北師大數(shù)學(xué)北師大版九上第1章 測試卷（3）教案

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第一章 特殊平行四邊形 一、選擇題（12小題，每小題3分，共36分） 1．下列命題中，真命題是（　　） A．兩條對角線垂直的四邊形是菱形 B．對角線垂直且相等的四邊形是正方形 C．兩條對角線相等的四邊形是矩形 D．兩條對角線相等的平行四邊形是矩形 2．菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（　?。? A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角互補 3．順次連接一個四邊形的各邊中點，得到了一個矩形，則下列四邊形滿足條件的是（　?。? ①平行四邊形 ②菱形 ③對角線相等的四邊形 ④對角線互相垂直的四邊形． A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 4．既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，且只有兩條對稱軸的四邊形是（　　） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形 5．（2018?大連）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若AB＝5，AC＝6，則BD的長是（　?。? A．8 B．7 C．4 D．3 6．如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1、S2，則S1+S2的值為（　?。? A．16 B．17 C．18 D．19 7．在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=30，AC=cm，則AB邊上的中線為（　?。? A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm 8．如圖，在正方形ABCD外側(cè)作等邊三角形CDE，AE、BD交于點F，則∠AFB的度數(shù)為（　?。? A．45 B．55 C．60 D．75 9．如圖，?ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E、F，∠EDF=60，AE=2cm，則AD=（　?。? A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 10．如圖：長方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖的方式折疊，使點B與點D重合．折痕為EF，則DE長為（　?。? A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm 11．如圖，將一個長為10cm，寬為8cm的矩形紙片先按照從左向右對折，再按照從下向上的方向?qū)φ郏厮镁匦蝺舌忂呏悬c的連線（虛線）剪下（如圖（1）），再打開，得到如圖（2）所示的小菱形的面積為（　?。? A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2 12．（2018?威海）矩形ABCD與CEFG如圖放置，點B，C，E共線，點C，D，G共線，連接AF，取AF的中點H，連接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，則GH＝（　?。? A．1 B． C． D． 二、填空題（每小題3分，共12分） 13．（2018?錦州）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點A作AH⊥BC于點H，連接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，則OH的長為　?。? 14．（2018?本溪）如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在坐標軸上，B（8，7），D（5，0），點P是邊AB或邊BC上的一點，連接OP，DP，當△ODP為等腰三角形時，點P的坐標為　?。? 15．如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為　?。? 16．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點，BE=1，F(xiàn)為AB上的一點，AF=2，P為AC上一個動點，則PF+PE的最小值為　?。? 三、解答題（共52分） 17．（6分）已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點，且BE=DF．求證：∠AEF=∠AFE． 18．（7分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，∠AOD=60，AB=，AE⊥BD于點E，求OE的長． 19．（7分）如圖，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點F，連接CE． 求證：四邊形BECD是矩形． 20．（8分）如圖，已知點D在△ABC的BC邊上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求證：AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由． 21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC． （1）求證：OE=OF； （2）若BC=2，求AB的長． 22．（8分）正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF=45．將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到△DCM． （1）求證：EF=FM； （2）當AE=1時，求EF的長． 23．（8分）已知，如圖1，BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點G． （1）求證：△BCE≌△DCF； （2）求CF的長； （3）如圖2，在AB上取一點H，且BH=CF，若以BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標系，問在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的P點坐標；若不存在，說明理由．  關(guān)注“初中教師園地”公眾號 2019秋季各科最新備課資料陸續(xù)推送中 快快告訴你身邊的小伙伴們吧~ 參考答案 一、選擇題（12小題，每小題3分，共36分） 1．下列命題中，真命題是（　?。? A．兩條對角線垂直的四邊形是菱形 B．對角線垂直且相等的四邊形是正方形 C．兩條對角線相等的四邊形是矩形 D．兩條對角線相等的平行四邊形是矩形 【分析】本題要求熟練掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質(zhì)以及之間的相互聯(lián)系． 