2020版高考數學一輪復習 大題專項突破 高考大題專項6 高考中的概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 文 北師大版.doc

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高考大題專項六　高考中的概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 1.(2019屆河北唐山摸底考試,18)某廠分別用甲、乙兩種工藝生產同一種零件,尺寸在[223,228]內(單位:mm)的零件為一等品,其余為二等品.在兩種工藝生產的零件中,各隨機抽取10個,其尺寸的莖葉圖如圖所示: (1)分別計算抽取的兩種工藝生產的零件尺寸的平均數; (2)已知甲工藝每天可生產300個零件,乙工藝每天可生產280個零件,一等品利潤為30元/個,二等品利潤為20元/個.視頻率為概率,試根據抽樣數據判斷采用哪種工藝生產該零件每天獲得的利潤更高? 2.我國是世界上嚴重缺水的國家,城市缺水問題較為突出,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個合理的居民月用水量標準x(單位:噸),用水量不超過x的部分按平價收費,超過x的部分按議價收費,為了了解全市市民月用水量的分布情況,通過抽樣,獲得了100位居民某年的月用水量(單位:噸),將數據按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖. (1)求直方圖中a的值; (2)已知該市有80萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數,并說明理由; (3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(單位:噸),估計x的值,并說明理由. 3.(2019屆廣西南寧、玉林、貴港等摸底考試,18)某地區(qū)某農產品近幾年的產量統(tǒng)計如表: 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 年份代碼t 1 2 3 4 5 6 年產量y(萬噸) 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 (1)根據表中數據,建立y關于t的線性回歸方程y=bt+a; (2)根據線性回歸方程預測2019年該地區(qū)該農產品的年產量. 附:對于一組數據(t1,y1),(t2,y2),…,(tn,yn),其回歸直線y=bt+a的斜率和截距的最小二乘估計分別為:b=∑i=1n(ti-t)(yi-y)∑i=1n(ti-t)2,a=y-b.(參考數據:∑i=16(ti-)(yi-y)=2.8,計算結果保留小數點后兩位) 4.為響應陽光體育運動的號召,某縣中學生足球活動正如火如荼地開展,該縣為了解本縣中學生的足球運動狀況,根據性別采取分層抽樣的方法從全縣24 000名中學生(其中男生14 000人,女生10 000人)中抽取120名,統(tǒng)計他們平均每天足球運動的時間,如下表:(平均每天足球運動的時間單位為小時,該縣中學生平均每天足球運動的時間范圍是[0,3]) 男生平均每天足球運動的時間分布情況: 平均每天足球運動的時間 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3] 人數 2 3 28 22 10 x 女生平均每天足球運動的時間分布情況: 平均每天足球運動的時間 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3] 人數 5 12 18 10 3 y (1)請根據樣本估算該校男生平均每天足球運動的時間(結果精確到0.1); (2)若稱平均每天足球運動的時間不少于2小時的學生為“足球健將”.低于2小時的學生為“非足球健將”. ①請根據上述表格中的統(tǒng)計數據填寫下面22列聯(lián)表,并通過計算判斷,能否有90%的把握認為是否為“足球健將”與性別有關? 足球健將 非足球健將 總計 男生 女生 總計 ②若在足球活動時間不足1小時的男生中抽取2名代表了解情況,求這2名代表都是足球運動時間不足半小時的概率. 參考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d. P(χ2>k0) 0.10 0.05 0.010 k0 2.706 3.841 6.635 5.