2018年高考真題——數(shù)學(xué)（江蘇卷）+Word版含解析【KS5U+高考】

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1、 絕密★啟用前 2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷） 數(shù)學(xué)Ⅰ 注意事項(xiàng) 考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求 1．本試卷共4頁(yè)，均為非選擇題(第1題~第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一片交回。 2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置。 3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符。 4．作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效。 5．如需作圖，須用2B鉛

2、筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗。 參考公式： 錐體的體積，其中是錐體的底面積，是錐體的高． 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上． 1. 已知集合，，那么________． 【答案】{1，8} 【解析】分析：根據(jù)交集定義求結(jié)果. 詳解：由題設(shè)和交集的定義可知：. 點(diǎn)睛：本題考查交集及其運(yùn)算，考查基礎(chǔ)知識(shí)，難度較小. 2. 若復(fù)數(shù)滿足，其中i是虛數(shù)單位，則的實(shí)部為_(kāi)_______． 【答案】2 【解析】分析：先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)實(shí)部概念求結(jié)果. 詳解：因?yàn)椋瑒t，則的實(shí)部為. 點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考

3、查復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛復(fù)數(shù)為. 3. 已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為_(kāi)_______． 【答案】90 【解析】分析：先由莖葉圖得數(shù)據(jù)，再根據(jù)平均數(shù)公式求平均數(shù). 點(diǎn)睛：的平均數(shù)為. 4. 一個(gè)算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的S的值為_(kāi)_______． 【答案】8 【解析】分析：先判斷是否成立，若成立，再計(jì)算，若不成立，結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果.詳解：由偽代碼可得，因?yàn)?，所以結(jié)束循環(huán)，輸出 點(diǎn)睛：本題考查偽代碼，考查考生的讀圖能力，難度較小. 5. 函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__

4、_____． 【答案】[2，+∞） 【解析】分析：根據(jù)偶次根式下被開(kāi)方數(shù)非負(fù)列不等式，解對(duì)數(shù)不等式得函數(shù)定義域. 詳解：要使函數(shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)? 點(diǎn)睛：求給定函數(shù)的定義域往往需轉(zhuǎn)化為解不等式（組）的問(wèn)題. 6. 某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為 ________． 【答案】 【解析】分析：先確定總基本事件數(shù)，再?gòu)闹写_定滿足條件的基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率. 詳解：從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有10種方法，其中恰好選中2名女生的方法有3種，因此所求概率為 點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探

5、求方法 (1)列舉法. (2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹(shù)狀圖法. (3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化. (4)排列組合法（理科）：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目. 7. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的值是________． 【答案】 【解析】分析：由對(duì)稱(chēng)軸得，再根據(jù)限制范圍求結(jié)果. 詳解：由題意可得，所以，因?yàn)?，所? 點(diǎn)睛：函數(shù)（A>0,ω>0）的性質(zhì)：(1)； (2)最小正周期；(3)由求對(duì)稱(chēng)軸；(4)由求增區(qū)間; 由求

6、減區(qū)間. 8. 在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是________． 【答案】2 【解析】分析：先確定雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離，再根據(jù)條件求離心率. 點(diǎn)睛：雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，焦點(diǎn)在漸近線上的射影到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為a. 9. 函數(shù)滿足，且在區(qū)間上， 則的值為 ________． 【答案】 【解析】分析：先根據(jù)函數(shù)周期將自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，代入對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式求值，再代入對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式求結(jié)果. 詳解：由得函數(shù)的周期為4，所以因此 點(diǎn)睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式

7、求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍. 10. 如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】分析：先分析組合體的構(gòu)成，再確定錐體的高，最后利用錐體體積公式求結(jié)果. 詳解：由圖可知，該多面體為兩個(gè)全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長(zhǎng)等于，所以該多面體的體積為 點(diǎn)睛：解決本類(lèi)題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條

