信號(hào)系統(tǒng)基礎(chǔ)知識(shí).ppt

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第一章信號(hào)與系統(tǒng) 1 1緒言一 信號(hào)的概念二 系統(tǒng)的概念1 2信號(hào)的描述與分類一 信號(hào)的描述二 信號(hào)的分類1 3信號(hào)的基本運(yùn)算一 加法和乘法二 時(shí)間變換1 4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)一 階躍函數(shù)二 沖激函數(shù) 三 沖激函數(shù)的性質(zhì)四 序列 k 和 k 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類一 系統(tǒng)的定義二 系統(tǒng)的分類及性質(zhì)1 6系統(tǒng)的描述一 連續(xù)系統(tǒng)二 離散系統(tǒng)1 7LTI系統(tǒng)分析方法概述 點(diǎn)擊目錄 進(jìn)入相關(guān)章節(jié) 什么是信號(hào) 什么是系統(tǒng) 為什么把這兩個(gè)概念連在一起 問題 生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理應(yīng)用舉例 濾波以前干擾嚴(yán)重 濾波以后干擾祛除 長(zhǎng)電力傳輸線的故障檢測(cè) 故障診斷 電動(dòng)機(jī)鼠籠斷條 諧波分析 一 信號(hào)的概念 1 消息 message 人們常常把來自外界的各種報(bào)道統(tǒng)稱為消息 2 信息 information 通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為信息 本課程中對(duì) 信息 和 消息 兩詞不加嚴(yán)格區(qū)分 1 1緒論 第一章信號(hào)與系統(tǒng) 它是信息論中的一個(gè)術(shù)語 1 1緒論 3 信號(hào) signal 信號(hào)是信息的載體 通過信號(hào)傳遞信息 信號(hào)我們并不陌生 如剛才鈴聲 聲信號(hào) 表示該上課了 十字路口的紅綠燈 光信號(hào) 指揮交通 電視機(jī)天線接受的電視信息 電信號(hào) 廣告牌上的文字 圖象信號(hào)等等 為了有效地傳播和利用信息 常常需要將信息轉(zhuǎn)換成便于傳輸和處理的信號(hào) 二 系統(tǒng)的概念 一般而言 系統(tǒng) system 是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體 如手機(jī) 電視機(jī) 通信網(wǎng) 計(jì)算機(jī)網(wǎng)等都可以看成系統(tǒng) 它們所傳送的語音 音樂 圖象 文字等都可以看成信號(hào) 信號(hào)的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯(lián)系在一起 信號(hào)的產(chǎn)生 傳輸和處理需要一定的物理裝置 這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng) 系統(tǒng)的基本作用是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行加工和處理 將其轉(zhuǎn)換為所需要的輸出信號(hào) 輸入 激勵(lì) 輸出 響應(yīng) 1 1緒論 信號(hào)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生響應(yīng)舉例 心電圖機(jī) 汽車系統(tǒng) 照相機(jī)系統(tǒng) 1 2信號(hào)的描述和分類 第一章信號(hào)與系統(tǒng) 一 信號(hào)的描述 信號(hào)是信息的一種物理體現(xiàn) 它一般是隨時(shí)間或位置變化的物理量 信號(hào)按物理屬性分 電信號(hào)和非電信號(hào) 它們可以相互轉(zhuǎn)換 電信號(hào)容易產(chǎn)生 便于控制 易于處理 本課程討論電信號(hào) 簡(jiǎn)稱 信號(hào) 電信號(hào)的基本形式 隨時(shí)間變化的電壓或電流 描述信號(hào)的常用方法 1 表示為時(shí)間的函數(shù) 2 信號(hào)的圖形表示 波形 信號(hào) 與 函數(shù) 兩詞常相互通用 1 信號(hào)的數(shù)學(xué)建模用現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究信號(hào)與系統(tǒng) 首先要將它們用數(shù)學(xué)語言來描述 數(shù)學(xué)建模幾種典型信號(hào)及數(shù)學(xué)描述 1 指數(shù)信號(hào) 單邊指數(shù)信號(hào) 通常把稱為指數(shù)信號(hào)的時(shí)間常數(shù) 記作 代表信號(hào)衰減速度 具有時(shí)間的量綱 重要特性 其對(duì)時(shí)間的微分和積分仍然是指數(shù)形式 2 正弦信號(hào) 三要素 振幅 K角頻率 周期 T頻率 f 初相 衰減正弦信號(hào) 3 復(fù)指數(shù)信號(hào) 討論 4 抽樣信號(hào) SamplingSignal 5 鐘形信號(hào) 高斯函數(shù) 1 2信號(hào)的描述和分類 二 