全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題12 空間中的平行與垂直含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 【走向高考】（全國通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題12 空間中的平行與垂直 一、選擇題 1．(20xx銀川市質(zhì)檢)若α，β是兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　B [解析]　若α⊥β，m?α，則m與β平行、相交或m?β都有可能，所以充分性不成立；若m⊥β，m?α，則α⊥β，必要性成立，故選B. [方法點(diǎn)撥]　應(yīng)用線面

2、、面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理時，必須按照定理的要求找足條件． 2．(20xx東北三校二模)已知a，b，m，n是四條不同的直線，其中a、b是異面直線，則下列命題正確的個數(shù)為(　　) ①若m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，則m∥n； ②若m∥a，n∥b，則m，n是異面直線； ③若m與a，b都相交，n與a，b都相交，則m，n是異面直線． A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　B [解析]　對于①，過直線a上一點(diǎn)O作直線a1∥b，則直線a，a1確定平面α，因?yàn)閙⊥a，m⊥a1，所以m⊥α，同理n⊥α，因此m∥n，①正確；對于②，m，n也可能相交，②錯誤；對于③，在直線a上取點(diǎn)

3、A，過A作直線m、n與b相交，滿足③的條件，因此m，n可能相交，③錯誤．綜上所述，其中正確的命題的個數(shù)是1，故選B. 3．(文)設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，若已知m⊥n，m⊥α，則“n⊥β”是“α⊥β”的(　　) A．充分非必要條件　　　B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　A ?α⊥β. ?/ n⊥β. (理)已知m、n為兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是(　　) A．m∥n，m⊥α?n⊥α B．α∥β，m?α，n?β?m∥n C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．m?α，n?α，m∥β，n∥β?

4、α∥β [答案]　A [解析]　由線面垂直的性質(zhì)定理知A正確；如圖1知，當(dāng)m1?β，m1∩n＝A時滿足B的條件，但m與n不平行；當(dāng)m⊥α，m⊥n時，可能有n?α；如圖2知，m∥n∥l，α∩β＝l時滿足D的條件，由此知D錯誤． 4．(20xx遼寧理，4)已知m、n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是(　　) A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，n?α，則m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α [答案]　B [分析]　本題考查空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系．依據(jù)線面位置關(guān)系的定義及判定性質(zhì)定理求解． [解析]　對于A，m∥α，n

5、∥α，則m、n的關(guān)系是平行，相交，異面，故A不正確； 對于B，由直線與平面垂直的定義知正確； 對于C，n可能在平面α內(nèi)； 對于D，n?α，n與α斜交，n⊥α，n∥α都有可能． [點(diǎn)評]　這類題目常借助于多面體(如正方體)進(jìn)行判斷，實(shí)際解答時只要能確定選項(xiàng)即可，不必逐一判斷． [方法點(diǎn)撥]　解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全移植到立體幾何中． 5．(文)(20xx太原市一模)已知某空間幾

6、何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　 由三視圖知，該幾何體是如圖所示的四棱錐P－ABCD，其中底面ABCD是正方形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD，故其體積V＝22＝. (理)(20xx安徽文，9)一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是(　　) A．1＋ B．1＋2 C．2＋ D．2 [答案]　C [解析]　考查1.幾何體的三視圖；2.錐體的體積公式． 由該幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如下圖所示： 其中側(cè)面PAC⊥底面ABC，且△PAC≌△BAC，由三視

7、圖中所給數(shù)據(jù)可知：PA＝PC＝AB＝BC＝，取AC中點(diǎn)O，連接PO，BO，則Rt△POB中，PO＝BO＝1?PB＝，∴S＝()2＋(21)2＝2＋，故選C. 6．(文)(20xx廣東理，8)若空間中n個不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值(　　) A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5 [答案]　B [解析]　n＝4時為正四面體，正四面體的四個頂點(diǎn)是兩兩距離相等的；n＝5時為四棱錐，側(cè)面為正三角形，底面為菱形，且對角線長與邊長應(yīng)相等，這不可能．因此空間中n個不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值至多等于4，故選B. (理)(20xx海淀區(qū)期末)若空間中有n(n

