山東省濱州市2019中考數學 第三章 函數 第六節(jié) 二次函數的綜合應用要題隨堂演練.doc
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二次函數的綜合應用 要題隨堂演練 1．(xx日照中考)如圖，已知點A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)在拋物線y＝ax2＋bx＋c上． (1)求拋物線解析式； (2)在直線BC上方的拋物線上求一點P，使△PBC面積為1； (3)在x軸下方且在拋物線對稱軸上，是否存在一點Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q點坐標；若不存在，說明理由． 2．(xx萊蕪中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三點，D為直線BC上方拋物線上一動點，DE⊥BC于E. (1)求拋物線的函數解析式； (2)如圖1，求線段DE長度的最大值； (3)如圖2，設AB的中點為F，連接CD，CF，是否存在點D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由． 圖1 圖2 3．(xx自貢中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3過A(1，0)，B(－3，0)，直線AD交拋物線于點D，點D的橫坐標為－2，點P(m，n)是線段AD上的動點． (1)求直線AD及拋物線的解析式； (2)過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q，求線段PQ的長度l與m的關系式，m為何值時，PQ最長？ (3)在平面內是否存在整點(橫、縱坐標都為整數)R，使得P，Q，D，R為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由． 參考答案 1．解：(1)把點A(－1，0)，B(3，0)，C(0，1)代入y＝ax2＋bx＋c 得解得 ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋1. (2)∵B(3，0)，C(0，1)，∴直線BC的解析式為y＝－x＋1. 理由：如圖，過點P作PE⊥x軸于點E，交BC于點D. 設P(x，－x2＋x＋1)，則D(x，－x＋1)， ∴PD＝－x2＋x＋1－(－x＋1)＝－x2＋x， ∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝PD(xB－xC) ＝(－x2＋x)(3－0)＝－x2＋x. 又∵S△PBC＝1，∴－x2＋x＝1，∴x2－3x＋2＝0， 解得x1＝1，x2＝2，∴P1(1，)，P2(2，1)． (3)存在． 如圖，∵A(－1，0)，C(0，1)，∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45. ∵∠BAC＝∠BQC，∴∠BQC＝45， ∴點Q為△ABC外接圓與拋物線對稱軸在x軸下方的交點． 設△ABC外接圓圓心為M. ∵線段AC的垂直平分線為直線y＝－x，線段AB的垂直平分線為直線x＝1， ∴點M為直線y＝－x與直線x＝1的交點，即M(1，－1)， ∴∠BMC＝2∠BQC＝90. 又∵MQ＝MB＝R＝，∴yQ＝－(1＋)＝－1－. ∵Q在直線x＝1上，∴xQ＝1，∴Q(1，－1－)． 2．解：(1)由已知得解得 ∴y＝－x2＋x＋3. (2)設直線BC的解析式為y＝kx＋b， ∴解得 ∴y＝－x＋3. 設D(a，－a2＋a＋3)，(0
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