信號(hào)的分類 1 確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào) 可以用確定時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào) 稱為確定信號(hào)或規(guī)則信號(hào) 如正弦信號(hào) 若信號(hào)不能用確切的函數(shù)描述 它在任意時(shí)刻的取值都具有不確定性 只可能知道它的統(tǒng)計(jì)特性 如在某時(shí)刻取某一數(shù)值的概率 這類信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)或不確定信號(hào) 電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲 雷電干擾信號(hào)就是兩種典型的隨機(jī)信號(hào) 研究確定信號(hào)是研究隨機(jī)信號(hào)的基礎(chǔ) 本課程只討論確定信號(hào) 1 2信號(hào)的描述和分類 2 連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào) 根據(jù)信號(hào)定義域的特點(diǎn)可分為連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào) 在連續(xù)的時(shí)間范圍內(nèi) t 有定義的信號(hào)稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào) 簡(jiǎn)稱連續(xù)信號(hào) 實(shí)際中也常稱為模擬信號(hào) 這里的 連續(xù) 指函數(shù)的定義域 時(shí)間是連續(xù)的 但可含間斷點(diǎn) 至于值域可連續(xù)也可不連續(xù) 值域連續(xù) 值域不連續(xù) 1 連續(xù)時(shí)間信號(hào) 1 2信號(hào)的描述和分類 僅在一些離散的瞬間才有定義的信號(hào)稱為離散時(shí)間信號(hào) 簡(jiǎn)稱離散信號(hào) 實(shí)際中也常稱為數(shù)字信號(hào) 這里的 離散 指信號(hào)的定義域 時(shí)間是離散的 它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值 其余時(shí)間無定義 如右圖的f t 僅在一些離散時(shí)刻tk k 0 1 2 才有定義 其余時(shí)間無定義 相鄰離散點(diǎn)的間隔Tk tk 1 tk可以相等也可不等 通常取等間隔T 離散信號(hào)可表示為f kT 簡(jiǎn)寫為f k 這種等間隔的離散信號(hào)也常稱為序列 其中k稱為序號(hào) 離散時(shí)間信號(hào) 1 2信號(hào)的描述和分類 離散信號(hào)的三種表達(dá)方式 或?qū)憺?通常將對(duì)應(yīng)某序號(hào)m的序列值稱為第m個(gè)樣點(diǎn)的 樣值 模擬信號(hào) 抽樣信號(hào) 數(shù)字信號(hào) 模擬信號(hào) 時(shí)間和幅值均為連續(xù)的信號(hào) 抽樣 抽樣信號(hào) 時(shí)間離散的 幅值連續(xù)的信號(hào) 量化 數(shù)字信號(hào) 時(shí)間和幅值均為離散的信號(hào) 1 2信號(hào)的描述和分類 3 周期信號(hào)和非周期信號(hào) 周期信號(hào) periodsignal 是定義在 區(qū)間 每隔一定時(shí)間T 或整數(shù)N 按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào) 連續(xù)周期信號(hào)f t 滿足f t f t mT m 0 1 2 離散周期信號(hào)f k 滿足f k f k mN m 0 1 2 滿足上述關(guān)系的最小T 或整數(shù)N 稱為該信號(hào)的周期 不具有周期性的信號(hào)稱為非周期信號(hào) 周期信號(hào)的判別和計(jì)算 1 2信號(hào)的描述和分類 例1判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào) 若是 確定其周期 1 f1 t sin2t cos3t 2 f2 t cos2t sin t 解 1 sin2t是周期信號(hào) 其角頻率和周期分別為 1 2rad s T1 2 1 scos3t是周期信號(hào) 其角頻率和周期分別為 2 3rad s T2 2 2 2 3 s由于T1 T2 3 2為有理數(shù) 故f1 t 為周期信號(hào) 其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2 2 cos2t和sin t的周期分別為T1 s T2 2s 由于T1 T2為無理數(shù) 故f2 t 為非周期信號(hào) 模擬復(fù)合信號(hào)判斷是否周期信號(hào) 兩個(gè)周期信號(hào)x t y t 的周期分別為T1和T2 若其周期之比T1 T2為有理數(shù) 則其和信號(hào)x t y t 仍然是周期信號(hào) 其周期為T1和T2的最小公倍數(shù) 1 2信號(hào)的描述和分類 例2判斷正弦序列f k sin k 是否為周期信號(hào) 若是 確定其周期 解 式中 稱為正弦序列的數(shù)字角頻率 單位 rad 