【解答】解：A、兩條對角線垂直并且相互平分的四邊形是菱形，故選項A錯誤； B、對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，故選項B錯誤； C、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項C錯誤； D、根據(jù)矩形的判定定理，兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，為真命題，故選項D正確； 故選D． 【點評】本題考查的是普通概念，熟練掌握基礎(chǔ)的東西是深入研究的必要準備． 　 2．菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（　?。? A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角互補 【考點】矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)． 【專題】推理填空題． 【分析】根據(jù)菱形對角線垂直平分的性質(zhì)及矩形對交線相等平分的性質(zhì)對各個選項進行分析，從而得到最后的答案． 【解答】解：A、菱形對角線相互垂直，而矩形的對角線則不垂直；故本選項符合要求； B、矩形的對角線相等，而菱形的不具備這一性質(zhì)；故本選項不符合要求； C、菱形和矩形的對角線都互相平分；故本選項不符合要求； D、菱形對角相等；但菱形不具備對角互補，故本選項不符合要求； 故選A． 【點評】此題主要考查了學(xué)生對菱形及矩形的性質(zhì)的理解及運用．菱形和矩形都具有平行四邊形的性質(zhì)，但是菱形的特性是：對角線互相垂直、平分，四條邊都相等． 　 3．順次連接一個四邊形的各邊中點，得到了一個矩形，則下列四邊形滿足條件的是（　?。? ①平行四邊形 ②菱形 ③對角線相等的四邊形 ④對角線互相垂直的四邊形． A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 【考點】矩形的定義及性質(zhì)． 【分析】已知梯形四邊中點得到的四邊形是矩形，則根據(jù)矩形的性質(zhì)及三角形的中位線的性質(zhì)進行分析，從而不難求解． 【解答】解：如圖點E，F(xiàn)，G，H分別是梯形各邊的中點，且四邊形EFGH是矩形． ∵點E，F(xiàn)，G，H分別是梯形各邊的中點，且四邊形EFGH是矩形． ∴∠FEH=90，EF∥BD∥HG，F(xiàn)G∥AC∥EH，EF≠GH． ∴AC⊥BD． ①平行四邊形的對角線不一定互相垂直，故①錯誤； ②菱形的對角線互相垂直，故②正確； ③對角線相等的四邊形，故③錯誤； ④對角線互相垂直的四邊形，故④正確． 綜上所述，正確的結(jié)論是：②④． 故選：D． 【點評】此題主要考查矩形的性質(zhì)及三角形中位線定理的綜合運用，正確掌握矩形的判定方法是解題關(guān)鍵． 　 4．既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，且只有兩條對稱軸的四邊形是（　?。? A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形 【考點】菱形的性質(zhì)，矩形的定義及性質(zhì)，正方形的定義及性質(zhì)． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解． 【解答】解：正方形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有4條對稱軸； 矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有2條對稱軸； 菱形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有2條對稱軸． 故選D． 【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合． 5．（2018?大連）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若AB＝5，AC＝6，則BD的長是（　　） A．8 B．7 C．4 D．3 【考點】L8：菱形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可； 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90， 根據(jù)勾股定理，得：OB＝＝＝4， ∴BD＝2OB＝8， 故選：A． 【點評】本題考查了菱形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 6．如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1、S2，則S1+S2的值為（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【考點】正方形的性質(zhì)． 【分析】由圖可得，S2的邊長為3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分別算出S1、S2的面積，即可解答． 【解答】解：如圖， 設(shè)正方形S1的邊長為x， ∵△ABC和△CDE都為等腰直角三角形， ∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90， ∴sin∠CAB=sin45==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD， ∴AC=BC=2CD， 又∵AD=AC+CD=6， ∴CD==2， ∴EC2=22+22，即EC=2； ∴S1的面積為EC2=22=8； ∵∠MAO=∠MOA=45， ∴AM=MO， ∵MO=MN， ∴AM=MN， ∴M為AN的中點， ∴S2的邊長為3， ∴S2的面積為33=9， ∴S1+S2=8+9=17． 故選B． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，找到相等的量，再結(jié)合三角函數(shù)進行解答． 　 7．在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=30，AC=cm，則AB邊上的中線為（　　） A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm 【考點】直角三角形斜邊上的中線． 【專題】計算題． 【分析】由直角三角形的性質(zhì)知：斜邊上的中線等于斜邊的一半；已知了直角三角形的兩條直角邊，由勾股定理可求得斜邊的長，由此得解 【解答】解：∵Rt△ABC中，AC=cm，且∠ACB=90，∠B=30， ∴AB=2， ∴AB邊上的中線CD=AB=cm． 故選D． 【點評】此題主要考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識點的理解和掌握，難度不大，屬于基礎(chǔ)題． 　 8．如圖，在正方形ABCD外側(cè)作等邊三角形CDE，AE、BD交于點F，則∠AFB的度數(shù)為（　?。? A．45 B．55 C．60 D．75 【考點】正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形以及等邊三角形的性質(zhì)可得出AD=DE，∠ADF=45，∠ADC=90，∠CDE=60，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出∠DAE=∠DEA=15，再結(jié)合三角形外角性質(zhì)即可算出∠AFB的值． 