(2019屆湖南長沙雅禮中學一模,19)某校決定為本校上學所需時間不少于30分鐘的學生提供校車接送服務.為了解學生上學所需時間,從全校600名學生中抽取50人統(tǒng)計上學所需時間(單位:分鐘),將600人隨機編號為001,002,…,600,抽取的50名學生上學所需時間均不超過60分鐘,將上學所需時間按如下方式分成六組,第一組上學所需時間在[0,10),第二組上學所需時間在[10,20),…,第六組上學所需時間在[50,60],得到各組人數的頻率分布直方圖,如下圖: (1)若抽取的50個樣本是用系統(tǒng)抽樣的方法得到,且第一個抽取的號碼為006,則第五個抽取的號碼是多少? (2)若從50個樣本中屬于第四組和第六組的所有人中隨機抽取2人,設他們上學所需時間分別為a、b,求滿足|a-b|>10的事件的概率; (3)設學校配備的校車每輛可搭載40名學生,請根據抽樣的結果估計全校應有多少輛這樣的校車? 6.在國際風帆比賽中,成績以低分為優(yōu)勝,比賽共11場,并以最佳的9場成績計算最終的名次.在一次國際風帆比賽中,前7場比賽結束后,排名前8位的選手積分如下表: 運動員 比賽場次 總分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 3 2 2 2 4 2 6 21 B 1 3 5 1 10 4 4 28 C 9 8 6 1 1 1 2 28 D 7 8 4 4 3 1 8 35 E 3 12 5 8 2 7 5 42 F 4 11 6 9 3 6 8 47 G 10 12 12 8 12 10 7 71 H 12 12 6 12 7 12 12 73 (1)根據表中的比賽數據,比較A與B的成績及穩(wěn)定情況; (2)從前7場平均分低于6.5的運動員中,隨機抽取2個運動員進行興奮劑檢查,求至少1個運動員平均分不低于5分的概率; (3)請依據前7場比賽的數據,預測冠亞軍選手,并說明理由. 7.(2019屆四川成都石室中學入學考試,19)某服裝店對過去100天其實體店和網店的銷售量(單位:件)進行了統(tǒng)計,制成頻率分布直方圖如下: (1)若將上述頻率視為概率,已知該服裝店過去100天的銷售中,實體店和網店銷售量都不低于50件的概率為0.24,求過去100天的銷售中,實體店和網店至少有一邊銷售量不低于50件的天數; (2)若將上述頻率視為概率,已知該服裝店實體店每天的人工成本為500元,門市成本為1 200元,每售出一件利潤為50元,求該門市一天獲利不低于800元的概率; (3)根據銷售量的頻率分布直方圖,求該服裝店網店銷售量中位數的估計值(精確到0.01). 8.(2019屆貴州銅仁一中一聯(lián),19)貴州省銅仁第一中學為弘揚優(yōu)良傳統(tǒng),展示80年來的辦學成果,特舉辦“建校80周年教育成果展示月”活動.現在需要招募活動開幕式的志愿者,在眾多候選人中選取100名志愿者,為了在志愿者中選拔出節(jié)目主持人,現按身高分組,得到的頻率分布表如圖所示. 頻率分布直方圖 組號 分組 頻數 頻率 第1組 [160,165) 5 0.05 第2組 [165,170) 0.35 第3組 [170,175) 第4組 [175,180) 20 0.20 第5組 [180,185) 10 合計 100 1.00 (1)請補充頻率分布表中空白位置相應數據,再完成下列頻率分布直方圖; (2)為選拔出主持人,決定在第3、4、5組中用分層抽樣抽取6人上臺,求第3、4、5組每組各抽取多少人? (3)在(2)的前提下,主持人會在上臺的6人中隨機抽取2人表演詩歌朗誦,求第3組至少有一人被抽取的概率. 9.(2018寧夏銀川一中二模,19)某水產品經銷商銷售某種鮮魚,售價為每千克20元,成本為每千克15元.銷售宗旨是當天進貨當天銷售.如果當天賣不出去,未售出的全部降價處理完,平均每千克損失3元.根據以往的銷售情況,按[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[ 400,500]進行分組,得到如圖所示的頻率分布直方圖. (1)根據頻率分布直方圖計算該種鮮魚日需求量的平均數x(同一組中的數據用該組區(qū)間中點值代表); (2)該經銷商某天購進了300千克這種鮮魚,假設當天的需求量為x千克(0≤x≤500),利潤為Y元.求Y關于x的函數關系式,并結合頻率分布直方圖估計利潤Y不小于700元的概率.  