數(shù)字信號(hào)判斷是否周期信號(hào)的方法 首先將函數(shù)寫成規(guī)范式 僅當(dāng)2 為整數(shù)時(shí) 正弦序列才具有周期N 2 當(dāng)2 為有理數(shù)時(shí) 正弦序列仍為具有周期性 但其周期為N M 2 M取使N為整數(shù)的最小整數(shù) 當(dāng)2 為無理數(shù)時(shí) 正弦序列為非周期序列 復(fù)合信號(hào)同前面方法 m 0 1 2 1 2信號(hào)的描述和分類 例3判斷下列序列是否為周期信號(hào) 若是 確定其周期 1 f1 k sin 3 k 4 cos 0 5 k 2 f2 k sin 2k 解 1 sin 3 k 4 和cos 0 5 k 的數(shù)字角頻率分別為 1 3 4rad 2 0 5 rad由于2 1 8 3 2 2 4為有理數(shù) 故它們的周期分別為N1 8 3 可找到M 3 使MN1 8為整數(shù) N2 4 故f1 k 為周期序列 其周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8 2 sin 2k 的數(shù)字角頻率為 1 2rad 由于2 1 為無理數(shù) 故f2 k sin 2k 為非周期序列 由上面幾例可看出 連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào) 而正弦序列不一定是周期序列 兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào) 而兩周期序列之和一定是周期序列 1 2信號(hào)的描述和分類 4 能量信號(hào)與功率信號(hào) 將信號(hào)f t 施加于1 電阻上 它所消耗的瞬時(shí)功率為 f t 2 在區(qū)間 的能量和平均功率定義為 1 信號(hào)的能量E 2 信號(hào)的功率P 若信號(hào)f t 的能量有界 即E 則稱其為能量有限信號(hào) 簡(jiǎn)稱能量信號(hào) 此時(shí)P 0 若信號(hào)f t 的功率有界 即P 則稱其為功率有限信號(hào) 簡(jiǎn)稱功率信號(hào) 此時(shí)E 判斷方法 1 2信號(hào)的描述和分類 相應(yīng)地 對(duì)于離散信號(hào) 也有能量信號(hào) 功率信號(hào)之分 若滿足的離散信號(hào) 稱為能量信號(hào) 若滿足的離散信號(hào) 稱為功率信號(hào) 一般 時(shí)限信號(hào) 僅在有限時(shí)間區(qū)間不為零的信號(hào) 為能量信號(hào) 周期信號(hào)屬于功率信號(hào) 而非周期信號(hào)可能是能量信號(hào) 也可能是功率信號(hào) 有些信號(hào)既不是屬于能量信號(hào)也不屬于功率信號(hào) 如f t et 1 2信號(hào)的描述和分類 5 一維信號(hào)與多維信號(hào) 從數(shù)學(xué)表達(dá)式來看 信號(hào)可以表示為一個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù) 稱為一維或多維函數(shù) 語音信號(hào)可表示為聲壓隨時(shí)間變化的函數(shù) 這是一維信號(hào) 而一張黑白圖像每個(gè)點(diǎn) 像素 具有不同的光強(qiáng)度 任一點(diǎn)又是二維平面坐標(biāo)中兩個(gè)變量的函數(shù) 這是二維信號(hào) 還有更多維變量的函數(shù)的信號(hào) 本課程只研究一維信號(hào) 且自變量多為時(shí)間 6 因果信號(hào)與反因果信號(hào) 常將t 0時(shí)接入系統(tǒng)的信號(hào)f t 即在t 0 f t 0 稱為因果信號(hào)或有始信號(hào) 階躍信號(hào)是典型的一個(gè) 而將t 0 f t 0的信號(hào)稱為反因果信號(hào) 1 3信號(hào)的基本運(yùn)算 還有其他分類 如實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào) 左邊信號(hào)與右邊信號(hào)等等 1 3信號(hào)的基本運(yùn)算 一 信號(hào)的 運(yùn)算 兩信號(hào)f1 和f2 的相 指同一時(shí)刻兩信號(hào)之值對(duì)應(yīng)相加減乘 如 1 3信號(hào)的基本運(yùn)算 二 信號(hào)的時(shí)間變換運(yùn)算 1 反轉(zhuǎn) 將f t f t f k f k 稱為對(duì)信號(hào)f 的反轉(zhuǎn)或反折 從圖形上看是將f 以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o 如 1 3信號(hào)的基本運(yùn)算 2 平移 將f t f t t0 f k f t k0 稱為對(duì)信號(hào)f 的平移或移位 若t0 或k0 0 則將f 右移 否則左移 如對(duì)t操作 若對(duì) t操作 則與上相反 1 3信號(hào)的基本運(yùn)算 平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合 法一 先平移f t f t 2 再反轉(zhuǎn)f t 2 f t 2 法二 先反轉(zhuǎn)f t f t 畫出f 2 t 再平移f t f t 2 左移 右移 f t 2 注意 是對(duì)t的變換 1 3信號(hào)的基本運(yùn)算 