8、≥5)個點(diǎn)，滿足任意四點(diǎn)都不共面，且任意兩點(diǎn)的連線都與其余任意三點(diǎn)確定的平面垂直，則這樣的n值(　　) A．不存在 B．有無數(shù)個 C．等于5 D．最大值為8 [答案]　C [解析]　當(dāng)五點(diǎn)為正四面體的四個頂點(diǎn)和對稱中心時，符合任意四點(diǎn)都不共面和任意兩點(diǎn)的連線都與其余三點(diǎn)的連線所確定的平面垂直的條件，假設(shè)當(dāng)n≥6時也滿足題意，不妨設(shè)其中的6個點(diǎn)為A，B，C，D，E，F(xiàn)，則AB⊥平面CDE，AB⊥平面CDF，又因?yàn)槠矫鍯DF∩平面CDE＝CD，所以平面CDF與平面CDE重合，C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，與題意相矛盾，所以n＝5，故選C. 7．(文)設(shè)m、n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面

9、，有以下四個命題： ①?β∥γ　　　　?、?m⊥β ③?α⊥β ④?m∥α 其中，真命題是(　　) A．①④　　　 B．②③　　　 C．①③　　　 D．②④ [答案]　C [解析]?、僬_，平行于同一個平面的兩個平面平行；②錯誤，由線面平行、垂直定理知：m不一定垂直于β；③正確，由線面平行，垂直關(guān)系判斷正確；④錯誤，m也可能在α內(nèi)．綜上所述，正確的命題是①③，故選C. (理)已知A、B是兩個不同的點(diǎn)，m、n是兩條不重合的直線，α、β是兩個不重合的平面，給出下列4個命題：①若m∩n＝A，A∈α，B∈m，則B∈α；②若m?α，A∈m，則A∈α；③若m?α，m⊥β，則α⊥β；④若m

10、?α，n?β，m∥n，則α∥β，其中真命題為(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ [答案]　C [解析]?、凇適?α，∴m上的點(diǎn)都在平面α內(nèi)，又A∈m，∴A∈α，∴②對；由二面垂直的判定定理知，③正確． 8．(文)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)，且PA1＝A1E，則點(diǎn)P運(yùn)動形成的圖形是(　　) A．線段 B．圓弧 C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分 [答案]　B [解析]　|AP|＝＝＝|B1E|(定值)，故點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動形成的圖形是圓弧． (理)正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為CC

11、1的中點(diǎn)，P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動，且滿足∠DPD1＝∠CPM，則點(diǎn)P的軌跡為(　　) A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分 [答案]　A [解析]　由∠DPD1＝∠CPM得＝＝， ∴＝2，在平面ABCD內(nèi)，以D為原點(diǎn)，DA、DC分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝1，P(x，y)， ∵PD＝2PC，∴＝2，整理得x2＋(y－)2＝，所以，軌跡為圓的一部分，故選A. 9．(文)已知α、β是兩個不同的平面，m、n是兩條不重合的直線，下列命題中正確的是(　　) A．若m∥α，α∩β＝n，則m∥n B．若m⊥α，m⊥n，則n∥α C．

12、若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β [答案]　C [解析]　對于選項(xiàng)A，m，n有可能平行也有可能異面；對于選項(xiàng)B，n有可能在平面α內(nèi)，所以n與平面α不一定平行；對于選項(xiàng)D，m與β的位置關(guān)系可能是m?β，m∥β，也可能m與β相交．由n⊥β，α⊥β得，n∥α或n?α，又m⊥α，∴m⊥n，故C正確． (理)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中(　　) A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直 B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直 C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂

13、直 D．對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直 [答案]　B [解析]?、龠^A、C作BD的垂線AE、CF，∵AB與BC不相等，∴E與F不重合，在空間圖(2)中，若AC⊥BD，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，這樣在平面BCD內(nèi)，過點(diǎn)C有兩條直線CE、CF都與BD垂直矛盾，∴A錯；②若AB⊥CD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，∵ABAB，這樣的△ABC不存在，∴C錯