8、件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷；求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決． 11. 若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為_(kāi)_______． 【答案】–3 【解析】分析：先結(jié)合三次函數(shù)圖象確定在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的條件，求出參數(shù)a,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得結(jié)果. 詳解：由得，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)且，所以，因此從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以 ， 點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，可利用函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)取值條件．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的

9、走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等． 12. 在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D．若，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______． 【答案】3 【解析】分析：先根據(jù)條件確定圓方程，再利用方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)平面向量的數(shù)量積求結(jié)果. 詳解：設(shè)，則由圓心為中點(diǎn)得易得，與聯(lián)立解得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)所以.所以， 由得或， 因?yàn)椋? 點(diǎn)睛：以向量為載體求相關(guān)變量的取值或范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法. 13. 在中

10、，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為_(kāi)_______． 【答案】9 【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值. 詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，因此 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為. 點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤. 14. 已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則使得成立的n的最小值為_(kāi)_____

11、__． 【答案】27 【解析】分析：先根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式確定滿足條件的項(xiàng)數(shù)的取值范圍，再列不等式求滿足條件的項(xiàng)數(shù)的最小值. 詳解：設(shè)，則 由得 所以只需研究是否有滿足條件的解， 此時(shí) ，，為等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)，且. 由 得滿足條件的最小值為. 點(diǎn)睛：本題采用分組轉(zhuǎn)化法求和，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的和.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型主要有分段型（如），符號(hào)型（如），周期型（如）. 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 15. 在平行六面體中，． 求證：（1）；

12、（2）． 【答案】答案見(jiàn)解析 【解析】分析：（1）先根據(jù)平行六面體得線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論；（2）先根據(jù)條件得菱形ABB1A1，再根據(jù)菱形對(duì)角線相互垂直，以及已知垂直條件，利用線面垂直判定定理得線面垂直，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論. 詳解： 證明：（1）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1． 因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C． （2）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形． 又因?yàn)锳A1=AB，所以四邊形ABB1A1為菱形， 因此AB1⊥A1B． 又因?yàn)锳

13、B1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以AB1⊥BC． 又因?yàn)锳1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC． 因?yàn)锳B1平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC． 點(diǎn)睛：本題可能會(huì)出現(xiàn)對(duì)常見(jiàn)幾何體的結(jié)構(gòu)不熟悉導(dǎo)致幾何體中的位置關(guān)系無(wú)法得到運(yùn)用或者運(yùn)用錯(cuò)誤，如柱體的概念中包含“兩個(gè)底面是全等的多邊形，且對(duì)應(yīng)邊互相平行，側(cè)面都是平行四邊形”，再如菱形對(duì)角線互相垂直的條件，這些條件在解題中都是已知條件，缺少對(duì)這些條件的應(yīng)用可導(dǎo)致無(wú)法證明. 16. 已知為銳角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析

14、】分析：先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，再根據(jù)二倍角余弦公式得結(jié)果；（2）先根據(jù)二倍角正切公式得，再利用兩角差的正切公式得結(jié)果. 詳解：解：（1）因?yàn)椋?，所以? 因?yàn)椋裕? 因此，． （2）因?yàn)闉殇J角，所以． 又因?yàn)?，所以? 因此． 因?yàn)?，所以? 因此，． 點(diǎn)睛：應(yīng)用三角公式解決問(wèn)題的三個(gè)變換角度 (1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”. (2)變名：通過(guò)變換函數(shù)名稱(chēng)達(dá)到減少函數(shù)種類(lèi)的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等. (3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用

15、變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等. 17. 某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓?。≒為此圓弧的中點(diǎn)）和線段MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為，要求均在線段上，均在圓弧上．設(shè)OC與MN所成的角為． （1）用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍； （2）若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為．求當(dāng)為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大． 【答案】（1）矩形ABCD的面積為800（4