3 尺度變換 橫坐標(biāo)展縮 將f t f at 稱為對(duì)信號(hào)f t 的尺度變換 若a 1 則波形沿橫坐標(biāo)壓縮 若0 a 1 則展開 如 對(duì)于離散信號(hào) 由于f ak 僅在為ak為整數(shù)時(shí)才有意義 進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失 因此一般不作波形的尺度變換 1 3信號(hào)的基本運(yùn)算 平移 反轉(zhuǎn) 尺度變換相結(jié)合 已知f t 畫出f 4 2t 三種運(yùn)算的次序可任意 但一定要注意始終對(duì)時(shí)間t進(jìn)行 1 3信號(hào)的基本運(yùn)算 也可以先壓縮 再平移 最后反轉(zhuǎn) 1 3信號(hào)的基本運(yùn)算 若已知f 4 2t 畫出f t 1 4階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù) 稱為奇異函數(shù) 研究奇異函數(shù)的性質(zhì)要用到廣義函數(shù) 或分配函數(shù) 的理論 這里將直觀地引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 1 4階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 一 階躍函數(shù) 下面采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù) 選定一個(gè)函數(shù)序列 n t 如圖所示 1 4階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 階躍函數(shù)性質(zhì) 1 可以方便地表示某些信號(hào) f t 2 t 3 t 1 t 2 2 作為截取函數(shù)的工具 3 階躍函數(shù)的積分 1 4階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 二 沖激函數(shù) 單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù) 它是對(duì)強(qiáng)度極大 作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型 它由如下特殊的方式定義 由狄拉克最早提出 也可采用下列直觀定義 對(duì) n t 求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖pn t 高度無窮大 寬度無窮小 面積為1的對(duì)稱窄脈沖 指強(qiáng)度面非幅度 1 4階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系 可見 引入沖激函數(shù)之后 間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在 如 f t 2 t 1 2 t 1 f t 2 t 1 2 t 1 1 4階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 三 沖激函數(shù)的性質(zhì) 1 與普通函數(shù)f t 的乘積 取樣性質(zhì) 若f t 在t 0 t a處存在 則f t t f 0 t f t t a f a t a 0 t 1 4階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 2 沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù) t 也稱沖激偶 性質(zhì) f t t f 0 t f 0 t 證明 f t t f t t f t t f t t f t t f t t f 0 t f 0 t t 的定義 n t 的定義 例 1 4階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 3 t 的尺度變換 證明見教材P20 推論 1 例 2t 0 5 t 2 當(dāng)a 1時(shí) 所以 t t 為偶函數(shù) t t 為奇函數(shù) 1 4階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 例 已知f t 畫出g t f t 和g 2t 注意 普通函數(shù)尺度變換幅度不變 而 t 函數(shù)幅度變化 1 4階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 4 復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù) 實(shí)際中有時(shí)會(huì)遇到形如 f t 的沖激函數(shù) 其中f t 是普通函數(shù) 并且f t 0有n個(gè)互不相等的實(shí)根ti i 1 2 n f t 圖示說明 例f t t2 4 t2 4 1 t 2 t 2 間接方法 1 4階躍函數(shù)和沖激函數(shù) t2 4 1 t 2 t 2 一般地 這表明 f t 是位于各ti處 強(qiáng)度為的n個(gè)沖激函數(shù)構(gòu)成的沖激函數(shù)序列 注意 如果f t 0有重根 f t 無意義 1 4階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 