14、誤． 10．(文)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，CC1＝2，E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為(　　) A．2　　　　　　　　　 B. C. D．1 [答案]　D [解析]　本題考查了正四棱柱的性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離的求解．連接AC、BD，AC∩BD＝O，連接EO，則EO∥AC1.則點(diǎn)C到平面BDE的距離等于AC1到平面BDE的距離，過C作CH⊥OE于H，CH為所求．在△EOC中，EC＝，CO＝，所以CH＝1.本題解答體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，注意等積法的使用． (理)已知四棱錐P－ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，點(diǎn)E是側(cè)棱PB的中點(diǎn)，則異面直線

15、AE與PD所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，∵棱錐的各棱長都相等， ∴O為BD中點(diǎn)，∴EO∥PD，∴∠AEO為異面直線AE與PD所成的角，設(shè)棱長為1，則AO＝，EO＝，AE＝，∵AO2＋EO2＝AE2，∴cos∠AEO＝＝. 二、填空題 11．a(chǎn)、b表示直線，α、β、γ表示平面． ①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，則α⊥β； ②若a?α，a垂直于β內(nèi)任意一條直線，則α⊥β； ③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a⊥b； ④若a不垂直于平面α，則a不可能垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線； ⑤若l?α，m?

16、α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，則α∥β. 其中為真命題的是__________． [答案]　②⑤ [解析]　對①可舉反例如圖，需b⊥β才能推出α⊥β.對③可舉反例說明，當(dāng)γ不與α，β的交線垂直時，即可得到a，b不垂直；④對a只需垂直于α內(nèi)一條直線便可以垂直α內(nèi)無數(shù)條與之平行的直線．所以只有②⑤是正確的． 12．(文)已知三棱柱ABC－A1B1C1底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，且該三棱柱的外接球表面積為12π，則該三棱柱的體積為________． [答案]　3 [解析]　4πR2＝12π，∴R＝，△ABC外接圓半徑r＝，∴柱高h(yuǎn)＝2＝2， ∴體積V＝()22＝3. (

17、理)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P是線段A1C1上的動點(diǎn)，則四棱錐P－ABCD的外接球半徑R的取值范圍是______________． [答案]　 [解析]　當(dāng)P為A1C1的中點(diǎn)時，設(shè)球半徑為R，球心到底面ABCD距離為h，則，∴R＝，當(dāng)P與A1(或C1)重合時，外接球就是正方體的外接球，R＝，∴R∈[，]． 三、解答題 13．(文)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為正三角形，M、N、G分別是棱CC1、AB、BC的中點(diǎn)．且CC1＝AC. (1)求證：CN∥平面AMB1； (2)求證：B1M⊥平面AMG. [證明]　(1)如圖取線段AB1的中

18、點(diǎn)P，連接NP、MP， ∵CM綊BB1， NP綊BB1， ∴CM綊NP， ∴四邊形CNPM是平行四邊形． ∴CN∥MP. ∵CN?平面AMB1，MP?平面AMB1， ∴CN∥平面AMB1. (2)∵CC1⊥平面ABC， ∴平面CC1B1B⊥平面ABC， ∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B， ∴B1M⊥AG. ∵CC1⊥平面ABC， 平面A1B1C1∥平面ABC， ∴CC1⊥AC，CC1⊥B1C1， 設(shè)AC＝2a，則CC1＝2a， 在Rt△MCA中，AM＝＝a. 在Rt△B1C1M中，B1M＝＝a. ∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，

19、 ∴AB1＝＝＝2a. ∵AM2＋B1M2＝AB，∴B1M⊥AM. 又∵AG∩AM＝A，∴B1M⊥平面AMG. (理)如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，點(diǎn)N為B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱A1C1上運(yùn)動． (1)試問點(diǎn)P在何處時，AB∥平面PNC，并證明你的結(jié)論； (2)在(1)的條件下，若AA1

20、N?平面PNC，∴AB∥平面PNC. (2)設(shè)AA1＝m，則m<2，∵AB、BC、BB1兩兩垂直， ∴以B為原點(diǎn)，BA、BC，BB1為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0，m)，A1(2,0，m)，C1(0,2，m)， ∴P(1,1，m)，設(shè)平面BCP的法向量n＝(x，y，z)， 則由n＝0，n＝0，解得y＝0，x＝－mz， 令z＝1，則n＝(－m,0,1)，又＝(0,2，－m)， 直線B1C與平面BCP所成角正弦值為， ∴＝，解之得m＝1 ∴n＝(－1,0,1) 易求得平面ABP的法向量n1＝(0，－1,1) cosα＝＝