16、sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積為 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范圍是[，1）． （2）當(dāng)θ=時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大 【解析】分析：（1）先根據(jù)條件求矩形長(zhǎng)與寬，三角形的底與高，再根據(jù)矩形面積公式以及三角形面積公式得結(jié)果，最后根據(jù)實(shí)際意義確定的取值范圍；（2）根據(jù)條件列函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求極值點(diǎn)，再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值取法. 詳解： 解：（1）連結(jié)PO并延長(zhǎng)交MN于H，則PH⊥MN，所以O(shè)H=10． 過(guò)O作OE⊥BC于E，則OE∥MN，所以∠COE=θ， 故OE=40cosθ，EC=40sinθ， 則矩形ABCD的面

17、積為2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP的面積為×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 過(guò)N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線于G和K，則GK=KN=10． 令∠GOK=θ0，則sinθ0=，θ0∈（0，）． 當(dāng)θ∈[θ0，）時(shí)，才能作出滿足條件的矩形ABCD， 所以sinθ的取值范圍是[，1）． 答：矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積為 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范圍是[，1

18、）． （2）因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3， 設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k（k>0）， 則年總產(chǎn)值為4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）． 設(shè)f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，）， 則． 令，得θ=， 當(dāng)θ∈（θ0，）時(shí)，，所以f（θ）為增函數(shù)； 當(dāng)θ∈（，）時(shí)，，所以f（θ）為減函數(shù)， 因此，當(dāng)θ=時(shí)，f（θ）取到最大值． 答：當(dāng)θ=時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．

19、 點(diǎn)睛：解決實(shí)際應(yīng)用題的步驟一般有兩步：一是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；二是利用數(shù)學(xué)內(nèi)部的知識(shí)解決問(wèn)題. 18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓O的直徑為． （1）求橢圓C及圓O的方程； （2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P． ①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； ②直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)．若的面積為，求直線l的方程． 【答案】（1）橢圓C的方程為；圓O的方程為 （2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②直線l的方程為 【解析】分析：（1）根據(jù)條件易得圓的半徑，即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，解方程組可得a,b，即得橢圓方程；（2）第一問(wèn)先根據(jù)直線與

20、圓相切得一方程，再根據(jù)直線與橢圓相切得另一方程，解方程組可得切點(diǎn)坐標(biāo).第二問(wèn)先根據(jù)三角形面積得三角形底邊邊長(zhǎng)，再結(jié)合①中方程組，利用求根公式以及兩點(diǎn)間距離公式，列方程，解得切點(diǎn)坐標(biāo)，即得直線方程. 詳解：解：（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為， 可設(shè)橢圓C的方程為．又點(diǎn)在橢圓C上， 所以，解得 因此，橢圓C的方程為． 因?yàn)閳AO的直徑為，所以其方程為． （2）①設(shè)直線l與圓O相切于，則， 所以直線l的方程為，即． 由，消去y，得 ．（*） 因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以． 因?yàn)?，所以? 因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為． ②因?yàn)槿切蜲AB的面積為，所以，從而． 設(shè)， 由（

21、*）得， 所以 ． 因?yàn)椋? 所以，即， 解得舍去），則，因此P的坐標(biāo)為． 綜上，直線l的方程為． 點(diǎn)睛：直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題的處理一般有兩種處理方法：一是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用“設(shè)而不求”思想求解；二是設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出交點(diǎn)坐標(biāo)，適用于已知直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的情況. 19. 記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱(chēng)為函數(shù)與的一個(gè)“S點(diǎn)”． （1）證明：函數(shù)與不存在“S點(diǎn)”； （2）若函數(shù)與存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值； （3）已知函數(shù)，．對(duì)任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）a的