【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，△CDE為等邊三角形， ∴AD=CD=DE，∠ADF=∠ABF=45，∠ADC=90，∠CDE=60， ∴∠ADE=150． ∵AD=DE， ∴∠DAE=∠DEA=15， ∴∠AFB=∠ADF+∠DAF=45+15=60． 故選C． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出∠ADF=45、∠DAF=15．本題屬于基礎(chǔ)題，解決該題型題目時，通過正方形、等邊三角形以及等腰三角形的性質(zhì)計算出角的度數(shù)是關(guān)鍵． 　 9．如圖，?ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E、F，∠EDF=60，AE=2cm，則AD=（　?。? A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【考點】含30度角的直角三角形；多邊形內(nèi)角與外角；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得出AB∥CD，∠A=∠C，∠CDE=∠AED，根據(jù)DE⊥AB，得出∠AED和∠CDE是直角，求出∠CDF的度數(shù)，最后根據(jù)DF⊥BC，求出∠C、∠A的度數(shù)，最后根據(jù)∠ADE=30，AE=2cm，即可求出答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，∠A=∠C， ∴∠CDE=∠AED， ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90， ∴∠CDE=90， ∵∠EDF=60， ∴∠CDF=30， ∵DF⊥BC， ∴∠DFC=90， ∴∠C=60， ∴∠A=60， ∴∠ADE=30， ∴AD=2DE， ∵AE=2， ∴AD=22=4（cm）； 故選A． 【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和含30角的直角三角形，用到的知識點是平行四邊形的性質(zhì)和垂直的定義30角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出∠ADE=30． 　 10．如圖：長方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖的方式折疊，使點B與點D重合．折痕為EF，則DE長為（　　） A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm 【考點】矩形的定義及性質(zhì)． 【分析】在折疊的過程中，BE=DE，從而設(shè)BE=DE=x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解． 【解答】解：設(shè)DE=xcm，則BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x， 在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2， 即x2=（10﹣x）2+16． 解得：x=5.8． 故選C． 【點評】此題主要考查了翻折變換的問題，解答本題的關(guān)鍵是掌握翻折前后對應(yīng)線段相等，另外要熟練運用勾股定理解直角三角形． 　 11．如圖，將一個長為10cm，寬為8cm的矩形紙片先按照從左向右對折，再按照從下向上的方向?qū)φ郏厮镁匦蝺舌忂呏悬c的連線（虛線）剪下（如圖（1）），再打開，得到如圖（2）所示的小菱形的面積為（　?。? A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2 【考點】菱形的性質(zhì)． 【分析】利用折疊的方式得出AC，BD的長，再利用菱形面積公式求出面積即可． 【解答】解：由題意可得：圖1中矩形的長為5cm，寬為4cm， ∵虛線的端點為矩形兩鄰邊中點， ∴AC=4cm，BD=5cm， ∴如圖（2）所示的小菱形的面積為：45=10（cm2）． 故選：A． 【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及剪紙問題，得出菱形對角線的長是解題關(guān)鍵．翻折變換（折疊問題）實質(zhì)上就是軸對稱變換． 　　 12．（2018?威海）矩形ABCD與CEFG如圖放置，點B，C，E共線，點C，D，G共線，連接AF，取AF的中點H，連接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，則GH＝（　?。? A．1 B． C． D． 【考點】KQ：勾股定理；LB：矩形的性質(zhì)． 【分析】延長GH交AD于點P，先證△APH≌△FGH得AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝，從而得出答案． 【解答】解：如圖，延長GH交AD于點P， ∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形， ∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1， ∴AD∥GF， ∴∠GFH＝∠PAH， 又∵H是AF的中點， ∴AH＝FH， 在△APH和△FGH中， ∵， ∴△APH≌△FGH（ASA）， ∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG， ∴PD＝AD﹣AP＝1， ∵CG＝2、CD＝1， ∴DG＝1， 則GH＝PG＝＝， 故選：C． 【點評】本題主要考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識點． 二、填空題（每小題3分，共12分） 13．（2018?錦州）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點A作AH⊥BC于點H，連接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，則OH的長為　3　． 【考點】L8：菱形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)菱形面積＝對角線積的一半可求AC，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半． 【解答】解：∵ABCD是菱形， ∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24， ∴AC＝6， ∵AH⊥BC，AO＝CO＝3， ∴OH＝AC＝3． 【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，關(guān)鍵是靈活運用這些性質(zhì)解決問題． 14．（2018?本溪）如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在坐標軸上，B（8，7），D（5，0），點P是邊AB或邊BC上的一點，連接OP，DP，當△ODP為等腰三角形時，點P的坐標為?。?