=-2cos θ 解析 如圖,O為極點,OB為直徑,A(ρ,θ),則∠ABO=θ-90, OB=2=, 化簡得ρ=-2cos θ. 7. 解析 直線的極坐標方程為θ=(且ρ∈R),故其直角坐標系下對應的方程為y=x,參數(shù)方程為(α為參數(shù))的直角坐標系下對應的方程為(x-1)2+(y-2)2=4. 圓心(1,2)到直線y=x的距離為.又半徑為2, 故弦長為2=. 8.ρ=4sin θ 解析 由參數(shù)方程消去α得圓C的方程為x2+(y-2)2=4,將x=ρcos θ,y=ρsin

23、θ代入得(ρcos θ)2+(ρsin θ-2)2=4,整理得ρ=4sin θ. 9.解 以極點為原點,極軸為x軸正半軸,建立平面直角坐標系,兩坐標系中取相同的長度單位.(1分) (1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ 得ρ2=4ρcosθ,所以x2+y2=4x. 即x2+y2-4x=0為⊙O1的直角坐標系方程,(4分) 同理x2+y2+4y=0為⊙O2的直角坐標系方程.(7分) (2)由解得 (11分) 即⊙O1,⊙O2交于點(0,0)和(2,-2),過交點的直線的直角坐標系方程為y=-x.(14分) 10.解 由題設知,橢圓的長半軸長a=5,短半軸長b=3,

24、從而c==4,所以右焦點為(4,0).將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程:x-2y+2=0.(6分) 故所求直線的斜率為,因此其方程為y=(x-4),(8分) 即x-2y-4=0.(14分) 11.解 方法一 (1)ρ=2sin θ,得x2+y2-2y=0, 即x2+(y-)2=5.(6分) (2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程,得 (3-t)2+(t)2=5,即t2-3t+4=0.(8分) 由于Δ=(3)2-44=2>0,故可設t1,t2是上述方程的兩實根,所以(10分) 又直線l過點P(3,), 故由上式及t的幾何意義得PA+PB=|t1|+|t2|=t1+t2=3. (14分) 方法二 (1)同方法一. (6分) (2)因為圓C的圓心為點(0,),半徑r=,直線l的普通方程為y=-x+3+. 由得x2-3x+2=0. 解得或 (10分) 不妨設A(1,2+),B(2,1+),又點P的坐標為(3,), 故PA+PB=+=3. (14分)

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