22、值為 （3）對(duì)任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點(diǎn)”． 【解析】分析：（1）根據(jù)題中“S點(diǎn)”的定義列兩個(gè)方程，根據(jù)方程組無(wú)解證得結(jié)論；（2）同（1）根據(jù)“S點(diǎn)”的定義列兩個(gè)方程，解方程組可得a的值；（3）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)以及結(jié)合 “S點(diǎn)”的定義列兩個(gè)方程，再判斷方程組是否有解即可證得結(jié)論. 詳解：解：（1）函數(shù)f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，則f′（x）=1，g′（x）=2x+2． 由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得 ，此方程組無(wú)解， 因此，f（x）與g（x）不存在“S”點(diǎn)． （2）函數(shù)，， 則． 設(shè)x

23、0為f（x）與g（x）的“S”點(diǎn)，由f（x0）與g（x0）且f′（x0）與g′（x0），得 ，即，（*） 得，即，則． 當(dāng)時(shí)，滿足方程組（*），即為f（x）與g（x）的“S”點(diǎn)． 因此，a的值為． （3）對(duì)任意a>0，設(shè)． 因?yàn)?，且h（x）的圖象是不間斷的， 所以存在∈（0，1），使得，令，則b>0． 函數(shù)， 則． 由f（x）與g（x）且f′（x）與g′（x），得 ，即（**） 此時(shí)，滿足方程組（**），即是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個(gè)“S點(diǎn)”． 因此，對(duì)任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在

24、“S點(diǎn)”． 點(diǎn)睛：涉及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般先通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路. 20. 設(shè)是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列． （1）設(shè)，若對(duì)均成立，求d的取值范圍； （2）若，證明：存在，使得對(duì)均成立，并求的取值范圍（用表示）． 【答案】（1）d的取值范圍為． （2）d的取值范圍為，證明見(jiàn)解析。 【解析】分析：（1）根據(jù)題意結(jié)合并分別令n=1，2，3，4列出不等式組

25、，即可解得公差d的取值范圍；（2）先根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)條件易得左邊不等式恒成立，再利用數(shù)列單調(diào)性確定右邊單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為最小值問(wèn)題，即得公差d的取值范圍. 詳解：解：（1）由條件知：． 因?yàn)閷?duì)n=1，2，3，4均成立， 即對(duì)n=1，2，3，4均成立， 即11，1d3，32d5，73d9，得． 因此，d的取值范圍為． （2）由條件知：． 若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立， 即， 即當(dāng)時(shí)，d滿足． 因?yàn)?，則， 從而，，對(duì)均成立． 因此，取d=0時(shí)，對(duì)均成立． 下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值（）． ①當(dāng)時(shí)，

26、， 當(dāng)時(shí)，有，從而． 因此，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增， 故數(shù)列的最大值為． ②設(shè)，當(dāng)x>0時(shí)，， 所以單調(diào)遞減，從而<f（0）=1． 當(dāng)時(shí)，， 因此，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減， 故數(shù)列的最小值為． 因此，d的取值范圍為． 點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類(lèi)討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件. 數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題) 【選做題】本題包括四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，

27、并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 21. [選修4—1：幾何證明選講] 如圖，圓O的半徑為2，AB為圓O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)P作圓O的切線，切點(diǎn)為C．若，求 BC 的長(zhǎng)． 【答案】2 【解析】分析：先連圓心與切點(diǎn)得直角三角形，求出PO，即得B為中點(diǎn)，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線長(zhǎng)等于斜邊一半的性質(zhì)得結(jié)果. 詳解：證明：連結(jié)OC．因?yàn)镻C與圓O相切，所以O(shè)C⊥PC． 又因?yàn)镻C=，OC=2， 所以O(shè)P==4． 又因?yàn)镺B=2，從而B(niǎo)為Rt△OCP斜邊的中點(diǎn)，所以BC=2． 點(diǎn)睛：本題考查圓與三角形