高考大題專項六　高考中的概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 1.解 (1)x甲=110(217+218+222+225+226+227+228+231+233+234)=226.1; x乙=110(218+219+221+224+224+225+226+228+230+232)=224.7. (2)由抽取的樣本可知,應用甲工藝生產的產品為一等品的概率為25,二等品的概率為35,故采用甲工藝生產該零件每天獲得的利潤: w甲=3002530+3003520=7 200元; 應用乙工藝生產的產品為一等品、二等品的概率均為12,故采用乙工藝生產該零件每天獲得的利潤: w乙=2801230+2801220=7 000元. 因為w甲>w乙,所以采用甲工藝生產該零件每天獲得的利潤更高. 2.解 (1)由頻率分布直方圖,可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)0.5=1,解得a=0.30. (2)由頻率分布直方圖可知,100位居民每人月用水量不低于3噸的頻率為(0.12+0.08+0.04)0.5=0.12, 由以上樣本頻率分布,可以估計全市80萬居民中月均用水量不低于3噸的人數為800 0000.12=96 000. (3)∵前6組的頻率之和為(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)0.5=0.88>0.85, 而前5組的頻率之和為(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)0.5=0.73<0.85, ∴2.5≤x<3. 由0.3(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9, 因此,估計月用水量標準為2.9噸時,85%的居民每月的用水量不超過標準. 3.解 (1)由題意可知:t=1+2+3+4+5+66=3.5, y=6.6+6.7+7+7.1+7.2+7.46=7, ∑i=16(ti-t)2=(-2.5)2+(-1.5)2+(-0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.5, ∴b=∑i=16(ti-t)(yi-y)∑i=16(ti-t)2=2.817.5=0.16. 又a=y-bt=7-0.163.5=6.44, ∴y關于t的線性回歸方程為y^=0.16t+6.44. (2)由(1)可得,當年份為2019年時,年份代碼t=8,此時y=0.168+6.44=7.72,所以可預測2019年該地區(qū)該農產品的年產量約為7.72萬噸. 4.解 (1)∵男生抽取的人數為12014 00014 000+10 000=70,女生抽取人數為120-70=50,∴x=5,y=2, ∴該校男生平均每天足球運動的時間約為0.252+0.753+1.2528+1.7522+2.2510+2.75570≈1.6(小時). (2)①由表格可知 足球健將 非足球健將 總計 男生 15 55 70 女生 5 45 50 總計 20 100 120 ∴χ2=120(1545-555)2201005070≈2.743>2.706, ∴有90%的把握認為是否為“足球健將”與性別有關; ②記不足半小時的兩人為a,b,足球運動時間在[0.5,1)內的3人為1,2,3,則總的基本事件有10個,取2名代表都是足球運動時間不足半小時的是(a,b),故所求概率為110. 5.解 (1)60050=12,第一段的號碼為006, 第五段抽取的數是6+(5-1)12=54,即第五段抽取的號碼是054. (2)第四組人數=0.0081050=4,設這4人分別為A、B、C、D, 第六組人數=0.0041050=2,設這2人分別為x,y, 隨機抽取2人的可能情況是: AB　 AC　 AD　BC　BD　CD　xy Ax　Ay　Bx　By　Cx　Cy　Dx　Dy, 一共有15種情況,其中他們上學所需時間滿足|a-b|>10的情況有8種, 所以滿足|a-b|>10的事件的概率為815. (3)全校上學所需時間不少于30分鐘的學生約有: 600(0.008+0.008+0.004)10=120人, 所以估計全校需要3輛校車. 6.解 (1)由表格中的數據,我們可以分別求出運動員A和B前7場比賽積分的平均數和方差,作為度量兩運動員比賽的成績及穩(wěn)定性的依據. 