這兩個(gè)序列是普通序列 1 單位 樣值 序列 k 的定義 取樣性質(zhì) f k k f 0 k f k k k0 f k0 k k0 例 三 序列 k 和 k 1 4階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 2 單位階躍序列 k 的定義 3 k 與 k 的關(guān)系 k k k 1 或 k k k 1 令i k j 信號(hào)的相量表示 例一個(gè)電路給風(fēng)扇電機(jī)和電燈供電 它們并聯(lián)接入電路 流過的電流分別是和 求電路提供給的總電流 解 表示示兩個(gè)電流的相量是 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 一 系統(tǒng)的定義 若干相互作用 相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng) 電系統(tǒng)是電子元器件的集合體 電路側(cè)重于局部 系統(tǒng)側(cè)重于全部 電路 系統(tǒng)兩詞通用 二 系統(tǒng)的分類及性質(zhì) 可以從多種角度來觀察 分析研究系統(tǒng)的特征 提出對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類的方法 下面討論幾種常用的分類法 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 1 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) 若系統(tǒng)的輸入信號(hào)是連續(xù)信號(hào) 系統(tǒng)的輸出信號(hào)也是連續(xù)信號(hào) 則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 簡(jiǎn)稱為連續(xù)系統(tǒng) 若系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)均是離散信號(hào) 則稱該系統(tǒng)為離散時(shí)間系統(tǒng) 簡(jiǎn)稱為離散系統(tǒng) 2 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng) 若系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān) 而且與它過去的歷史狀況有關(guān) 則稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng) 含有記憶元件 電容 電感等 的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng) 否則稱即時(shí)系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng) 3 單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng) 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 4 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng) 1 線性性質(zhì) 系統(tǒng)的激勵(lì)f 所引起的響應(yīng)y 可簡(jiǎn)記為y T f 線性性質(zhì)包括兩方面 齊次性和可加性 若系統(tǒng)的激勵(lì)f 增大a倍時(shí) 其響應(yīng)y 也增大a倍 即T af aT f 則稱該系統(tǒng)是齊次的 若系統(tǒng)對(duì)于激勵(lì)f1 與f2 之和的響應(yīng)等于各個(gè)激勵(lì)所引起的響應(yīng)之和 即T f1 f2 T f1 T f2 則稱該系統(tǒng)是可加的 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的 則稱該系統(tǒng)是線性的 即T af1 bf2 aT f1 bT f2 2 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵(lì) f 有關(guān) 而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài) x 0 有關(guān) 初始狀態(tài)也稱 內(nèi)部激勵(lì) 完全響應(yīng)可寫為y T f x 0 零狀態(tài)響應(yīng)為yzs T f 0 零輸入響應(yīng)為yzi T 0 x 0 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個(gè)條件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng) 零狀態(tài)線性 T af 0 aT f 0 T f1 t f2 t 0 T f1 0 T f2 0 或T af1 t bf2 t 0 aT f1 0 bT f2 0 零輸入線性 T 0 ax 0 aT 0 x 0 T 0 x1 0 x2 0 T 0 x1 0 T 0 x2 0 或T 0 ax1 0 bx2 0 aT 0 x1 0 bT 0 x2 0 可分解性 y yzs yzi T f 0 T 0 x 0 