，4）或（，7）　． 【分析】分兩種情形分別討論即可解決問題； 【解答】解：∵四邊形OABC是矩形，B（8，7）， ∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7， ∵D（5，0）， ∴OD＝5， ∵點P是邊AB或邊BC上的一點， ∴當點P在AB邊時，OD＝DP＝5， ∵AD＝3， ∴PA＝＝4， ∴P（8，4）． 當點P在邊BC上時，只有PO＝PD，此時P（，7）． 綜上所述，滿足條件的點P坐標為（8，4）或（，7）． 故答案為（8，4）或（，7）． 【點評】本題考查矩形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型． 15．如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為　（）n﹣1?。? 【分析】首先求出AC、AE、HE的長度，然后猜測命題中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，即可解決問題． 【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=BC=1，∠B=90， ∴AC2=12+12，AC=； 同理可求：AE=（）2，HE=（）3…， ∴第n個正方形的邊長an=（）n﹣1． 故答案為（）n﹣1． 【點評】該題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握正方形有關(guān)定理并能靈活運用． 　 16．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點，BE=1，F(xiàn)為AB上的一點，AF=2，P為AC上一個動點，則PF+PE的最小值為　?。? 【考點】正方形的性質(zhì)． 【分析】作E關(guān)于直線AC的對稱點E′，連接E′F，則E′F即為所求，過F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG中，利用勾股定理即可求出E′F的長． 【解答】解：作E關(guān)于直線AC的對稱點E′，連接E′F，則E′F即為所求， 過F作FG⊥CD于G， 在Rt△E′FG中， GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1，GF=4， 所以E′F==． 故答案為：． 【點評】本題考查的是最短線路問題，熟知兩點之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（共52分） 17．（6分）已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點，且BE=DF．求證：∠AEF=∠AFE． 【考點】菱形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等邊對等角得到∠AEF=∠AFE． 【解答】證明：∵ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D． 又∵EB=DF， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE=AF， ∴∠AEF=∠AFE． 【點評】本題利用了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角求解． 　 18．（7分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，∠AOD=60，AB=，AE⊥BD于點E，求OE的長． 【考點】矩形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】矩形對角線相等且互相平分，即OA=OD，根據(jù)∠AOD=60可得△AOD為等邊三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E為OD的中點，即可求OE的值． 【解答】解：∵對角線相等且互相平分， ∴OA=OD ∵∠AOD=60 ∴△AOD為等邊三角形，則OA=AD， BD=2DO，AB=AD， ∴AD=2， ∵AE⊥BD，∴E為OD的中點 ∴OE=OD=AD=1， 答：OE的長度為 1． 【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了等邊三角形的判定和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，本題中求得E為OD的中點是解題的關(guān)鍵． 　 19．（7分）如圖，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點F，連接CE． 求證：四邊形BECD是矩形． 【考點】矩形的判定． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)已知條件易推知四邊形BECD是平行四邊形．結(jié)合等腰△ABC“三線合一”的性質(zhì)證得BD⊥AC，即∠BDC=90，所以由“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”得到?BECD是矩形． 【解答】證明：∵AB=BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD=CD． ∵四邊形ABED是平行四邊形， ∴BE∥AD，BE=AD， ∴BE=CD， ∴四邊形BECD是平行四邊形． ∵BD⊥AC， ∴∠BDC=90， ∴?BECD是矩形． 【點評】本題考查了矩形的判定．矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形． 　 20．（8分）如圖，已知點D在△ABC的BC邊上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求證：AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由． 【考點】菱形的判定． 【專題】證明題． 【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出AE=DF； （2）先根據(jù)已知中的兩組平行線，可證四邊形DEFA是?，再利用AD是角平分線，結(jié)合AE∥DF，易證∠DAF=∠FDA，利用等角對等邊，可得AE=DF，從而可證?AEDF實菱形． 【解答】證明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF， 同理∠DAE=∠FDA， ∵AD=DA， ∴△ADE≌△DAF， ∴AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，四邊形AEDF是菱形， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四邊形AEDF是平行四邊形， ∴∠DAF=∠FDA． ∴AF=DF． ∴平行四邊形AEDF為菱形． 【點評】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情況． 　 21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC． （1）求證：OE=OF； （2）若BC=2，求AB的長． 