新課標(biāo)高三數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí) 第11篇 證明學(xué)案 理

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1、 第五課時 證明 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。 2.了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)． 3.會用分析法，綜合法，反證法證明簡單的命題。 4.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。 基礎(chǔ)知識梳理 一、直接證明 直接從原命題的條件逐步推得結(jié)論成立，這種證明方法叫直接證明．直接證明有兩種基本方法——綜合法和分析法． 1．綜合法：是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法，它是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的________，最后推

2、導(dǎo)出所要證明的結(jié)論________的證明方法． 2．分析法：是從_______________出發(fā)，逐步尋求使每一步結(jié)論成立的________，直到最后把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定義、公理、定理等)為止的證明方法． 二、間接證明 間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法． 1．反證法的定義：一般地，假設(shè)原命題的結(jié)論________，經(jīng)過正確的推理，最后得出________，由此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的方法叫反證法． 2．用反證法證明的一般步驟：(1)反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立；(2)歸謬——根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推

3、理，直到推出矛盾為止；(3)結(jié)論——斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立． 三、數(shù)學(xué)歸納法 一般的，證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： （1）歸納奠基：驗(yàn)證當(dāng)取第一個值時結(jié)論成立；（2）歸納遞推：假設(shè)當(dāng)（且時結(jié)論成立，推出時結(jié)論也成立。只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有自然數(shù)都成立，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。 預(yù)習(xí)自測 1.用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程有有理根，那么中至少有一個偶數(shù)，下列假設(shè)中正確的是（ ） A.假設(shè)都是偶數(shù) B. 假設(shè)都不是偶數(shù) C. 假設(shè)至多有一個偶數(shù) D. 假設(shè)至多有兩個

4、偶數(shù) 2.（教材改編題）用反證法證明命題：“可被5整除，那么中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（ ） A．都能被5整除 B．都不能被5整除 C．不都能被5整除 D．不能被5整除 3.若，則下列不等式中成立的是（ ） A． B. C． D． 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明: 第一步應(yīng)驗(yàn)證左式是_______ _______， 右式是___________________. 課堂探究案 典型例題 考點(diǎn)一 綜合法 【典例1】對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果同時滿足以下三條： （1）對任意的，總有； （2）； （3）若，都有成立， 則稱

5、函數(shù)為理想函數(shù)，（）是否為理想函數(shù)，如果是，請予證明；如果不是，請說明理由。 【變式1】 本例中條件不變，問題變?yōu)椤叭艉瘮?shù)為理想函數(shù)，求”. 考點(diǎn)二 分析法 【典例2】 已知非零向量，且，求證： 【變式2】已知求證： 考點(diǎn)三 反證法 【典例3】已知數(shù)列滿足：，其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù)，對任意實(shí)數(shù). 證明：數(shù)列不是等比數(shù)列。 考點(diǎn)四 數(shù)學(xué)歸納法 【典例4】由下列不等式：，，，你能得到一個怎樣的一般不等式?并加以證明。 課后拓展案 A組全員必做題 1.命題“對于任意角cossincos”的證明如下:“sinsincos2.”該過程用了( )

6、 A.分析法 B.綜合法 C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證明法 2.要證:只要證明( ) A. B. C. D. 3.設(shè)則( ) A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一個不大于-2 D.至少有一個不小于-2 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明”當(dāng)n為正奇數(shù)時能被x+y整除”的第二步是( ) A.假設(shè)n=2k+1時正確,再推n=2k+3時正確(其中) B.假設(shè)n=2k-1時正確,再推n=2k+1時正確(其中) C.假設(shè)n=k時正確,再推n=k+1時正確(其中) D.假設(shè)時正確,再推n=k+2時正確(其中)

7、 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)(n+1)(n+2)……時,從”k到k+1”左邊需增乘的代數(shù)式是( ) A.2k+1 B. C.2(2k+1) D. 6.要證明可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的是( ) A.綜合法 B.分析法 C.反證法 D.歸納法 B組提高選做題 1.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60”時,假設(shè)正確的是( ) A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60 B.假設(shè)三內(nèi)角都大于60 C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60 D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60 2.已知…則(

8、 ) A.f(n)中共有n項,當(dāng)n=2時 B.f(n)中共有n+1項,當(dāng)n=2時 C.f(n)中共有項,當(dāng)n=2時 D.f(n)中共有項,當(dāng)n=2時 3．設(shè)a＝＋2，b＝2＋，則a，b的大小關(guān)系為________． 4.用反證法證明命題“如果a>b,那么”時,假設(shè)的內(nèi)容是 . 參考答案 預(yù)習(xí)自測 1.B 2.B 3.C 4.； 典型例題 【典例1】解：為理想函數(shù)．下面證明： （1）∵，∴，故，即． （2）． （3）若，，． 則，． 故 ． ∵，， ∴． 由（1）（2）（3）可知為理想函數(shù)． 【變式1】解：令

9、，則，∴． 又，∴． 【典例2】證明：∵，∴． 要證， 只需證， 只需證， ∴， 即， ∵上式成立， ∴原不等式得證． 【變式2】證明：要證明， 只需證， 只需證， 只需證， ∵， ∴成立． ∴原不等式成立． 【典例3】證明：， ， ． 假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則． ∴， 得，顯然不成立． ∴假設(shè)錯誤， 故數(shù)列不是等比數(shù)列． 【典例4】解：猜測：． 下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)時，成立； ②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即． 則時， ． 即時不等式成立． 由①②知，原結(jié)論成立． A組全員必做題 1.B 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B B組提高選做題 1.B 2.D 3. 4.假設(shè).