精編高中數(shù)學 第3章 1第1課時 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性課時作業(yè) 北師大版選修22

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1、精編北師大版數(shù)學資料 【成才之路】2015-2016學年高中數(shù)學 第3章 1第1課時 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性課時作業(yè) 北師大版選修2-2 一、選擇題 1.函數(shù)y=xlnx+m的單調(diào)遞增區(qū)間是(  ) A.(,+∞) B.(0,e) C.(0,) D.(,e) [答案] A [解析] 定義域為{x|x>0}, 由y′=lnx+1>0,得x>. 2.函數(shù)f(x)=2x-sinx在(-∞,+∞)上(  ) A.是增函數(shù) B.是減函數(shù) C.在(0,+∞)上增,在(-∞,0)上增 D.在(0,+∞)上減,在(-∞,0)上增 [答案] A [解析] f′(x)=2-cos

2、x>0在(-∞,+∞)上恒成立. 3.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(  ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) [答案] D [解析] f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,當x變化時,f′(x)與f(x)的變化情況如下表: x (-∞,2) (2,+∞) f′(x) - + f(x) 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 由此得,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞),故選D. 4.函數(shù)f(x)=(x+3)e-x的單調(diào)遞增區(qū)間是(  ) A.(-∞,-2) B.(

3、0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) [答案] A [解析] ∵f(x)=(x+3)e-x, ∴f ′(x)=e-x-(x+3)e-x=e-x(-x-2), 由f ′(x)>0得x<-2,∴選A. 5.(2014新課標Ⅱ文,11)若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,則k的取值范圍是(  ) A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞) [答案] D [解析] 由條件知f′(x)=k-≥0在(1,+∞)上恒成立,∴k≥1. 把函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題是解決問題的關(guān)鍵. 二、填空題 6.函數(shù)f(x)=x3-

4、15x2-33x+6的單調(diào)減區(qū)間為________. [答案] (-1,11) [解析] f′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1),令(x-11)(x+1)<0,解得-1

5、x)=x3+x2+mx+1是R上的單調(diào)函數(shù),f′(x)=3x2+2x+m,由題意可知f(x)在R上只能遞增,所以Δ=4-12m≤0,所以m≥. 三、解答題 9.求函數(shù)y=2x3-3x的單調(diào)區(qū)間. [解析] 由題意得y′=6x2-3.令y′=6x2-3>0,解得x<-或x>. 當x∈(-∞,-)時,函數(shù)為增函數(shù);當x∈(,+∞)時,函數(shù)也為增函數(shù). 令y′=6x2-3<0,解得-

6、上單調(diào)遞增,試求a的范圍. [解析] 解法一:(區(qū)間法) f′(x)=x2-ax+a-1,令f′(x)=0,所以x=1或x=a-1. 當a-1≤1,即a≤2時,函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,不合題意. 當a-1>1,即a>2時,f(x)在(-∞,1)和(a-1,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,a-1)上單調(diào)遞減,由題意知:(1,4)?(1,a-1)且(6,+∞)?(a-1,+∞), 所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7. 解法二:(數(shù)形結(jié)合) 如圖所示,f′(x)=(x-1)[x-(a-1)].若在(1,4)內(nèi)f′(x)≤0,(6,+∞)內(nèi)f′(x)≥0,且f′(x)=0有一根為1

7、,則另一根在[4,6]上. 所以即所以5≤a≤7. 解法三:(轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題) f′(x)=x2-ax+a-1.因為f(x)在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立.即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立,所以a≥x+1,因為27,所以a≤7時,f′(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.由題意知5≤a≤7. [點評] 本題是含參數(shù)單調(diào)性問題,是高考的重點和熱點,體現(xiàn)了數(shù)學

8、上的數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想. 一、選擇題 1.函數(shù)y=xcosx-sinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)(  ) A.(,) B.(π,2π) C.(,) D.(2π,3π) [答案] B [解析] y′=-xsinx.當x∈(π,2π)時,y′>0,則函數(shù)y=xcosx-sinx在區(qū)間(π,2π)內(nèi)是增函數(shù). 2.設函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導,y=f(x)的圖象如圖所示,則導函數(shù)y=f′(x)的圖象可能為(  ) [答案] D [解析] 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增,則導函數(shù)y=f′(x)在區(qū)間(-∞,0)上的函數(shù)值為正,排除A、C;原函數(shù)y=f(x)在區(qū)

9、間(0,+∞)上先增再減,最后再增,其導函數(shù)y=f′(x)在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)值先正、再負、再正,排除B.故選D. 3.(2014福建省閩侯二中、永泰二中、連江僑中、長樂二中聯(lián)考)設函數(shù)F(x)=是定義在R上的函數(shù),其中f(x)的導函數(shù)f ′(x)滿足f ′(x)e2f(0),f(2012)>e2012f(0) B.f(2)e2012f(0) C.f(2)e2f(0),f(2012)

10、] ∵函數(shù)F(x)=的導數(shù) F′(x)==<0, ∴函數(shù)F(x)=是定義在R上的減函數(shù), ∴F(2)0時,a≥--恒成立. 令=t,x∈(0,1],∴t≥1. ∴a≥t-4t2-3t3恒成立. 令g(t)=t-4t2-3t3,g′(t)=1-

11、8t-9t2 對稱軸t=-=-, ∴函數(shù)g′(t)在[1,+∞)上減函數(shù) 而且g′(1)=-16<0, ∴g′(t)<0在[1,+∞)上成立. ∴g(t)在[1,+∞)上是減函數(shù), ∴g(t)max=g(1)=-6. 當x<0時,a≤--恒成立 ∵x∈[-2,0),∴t≤-, 令g′(t)=0,∴t=-1, ∴g(t)在(-∞,-1]上為減函數(shù),在(-1,-]上為增函數(shù), ∴g(t)min=g(-1)=-2, ∴-6≤a≤-2. 二、填空題 5.(2014鄭州網(wǎng)校期中聯(lián)考)若f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是減函數(shù),則b的取值范圍是_______

12、_. [答案] b≤-1 [解析] f(x)在(-1,+∞)上為減函數(shù),∴f ′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立,∵f ′(x)=-x+,∴-x+≤0,∵b≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立,∴b≤-1. 6.下圖為函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像,f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù),則不等式xf′(x)<0的解集為__________________. [答案] (-∞,-)∪(0,) [解析] 由f(x)的圖像知,f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上為增函數(shù),在(-,)上為減函數(shù), ∴當x∈(-∞,-)∪(,+∞)時,f′(x)>0; 當x∈(-,)時,f

13、′(x)<0. ∴xf′(x)<0的解集為(-∞,-)∪(0,). 三、解答題 7.設f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6). (1)確定a的值; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. [解析] (1)因f(x)=a(x-5)2+6lnx, 故f ′(x)=2a(x-5)+. 令x=1,得f(1)=16a,f ′(1)=6-8a, 所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-16a=(6-8a)(x-1),由點(0,6)在切線上可得6-16a=8a-6,故a=. (2)由(1)知,f(x

14、)=(x-5)2+6lnx(x>0), f ′(x)=x-5+=. 令f ′(x)=0,解得x1=2,x2=3. 當03時,f ′(x)>0,故f(x)的增區(qū)間為(0,2),(3,+∞);當2

15、=3x2-a, ∵f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)增函數(shù), ∴f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立, 即a≤3x2對x∈R恒成立. ∵3x2≥0,∴只需a≤0, 又a=0時,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函數(shù),∴a≤0. (2)由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立, 得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立. ∵-1

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