【考點】矩形的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)矩形的對邊平行可得AB∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角邊”證明△AOE和△COF全等，再根據(jù)全等三角形的即可得證； （2）連接OB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BO⊥EF，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OB，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠BAC=∠ABO，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠ABO=30，即∠BAC=30，根據(jù)直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再利用勾股定理列式計算即可求出AB． 【解答】（1）證明：在矩形ABCD中，AB∥CD， ∴∠BAC=∠FCO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE=OF； （2）解：如圖，連接OB， ∵BE=BF，OE=OF， ∴BO⊥EF， ∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90， 由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可知：OA=OB=OC， ∴∠BAC=∠ABO， 又∵∠BEF=2∠BAC， 即2∠BAC+∠BAC=90， 解得∠BAC=30， ∵BC=2， ∴AC=2BC=4， ∴AB===6． 【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半，綜合題，但難度不大，（2）作輔助線并求出∠BAC=30是解題的關(guān)鍵． 　 22．（8分）正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF=45．將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到△DCM． （1）求證：EF=FM； （2）當AE=1時，求EF的長． 【考點】正方形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90，由∠EDF=45，得到∠MDF為45，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出EF=MF； （2）由第一問的全等得到AE=CM=1，正方形的邊長為3，用AB﹣AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設(shè)EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長． 【解答】解：（1）證明：∵△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90得到△DCM， ∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180， ∴F、C、M三點共線， ∴DE=DM，∠EDM=90， ∴∠EDF+∠FDM=90， ∵∠EDF=45， ∴∠FDM=∠EDF=45， 在△DEF和△DMF中， ， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF=MF； （2）設(shè)EF=MF=x， ∵AE=CM=1，且BC=3， ∴BM=BC+CM=3+1=4， ∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x， ∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2， 在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2， 即22+（4﹣x）2=x2， 解得：x=， 則EF=． 【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化及方程的思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵． 　 23．（8分）已知，如圖1，BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點G． （1）求證：△BCE≌△DCF； （2）求CF的長； （3）如圖2，在AB上取一點H，且BH=CF，若以BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標系，問在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的P點坐標；若不存在，說明理由． 【考點】正方形的性質(zhì)． 【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，由全等三角形的判定定理SAS即可證得△BCE≌△DCF； （2）通過△DBG≌△FBG的對應(yīng)邊相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得； （3）分三種情況分別討論即可求得． 【解答】（1）證明：如圖1， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）； （2）證明：如圖1， ∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的對角線， ∴∠EBC=∠DBC=22.5， 由（1）知△BCE≌△DCF， ∴∠EBC=∠FDC=22.5（全等三角形的對應(yīng)角相等）； ∴∠BGD=90（三角形內(nèi)角和定理）， ∴∠BGF=90； 在△DBG和△FBG中， ， ∴△DBG≌△FBG（ASA）， ∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的對應(yīng)邊相等）， ∵BD==， ∴BF=， ∴CF=BF﹣BC=﹣1； （3）解：如圖2，∵CF=﹣1，BH=CF ∴BH=﹣1， ①當BH=BP時，則BP=﹣1， ∵∠PBC=45， 設(shè)P（x，x）， ∴2x2=（﹣1）2， 解得x=1﹣或﹣1+， ∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）； ②當BH=HP時，則HP=PB=﹣1， ∵∠ABD=45， ∴△PBH是等腰直角三角形， ∴P（﹣1，﹣1）； ③當PH=PB時，∵∠ABD=45， ∴△PBH是等腰直角三角形， ∴P（，）， 綜上，在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形，所有符合條件的P點坐標為（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）． 【點評】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 第22頁（共22頁）