知識(shí)點(diǎn)一 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

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1、真誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正。 1.函數(shù)的單調(diào)性：在某個(gè)區(qū)間（a,b）內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是常數(shù)函數(shù). 注：函數(shù)在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞增，則，是在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件. 2.函數(shù)的極值：曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，并且，曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正． 一般地，當(dāng)函數(shù) 在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，判斷 是極大（?。┲档姆椒ㄊ牵? （1）如果在附近的左側(cè) ，右側(cè)，那么是極大值． （2）如果在附近的左側(cè) ，右側(cè)，那么 是極小值．

2、 注：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) 知識(shí)點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性方法歸納： 在某個(gè)區(qū)間（a,b）內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是常數(shù)函數(shù). 注：函數(shù)在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞增，則，是在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件. 例1】（B類）已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線方程為. （Ⅰ）求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 【解題思路】注意切點(diǎn)既在切線上，又原曲線上.函數(shù)在區(qū)間上遞增可得：；函數(shù)在區(qū)間上遞減可得：. 【例2】（A類）若在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞增，求的取值范圍. 【解題思路

3、】利用函數(shù)在區(qū)間上遞增可得：；函數(shù)在區(qū)間上遞減可得：.得出恒成立的條件,再利用處理不等式恒成立的方法獲解 【例3】（B類）已知函數(shù),,設(shè)． （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若以函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值 【課堂練習(xí)】 1.（B） 已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線恰好與直線垂直. （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； （Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍. 2．（B類）設(shè)函數(shù)，在其圖象上一點(diǎn)P（x，y）處的切線的斜率記為 （1）若方程的表達(dá)式； （2）若的最小值

4、 3.（A類）已知函數(shù) ，．當(dāng) 時(shí)，討論函數(shù) 的單調(diào)性. 例一[解析】（Ⅰ）由的圖象經(jīng)過(guò)，知， 所以. 所以. 由在處的切線方程是， 知，即，. 所以 即 解得. 故所求的解析式是. （Ⅱ）因?yàn)椋? 令，即， 解得 ，. 當(dāng)或時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 故在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù). 例二【解析】又在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞增 在[－1,1]上恒成立 即在 [－1,1]時(shí)恒成立. 故的取值范圍為　 例三解析】（I）， ∵，由，∴在上單調(diào)遞增. 由，∴在上單調(diào)遞減. ∴的單調(diào)遞減區(qū)間

5、為，單調(diào)遞增區(qū)間為. （II），恒成立 當(dāng)時(shí)，取得最大值. ∴，∴amin= 課堂練習(xí)；1，【解析】（Ⅰ）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) ∴ ∵，∴ 由已知條件知 即 ∴解得： （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令則或 ∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 ∴ ∴或 即或 2，解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知 由已知-2、4是方程的兩個(gè)實(shí)根 由韋達(dá)定理， （2）在區(qū)間[—1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在[—1，3]區(qū)間上恒有 其中點(diǎn)（—2，3）距離原點(diǎn)最近， 所以當(dāng)有最小值13 3，【解析】∵， ∴（1）當(dāng)時(shí)，若為增函數(shù)； 為減函數(shù)； 為增函數(shù)． （2

6、）當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)； 為減函數(shù)； 為增函數(shù) 知識(shí)點(diǎn)二: 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值方法歸納： 1.求函數(shù)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù) . (2)求方程的根. (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格.檢查 在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么在這個(gè)根處無(wú)極值. 2.求函數(shù)在上最值的步驟：（1）求出在上的極值. （2）求出端點(diǎn)函數(shù)值.

7、 （3）比較極值和端點(diǎn)值，確定最大值或最小值. 注:可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值是的充分不必要條件. 【例4】（A類）若函數(shù)在處取得極值,則 . 【解題思路】若在附近的左側(cè)，右側(cè)，且,那么是的極大值；若在附近的左側(cè)，右側(cè)，且,那么是的極小值. 【解析】因?yàn)榭蓪?dǎo),且,所以,解得. 驗(yàn)證當(dāng)時(shí), 函數(shù)在處取得極大值. 【注】 若是可導(dǎo)函數(shù)，注意是為函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件.要確定極值點(diǎn)還需在左右判斷單調(diào)性. [例5】（B類）已知函數(shù)， （I）求的單調(diào)區(qū)間；（II）求在區(qū)間上的最小值. 【解析】（I），令；所以在上遞減，在上遞增； （II）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以；

8、 當(dāng)即時(shí)，由（I）知，函數(shù)在區(qū)間上遞減，上遞增，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞減，所以. 【例6】（B類）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn). （1）試確定常數(shù)a和b的值； （2）試判斷是函數(shù)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并求相應(yīng)極值. 【解析】（1） 由已知得： （2）變化時(shí).的變化情況如表： （0，1） 1 （1，2） 2 — 0 + 0 — 極小值 極大值 故在處，函數(shù)取極小值；在處，函數(shù)取得極大值 4.（A類）設(shè).若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍. 5.（B類）設(shè)，． （1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值； （2）討論

9、與的大小關(guān)系； 6.（C類）已知函數(shù) (Ⅰ)證明：曲線 . 課堂練習(xí)；4，【解析】在上存在單調(diào)遞增區(qū)間， 即存在某個(gè)子區(qū)間 使得. 由， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，則只需即可. 由解得， 所以，當(dāng)時(shí)，在上存在單調(diào)遞增區(qū)間 5，解】（1）由題設(shè)知，∴令0得=1， 當(dāng)∈（0，1）時(shí)，＜0，是減函數(shù)，故（0，1）是的單調(diào)減區(qū)間. 當(dāng)∈（1，+∞）時(shí)，＞0，是增函數(shù)，故（1，+∞）是的單調(diào)遞增區(qū)間， 因此，=1是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以的最小值為 (2)，設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，， 因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即 6，【解析】(Ⅰ) ，，又 曲線的切線方程是：，在上式中令，得. 所以曲線 7 / 7