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 例1 判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng) 1 y t 3x 0 2f t x 0 f t 1 2 y t 2x 0 f t 3 y t x2 0 2f t 解 1 令x 0 0得yzs t 2f t 1令f t 0得yzi t 3x 0 1顯然 y t yzs t yzi t 不滿足可分解性 故為非線性 歸納方法 2 y t 2x 0 f t 解 令x 0 0得yzs t f t 令f t 0得yzi t 2x 0 y t yzs t yzi t 滿足可分解性 由于T af t 0 af t ayzs t 不滿足零狀態(tài)線性 故為非線性系統(tǒng) 3 y t x2 0 2f t 解 令x 0 0得yzs t 2f t 令f t 0得yzi t x2 0 滿足可分解性 由于T 0 ax 0 ax 0 2 ayzi t 不滿足零輸入線性 故為非線性系統(tǒng) 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 例2 判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng) 解 y t yzs t yzi t 滿足可分解性 T af1 t bf2 t 0 aT f1 t 0 bT f2 t 0 滿足零狀態(tài)線性 T 0 ax1 0 bx2 0 e t ax1 0 bx2 0 ae tx1 0 be tx2 0 aT 0 x1 0 bT 0 x2 0 滿足零輸入線性 所以 該系統(tǒng)為線性系統(tǒng) 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 5 時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng) 滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng) 1 時(shí)不變性質(zhì) 若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時(shí)間 其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多少時(shí)間 即若T 0 f t yzs t 則有T 0 f t td yzs t td 系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時(shí)不變性 或移位不變性 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 例 判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng) 1 yzs k f k f k 1 2 yzs t tf t 3 yzs t f t 解 1 先將輸入信號(hào)f k 中直接延時(shí)kd 然后代入系統(tǒng) 令g k f k kd T 0 g k g k g k 1 f k kd f k kd 1 再將原方程中所有k用 k kd 代yzs k kd f k kd f k kd 1 判斷 是否相等 顯然T 0 f k kd yzs k kd 故該系統(tǒng)是時(shí)不變的 2 令g t f t td T 0 g t tg t tf t td 而yzs t td t td f t td 顯然T 0 f t td yzs t td 故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng) 方法 T 0 f k kd yzs k kd 3 yzs t f t T 0 f t 解 令g t f t td T 0 g t f t td 而yzs t td f t td 顯然T 0 f t td yzs t td 故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng) 直觀判斷方法 若f 前出現(xiàn)變系數(shù) 或有反轉(zhuǎn) 展縮變換 則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng) 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 2 LTI連續(xù)系統(tǒng)具有微分特性和積分特性 本課程重點(diǎn)討論線性時(shí)不變系統(tǒng) LinearTime Invariant 簡(jiǎn)稱LTI系統(tǒng) 微分特性 若f t yzs t 則f t y zs t 積分特性 若f t yzs t 則 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 6 因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) 零狀態(tài)響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)在激勵(lì)之前的系統(tǒng) 稱為因果系統(tǒng) 即對(duì)因果系統(tǒng) 當(dāng)t t0 f t 0時(shí) 有t t0 yzs t 0 如下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng) yzs t 3f t 1 而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng) 1 yzs t 2f t 1 2 yzs t f 2t 因?yàn)?