21、，設(shè)二面角的平面角為θ，則cosθ＝－，∴θ＝120. [方法點(diǎn)撥]　1.要證線面平行，先在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，或找一個經(jīng)過已知直線與已知平面相交的平面，找出交線，證明二線平行． 2．要證線線平行，可考慮公理4或轉(zhuǎn)化為線面平行． 3．要證線面垂直可轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，應(yīng)用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 14．(文)(20xx東北三校二模) 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC為等邊三角形，AB＝4，AA1＝5，點(diǎn)M是BB1的中點(diǎn)． (1)求證：平面A1MC⊥平面AA1C1C； (2)求點(diǎn)A到平面A1MC的距離． [解析]　(1)證明：記AC1與

22、A1C的交點(diǎn)為E.連接ME. ∵直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC為等邊三角形，AB＝4，AA1＝5，點(diǎn)M是BB1的中點(diǎn)， ∴MA1＝MA＝MC1＝MC＝ . 因?yàn)辄c(diǎn)E是AC1、A1C的中點(diǎn)，所以ME⊥A1C且ME⊥AC1， 從而ME⊥平面AA1C1C. 因?yàn)镸E?平面A1MC，所以平面A1MC⊥平面AA1C1C. (2)過點(diǎn)A作AH⊥A1C于點(diǎn)H， 由(1)知平面A1MC⊥平面AA1C1C，平面A1MC∩平面AA1C1C＝A1C， ∴AH⊥平面AA1C1C ∴AH即為點(diǎn)A到平面A1MC的距離． 在△A1AC中，∠A1AC＝90， A1A＝5，AC＝4，∴A

23、1C＝，∴AH＝＝ 即點(diǎn)A到平面A1MC的距離為. (理)(20xx邯鄲市二模)如圖，在等腰梯形CDFE中，A，B分別為底邊DF，CE的中點(diǎn)，AD＝2AB＝2BC＝2，沿AE將△AEF折起，使二面角F－AE－C為直二面角，連接CF，DF. (1)證明：平面ACF⊥平面AEF; (2)求點(diǎn)D到平面ACF的距離． [解析]　在等腰梯形CDFE中，由已知條件可得， CD＝AC＝AE＝EF＝，AF＝AD＝2， 所以，AE2＋EF2＝AF2，∴EF⊥EA；同理可證，DC⊥AC，AE⊥AC； 在四棱錐F－AECD中， ∵二面角F－AE－C為直二面角， ∴平面AEF⊥平面AECD，

24、 ∴EF⊥平面AECD， ∵AC?平面AECD，∴AC⊥EF， 又∵AC⊥AE，∴AC⊥平面AEF，∴平面ACF⊥平面AEF. (2)點(diǎn)D到平面ACF的距離即三棱錐D－ACF的高， 因?yàn)閂D－ACF＝VF－ACD，AB＝BC＝1， 所以AC＝，AF＝2且AC⊥AF， 所以S△ACF＝2＝ 又因?yàn)锳C＝CD＝且AC⊥CD 所以S△ACD＝＝1，EF＝. 所以d＝1，所以d＝1. [方法點(diǎn)撥]　解決與折疊有關(guān)的問題，關(guān)鍵是搞清折疊前后的位置與數(shù)量關(guān)系的變化量與不變量，對比找出平面圖形與折疊后的空間圖形之間的對應(yīng)關(guān)系． 15．(文)(20xx河南省高考適應(yīng)性測試)如圖1所示

25、，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90，CD為∠ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE＝4.如圖2所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB. (1)求證：DE⊥平面BCD； (2)求三棱錐A－BDE的體積． [解析]　(1)在圖1中， ∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90，∴∠ACB＝60. 因?yàn)镃D為∠ACB的平分線，所以∠BCD＝∠ACD＝30， ∴CD＝2 ∵CE＝4，∠DCE＝30，∴DE＝2. 則CD2＋DE2＝EC2，所以∠CDE＝90，DE⊥DC. 又因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，D