運動員A的平均分x1=1721=3, 方差s12=17[(3-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(6-3)2]=2; 運動員B的平均分x2=1728=4, 方差s22=17[(1-4)2+(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(10-4)2+(4-4)2+(4-4)2]=8, 從平均分和積分的方差來看,運動員A的平均積分及積分的方差都比運動員B的小, 也就是說,在前7場比賽過程中,運動員A的成績較為優(yōu)秀,且表現也較為穩(wěn)定. (2)表中平均分低于6.5分的運動員共有5個,其中平均分低于5分的運動員有3個, 平均分不低于5分且低于6.5分的運動員有2個, 從這5個數據中任取2個,基本事件總數n=10,從3個運動員中任取2人的事件數為3, 至少1個運動員平均分不低于5分的對立事件是取到的兩人的平均分都低于5分,所以至少1個運動員平均分不低于5分的概率P=1-310=710. (3)盡管此時還有4場比賽沒有進行,但這里我們可以假設每位運動員在各自的11場比賽中發(fā)揮的水平大致相同,因而可以把前7場比賽的成績看作總體的一個樣本,并由此估計每位運動員最后的成績,從已結束的7場比賽的積分來看,運動員A的成績最為出色,而且表現最為穩(wěn)定,故預測A運動員獲得最后的冠軍,而運動員B和C平均分相同,但運動員C得分整體呈下降趨勢,所以預測運動員C將獲得亞軍. 7.解 (1)由題意,網店銷售量不低于50件共有(0.068+0.046+0.010+0.008)5100=66(天),實體店銷售量不低于50件的天數為(0.032+0.020+0.0122)5100=38(天),實體店和網店銷售量都不低于50件的天數為1000.24=24(天), 故實體店和網店至少有一邊銷售量不低于50件的天數為66+38-24=80(天). (2)由題意,設該實體店一天售出x件,則獲利為50x-1 700≥800?x≥50. 設該實體店一天獲利不低于800元為事件A,則 P(A)=P(x≥50)=(0.032+0.020+0.012+0.012)5=0.38. 故該實體店一天獲利不低于800元的概率為0.38. (3)因為網店銷售量頻率分布直方圖中,銷售量低于50件的直方圖面積為 (0.004+0.020+0.044)5=0.34<0.5, 銷售量低于55件的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044+0.068)5=0.68>0.5, 故網店銷售量的中位數的估計值為 50+0.5-0.340.345≈52.35(件). 8.解 (1)第二組的頻數為1000.35=35,故第三組的頻數為100-5-35-20-10=30,故第三組的頻率為0.3,第五組的頻率為0.1,補全后的頻率分布表為: 組號 分組 頻數 頻率 第一組 [160,165) 5 0.05 第二組 [165,170) 35 0.35 第三組 [170,175) 30 0.3 第四組 [175,180) 20 0.2 第五組 [180,185) 10 0.1 合計 100 1 頻率分布直方圖為: 頻率分布直方圖 (2)第3組、第4組、第5組的頻率之比為3∶2∶1,故第3組、第4組、第5組抽取的人數分別為3,2,1. (3)設第3組中抽取的三人為A1,A2,A3,第4組中抽取的兩人為B1,B2,第5組中抽取的一人為C,則6人中任意抽取2人,所有的基本事件如下: A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,A1C,A2C,A3C,B1C,B2C, 故第3組中至少有1人被抽取的概率為1215=45. 9.解 (1)x=500.001 0100+1500.002 0100+2500.003 0100+3500.002 5100+4500.001 5100=265. (2)當日需求量不低于300千克時,利潤Y=(20-15)300=1 500(元); 當日需求量不足300千克時,利潤Y=(20-15)x-(300-x)3=8x-900(元); 故Y=8x-900,0≤x<300,1 500,300≤x<500. 由Y≥700,得200≤x≤500, 所以P(Y≥700)=P(200≤x≤500) =0.003 0100+0.002 5100+0.001 5100=0.7.