若f t 0 t t0令t 1時(shí)有yzs 1 2f 2 因?yàn)?若f t 0 t t0 有yzs t f 2t 0 t 0 5t0 t0為信號(hào)接入時(shí)刻 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 例某LTI因果連續(xù)系統(tǒng) 起始狀態(tài)為x 0 已知 當(dāng)x 0 1 輸入因果信號(hào)f1 t 時(shí) 全響應(yīng)y1 t e t cos t t 0 當(dāng)x 0 2 輸入信號(hào)f2 t 3f1 t 時(shí) 全響應(yīng)y2 t 2e t 3cos t t 0 求輸入f3 t 2f1 t 1 時(shí) 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y3zs t 解設(shè)當(dāng)x 0 1 輸入因果信號(hào)f1 t 時(shí) 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y1zi t y1zs t 當(dāng)x 0 2 輸入信號(hào)f2 t 3f1 t 時(shí) 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y2zi t y2zs t 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 由題中條件 有y1 t y1zi t y1zs t e t cos t t 0 1 y2 t y2zi t y2zs t 2e t 3cos t t 0 2 根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性 y2zi t 2y1zi t y2zs t 3y1zs t 代入式 2 得y2 t 2y1zi t 3y1zs t 2e t 3cos t t 0 3 式 3 2 式 1 得y1zs t 4e t cos t t 0由于y1zs t 是因果系統(tǒng)對(duì)因果輸入信號(hào)f1 t 的零狀態(tài)響應(yīng) 故當(dāng)t 0 y1f t 0 因此y1zs t 可改寫成y1zs t 4e t cos t t 4 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 f1 t y1f t 4e t cos t t 根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性 3 t 4 sin t t 根據(jù)LTI系統(tǒng)的時(shí)不變特性 f1 t 1 y1zs t 1 4 cos t 1 t 1 由線性性質(zhì) 得 當(dāng)輸入f3 t 2f1 t 1 時(shí) y3zs t 2y1 t 1 3 t 4 sin t t 2 4 cos t 1 t 1 1 5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 7 穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng) 一個(gè)系統(tǒng) 若對(duì)有界的激勵(lì)f 所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf 也是有界時(shí) 則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定 簡(jiǎn)稱穩(wěn)定 即若 f 其 yzs 則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的 如yzs k f k f k 1 是穩(wěn)定系統(tǒng) 而 是不穩(wěn)定系統(tǒng) 因?yàn)?當(dāng)f t t 有界 當(dāng)t 時(shí) 它也 無界 1 6系統(tǒng)的描述 1 6系統(tǒng)的描述 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模 描述連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程 描述離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程 一 連續(xù)系統(tǒng) 1 微分方程描述 建立數(shù)學(xué)模型 圖示RLC電路 以u(píng)S t 作激勵(lì) 以u(píng)C t 作為響應(yīng) 由KVL和VAR列方程 并整理得 二階常系數(shù)線性微分方程 電感 電容 電阻 1 6系統(tǒng)的描述 抽去具有的物理含義 微分方程寫成 這個(gè)方程也可以描述下面的一個(gè)二階機(jī)械減振系統(tǒng) 其中 k為彈簧常數(shù) M為物體質(zhì)量 C為減振液體的阻尼系數(shù) x為物體偏離其平衡位置的位移 f t 為初始外力 其運(yùn)動(dòng)方程為 能用相同方程描述的系統(tǒng)稱相似系統(tǒng) 1 6系統(tǒng)的描述 