26、E?平面ACD， 所以DE⊥平面BCD. (2)在圖2中，作BH⊥CD于H，因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD， BH?平面BCD，所以BH⊥平面ACD. 在圖1中，由條件得BH＝ 所以三棱錐A－BDE的體積 VA－BDE＝VB－ADE＝S△ADEBH＝22sin120＝. (理)(20xx遼寧葫蘆島市一模) 如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上，BF⊥AE，F(xiàn)是垂足． (1)求證：BF⊥AC； (2)若CE＝1，∠CBE＝30，求三棱錐F－BCE的體積． [解析]　(1)證明：∵AB⊥平面BEC，CE?平面BEC，∴AB⊥CE

27、 ∵BC為圓的直徑 ∴BE⊥CE ∵BE?平面ABE，AB?平面ABE，BE∩AB＝B ∴CE⊥平面ABE ∵BF?平面ABE ∴CE⊥BF 又BF⊥AE，且CE∩AE＝E ∴BF⊥平面AEC，AC?平面AEC ∴BF⊥AC. (2)在Rt△BEC中，∵CE＝1，∠CBE＝30，∴BE＝，BC＝2 又∵ABCD為正方形，∴AB＝2，∴AE＝ ∴BF＝＝＝ ∴EF＝＝＝ ∴VF－BCE＝VC－BEF＝S△BEFCE＝EFBFCE ＝1＝. [方法點(diǎn)撥]　線面、線線垂直與平行的位置關(guān)系在面面平行與垂直位置關(guān)系的證明中起著承上啟下的橋梁作用，依據(jù)線面、面面位置關(guān)系的

28、判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決這類問題的關(guān)鍵．證明面面平行主要依據(jù)判定定理，證明面面垂直時，關(guān)鍵是從現(xiàn)有直線中找一條直線與其中一個平面垂直，若圖中不存在這樣的直線應(yīng)借助添加中線、高線等方法解決． 16．(文)(20xx山西太原市一模) 如圖，在底面是正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，D是BC的中點(diǎn)． (1)求證：A1C∥平面AB1D； (2)求點(diǎn)A1到平面AB1D的距離． [解析]　(1)證明：連接A1B，交AB1于點(diǎn)O，連接OD， ∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴ABB1A1是平行四邊形， ∴O是A1B的中點(diǎn)， ∵D是BC的中點(diǎn)，∴OD∥A1

29、C， ∵OD?平面AB1D，A1C?平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D； (2)由(1)知，O是A1B的中點(diǎn)， ∴點(diǎn)A1到平面AB1D的距離等于點(diǎn)B到平面AB1D的距離， ∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴平面BCC1B1⊥平面ABC，B1D＝＝. ∵△ABC是正三角形，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1， ∴AD⊥B1D， 設(shè)點(diǎn)B到平面AB1D的距離為d，∵VB1－ABD＝VB－AB1D， ∴S△ABDBB1＝S△AB1Dd， ∴d＝＝＝＝. ∴點(diǎn)A1到平面AB1D的距離為. (理)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面AB

30、CD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，M是棱PC的中點(diǎn)，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝. (1)求證：PE⊥平面ABCD； (2)求直線BM與平面ABCD所成角的正切值； (3)求直線BM與CD所成角的余弦值． [解析]　(1)∵PA＝PD，E為AD的中點(diǎn)，∴PE⊥AD， 又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD. (2)連接EC，取EC中點(diǎn)H，連接MH，HB， ∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，H是EC的中點(diǎn)，∴MH∥PE， 由(1)知PE⊥平面ABCD，∴MH⊥平面ABCD， ∴HB是BM在平面ABCD內(nèi)的射影， ∴∠MBH即為BM與平面ABCD所成的角． ∵AD∥BC，BC＝AD，E為AD的中點(diǎn)，∠ADC＝90， ∴四邊形BCDE為矩形，又CD＝，∴EC＝2，HB＝EC＝1， 又∵M(jìn)H＝PE＝， ∴△MHB中，tan∠MBH＝＝， ∴直線BM與平面ABCD所成角的正切值為. (3)由(2)知CD∥BE，∴直線BM與CD所成角即為直線BM與BE所成角， 連接ME，在Rt△MHE中，ME＝， 在Rt△MHB中，BM＝， 又BE＝CD＝，∴△MEB中， cos∠MBE＝＝＝， ∴直線BM與CD所成角的余弦值為.