28、等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力. 22. [選修4—2：矩陣與變換] 已知矩陣． （1）求的逆矩陣； （2）若點(diǎn)P在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【答案】（1） （2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，–1) 【解析】分析：（1）根據(jù)逆矩陣公式可得結(jié)果；（2）根據(jù)矩陣變換列方程解得P點(diǎn)坐標(biāo). 詳解：（1）因?yàn)?，，所以A可逆， 從而 ． （2）設(shè)P(x，y)，則，所以， 因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，–1)． 點(diǎn)睛：本題考查矩陣的運(yùn)算、線性變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力. 23. [選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為，曲線C的方程為，求直線

29、l被曲線C截得的弦長(zhǎng)． 【答案】直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為 【解析】分析：先根據(jù)直線與圓極坐標(biāo)方程得直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為A（4，0），且OA為直徑.設(shè)直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B，根據(jù)直線傾斜角得∠OAB=．最后根據(jù)直角三角形OBA求弦長(zhǎng). 詳解：因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為， 所以曲線C的圓心為（2，0），直徑為4的圓． 因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為， 則直線l過(guò)A（4，0），傾斜角為， 所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn)． 設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B，則∠OAB=． 連結(jié)OB，因?yàn)镺A為直徑，從而∠OBA=， 所以． 因此，直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為． 點(diǎn)睛：本題考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知

30、識(shí)，考查運(yùn)算求解能力. 24. [選修4—5：不等式選講] 若x，y，z為實(shí)數(shù)，且x+2y+2z=6，求的最小值． 【答案】4 【解析】分析：根據(jù)柯西不等式可得結(jié)果. 詳解：證明：由柯西不等式，得． 因?yàn)?，所以? 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)， 所以的最小值為4． 點(diǎn)睛：本題考查柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力.柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn為實(shí)數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0或存在一個(gè)數(shù)k，使ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立． 【必做題】?jī)深}，每題

31、10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 25. 如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)． （1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值； （2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積求得向量的夾角，再根據(jù)向量夾角與異面直線所成角的關(guān)系得結(jié)果；（2）利用平面的方向量的求法列方程組解得平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與所求向量夾角之間的關(guān)系得結(jié)果. 詳

32、解：如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz． 因?yàn)锳B=AA1=2， 所以． （1）因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以， 從而， 故． 因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為． （2）因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以， 因此，． 設(shè)n=（x，y，z）為平面AQC1的一個(gè)法向量， 則即 不妨取， 設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為， 則， 所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為． 點(diǎn)睛：本題考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用空

33、間向量解決問(wèn)題的能力.利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 26. 設(shè)，對(duì)1，2，···，n的一個(gè)排列，如果當(dāng)s<t時(shí)，有，則稱(chēng)是排列的一個(gè)逆序，排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱(chēng)為其逆序數(shù)．例如：對(duì)1，2，3的一個(gè)排列231，只有兩個(gè)逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2．記為1，2，···，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù)． （1）求的值；

34、 （2）求的表達(dá)式(用n表示)． 【答案】（1）2 5 （2）n≥5時(shí)， 【解析】分析：（1）先根據(jù)定義利用枚舉法確定含三個(gè)元素的集合中逆序數(shù)為2的個(gè)數(shù)，再利用枚舉法確定含四個(gè)元素的集合中逆序數(shù)為2的個(gè)數(shù)；（2）先尋求含n個(gè)元素的集合中逆序數(shù)為2與含n+1個(gè)元素的集合中逆序數(shù)為2的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，再根據(jù)疊加法求得結(jié)果. 詳解：解：（1）記為排列abc的逆序數(shù)，對(duì)1，2，3的所有排列，有 ， 所以． 對(duì)1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數(shù)字4添加進(jìn)去，4在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置． 因此，． （2）對(duì)一般的n（n≥4）的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè)：12…n，所以． 逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置得到的排列，所以． 為計(jì)算，當(dāng)1，2，…，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將n+1添加進(jìn)原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置． 因此，． 當(dāng)n≥5時(shí)， ， 因此，n≥5時(shí)， ． 點(diǎn)睛：探求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法有觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見(jiàn)的數(shù)列)等方法.尋求相鄰項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)有效的方法.