2 系統(tǒng)的框圖描述 上述方程從數(shù)學(xué)角度來說代表了某些運(yùn)算關(guān)系 相乘 微分 相加運(yùn)算 將這些基本運(yùn)算用一些理想部件符號(hào)表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運(yùn)算關(guān)系 這樣畫出的圖稱為模擬框圖 簡(jiǎn)稱框圖 基本部件單元有 積分器 加法器 數(shù)乘器 積分器的抗干擾性比微分器好 微分器 1 6系統(tǒng)的描述 1 系統(tǒng)模擬 實(shí)際系統(tǒng) 方程 模擬框圖 實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn) 模擬系統(tǒng) 指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì) 例1 已知y t ay t by t f t 畫框圖 解 將方程寫為y t f t ay t by t 1 6系統(tǒng)的描述 例2 已知y t 3y t 2y t 4f t f t 畫框圖 解 該方程含f t 的導(dǎo)數(shù) 可引入輔助函數(shù)畫出框圖 設(shè)輔助函數(shù)x t 滿足x t 3x t 2x t f t 可推導(dǎo)出y t 4x t x t 它滿足原方程 例3 已知框圖 寫出系統(tǒng)的微分方程 1 6系統(tǒng)的描述 設(shè)輔助變量x t 如圖 x t x t x t x t f t 2x t 3x t 即x t 2x t 3x t f t y t 4x t 3x t 根據(jù)前面 逆過程 得 y t 2y t 3y t 4f t 3f t 2 系統(tǒng)分析由方框圖求方程 1 6系統(tǒng)的描述 二 離散系統(tǒng) 1 解析描述 建立差分方程 例 某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款 月息為 元 月 求第k個(gè)月初存折上的款數(shù) 設(shè)第k個(gè)月初的款數(shù)為y k 這個(gè)月初的存款為f k 上個(gè)月初的款數(shù)為y k 1 利息為 y k 1 則y k y k 1 y k 1 f k 即y k 1 y k 1 f k 若設(shè)開始存款月為k 0 則有y 0 f 0 上述方程就稱為y k 與f k 之間所滿足的差分方程 所謂差分方程是指由未知輸出序列項(xiàng)與輸入序列項(xiàng)構(gòu)成的方程 未知序列項(xiàng)變量最高序號(hào)與最低序號(hào)的差數(shù) 稱為差分方程的階數(shù) 上述為一階差分方程 1 6系統(tǒng)的描述 由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng) 描述LTI系統(tǒng)的是線性常系數(shù)差分方程 2 差分方程的模擬框圖 基本部件單元有 數(shù)乘器 加法器 遲延單元 移位器 例 下列差分方程描述的系統(tǒng) 是否線性 是否時(shí)不變 并寫出方程的階數(shù) 1 y k k 1 y k 1 f k 2 y k y k 1 y k 1 f2 k 3 y k 2y k 1 f 1 k 1 解 判斷方法 方程中均為輸出 輸入序列的一次關(guān)系項(xiàng) 則是線性的 輸入輸出序列前的系數(shù)為常數(shù) 且無反轉(zhuǎn) 展縮變換 則為時(shí)不變的 線性 時(shí)變 一階 非線性 時(shí)不變 二階 非線性 時(shí)變 一階 1 6系統(tǒng)的描述 例 已知框圖 寫出系統(tǒng)的差分方程 解 設(shè)輔助變量x k 如圖 x k x k 1 x k 2 即x k 2x k 1 3x k 2 f k y k 4x k 1 5x k 2 消去x k 得y k 2y k 1 3y k 2 4f k 1 5f k 2 x k f k 2x k 1 3x k 2 方程 框圖用變換域方法和梅森公式簡(jiǎn)單 后面討論 1 7系統(tǒng)分析概述 1 7LTI系統(tǒng)分析概述 系統(tǒng)分析研究的主要問題 對(duì)給定的具體系統(tǒng) 求出它對(duì)給定激勵(lì)的響應(yīng) 具體地說 系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出解答 系統(tǒng)的分析方法 輸入輸出法 外部法 狀態(tài)變量法 內(nèi)部法 chp 8 外部法 時(shí)域分析 chp 2 chp 3 變換域法 連續(xù)系統(tǒng) 頻域法 4 和復(fù)頻域法 5 離散系統(tǒng) z域法 chp6 系統(tǒng)特性 系統(tǒng)函數(shù) chp 7 1 把零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分開求 2 把復(fù)雜信號(hào)分解為眾多基本信號(hào)之和 根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性 多個(gè)基本信號(hào)作用于線性系統(tǒng)所引起的響應(yīng)等于各個(gè)基本信號(hào)所引起的響應(yīng)之和 1 7系統(tǒng)分析概述 求解的基本思路 采用的數(shù)學(xué)工具 1 卷積積分與卷積和 2 傅里葉變換 3 拉普拉斯變換 4 Z變換