2018-2019高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體 1.2.1 中心投影與平行投影 1.2.2 空間幾何體的三視圖學(xué)案 新人教A版必修2.doc

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1.2.1 中心投影與平行投影 1.2.2 空間幾何體的三視圖 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解中心投影和平行投影.2.能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖.3.能識(shí)別三視圖所表示的立體模型． 知識(shí)點(diǎn)一　投影的概念 (1)定義：由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影． (2)投影線：光線． (3)投影面：留下物體影子的屏幕． 知識(shí)點(diǎn)二　投影的分類(lèi) 投影 定義 特征 分類(lèi) 中心投影 光由一點(diǎn)向外散射形成的投影 投影線交于一點(diǎn) 平行投影 在一束平行光線照射下形成的投影 投影線平行 正投影和斜投影 知識(shí)點(diǎn)三　三視圖 (1)定義 (2)三視圖的畫(huà)法規(guī)則 ①正、俯視圖都反映物體的長(zhǎng)度——“長(zhǎng)對(duì)正”； ②正、側(cè)視圖都反映物體的高度——“高平齊”； ③俯、側(cè)視圖都反映物體的寬度——“寬相等”． (3)三視圖的排列順序：先畫(huà)正視圖，側(cè)視圖在正視圖的右邊，俯視圖在正視圖的下邊． 1．直線的平行投影是直線．() 2．圓柱的正視圖與側(cè)視圖一定相同．() 3．球的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都相同．(√) 類(lèi)型一　中心投影與平行投影 例1　下列說(shuō)法正確的是(　　) A．矩形的平行投影一定是矩形 B．平行投影與中心投影的投影線均互相平行 C．兩條相交直線的投影可能平行 D．如果一條線段的平行投影仍是一條線段，那么這條線段中點(diǎn)的投影必是這條線段投影的中點(diǎn) 考點(diǎn)　平行投影 題點(diǎn)　判斷平行投影的結(jié)果及應(yīng)用 答案　D 解析　平行投影因投影線的方向變化而不同，因而平行投影的形狀不固定，故A不正確．平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)，故B不正確．無(wú)論是平行投影還是中心投影，兩條直線的交點(diǎn)都在兩條直線的投影上，因而兩條相交直線的投影不可能平行，故C不正確．兩條線段的平行投影長(zhǎng)度的比等于這兩條線段長(zhǎng)度的比，故D正確． 反思與感悟　(1)判斷一個(gè)幾何體的投影是什么圖形，先分清楚是平行投影還是中心投影，投影面的位置如何，再根據(jù)平行投影或中心投影的性質(zhì)來(lái)判斷． (2)畫(huà)出一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，如頂點(diǎn)、端點(diǎn)等，方法是先畫(huà)出這些關(guān)鍵點(diǎn)的投影，再依次連接各投影點(diǎn)即可得出此圖形在該平面上的投影． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖1所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，C1D1的中點(diǎn)，G是正方形BCC1B1的中心，則四邊形AGFE在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是圖2中的________．(填序號(hào)) 考點(diǎn)　平行投影 題點(diǎn)　判斷平行投影的結(jié)果及應(yīng)用 答案?、佗冖? 解析　要畫(huà)出四邊形AGFE在該正方體的各個(gè)面上的投影，只需畫(huà)出四個(gè)頂點(diǎn)A，G，F(xiàn)，E在每個(gè)面上的投影，再順次連接即得到在該面上的投影，并且在兩個(gè)平行平面上的投影是相同的． 在平面ABCD和平面A1B1C1D1上的投影是圖①；在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的投影是圖②；在平面ABB1A1和平面DCC1D1上的投影是圖③. 類(lèi)型二　三視圖的識(shí)別與畫(huà)法 例2　將正方體(如圖(1)所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖(2)所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 考點(diǎn)　多面體的三視圖 題點(diǎn)　多面體的三視圖 答案　B 解析　顯然從左邊看到的是一個(gè)正方形，因?yàn)楦罹€AD1可見(jiàn)，所以用實(shí)線表示；而割線B1C不可見(jiàn)，所以用虛線表示．故選B. 反思與感悟　根據(jù)空間幾何體的直觀圖找三視圖可以直接進(jìn)行，找正視圖就從正面看過(guò)去，找側(cè)視圖就從左邊向右邊看去，找俯視圖就從上面向下面看去．注意能看到的部分用實(shí)線表示，不能看到的部分用虛線表示． 跟蹤訓(xùn)練2　一幾何體的直觀圖如圖所示，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是________．(填序號(hào)) 考點(diǎn)　多面體的三視圖 題點(diǎn)　多面體的三視圖 答案?、? 解析　該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個(gè)五面體，下面是一個(gè)長(zhǎng)方體，且五面體的一個(gè)面即為長(zhǎng)方體的一個(gè)面，五面體最上面的棱的兩端點(diǎn)在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此填②. 例3　畫(huà)出如圖所示的幾何體的三視圖． 考點(diǎn)　多面體的三視圖 題點(diǎn)　棱錐的三視圖 解　正四棱錐的三視圖如圖所示， 考點(diǎn)　簡(jiǎn)單組合體的三視圖 題點(diǎn)　其他柱、錐、臺(tái)、球組合的三視圖 解　 反思與感悟　畫(huà)三視圖的注意事項(xiàng)： (1)務(wù)必做到長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊． (2)三視圖的安排方法是正視圖與側(cè)視圖在同一水平位置，且正視圖在左，側(cè)視圖在右，俯視圖在正視圖的正下方． (3)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫(huà)法． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖是同一個(gè)圓柱的不同放置，陰影面為正面，分別畫(huà)出它們的三視圖． 考點(diǎn)　旋轉(zhuǎn)體的三視圖 題點(diǎn)　圓柱的三視圖 解　三視圖如圖所示． (1)　　　　　　　　　　(2) 　　　　 類(lèi)型三　由三視圖還原幾何體 例4　(1)說(shuō)出下面的三視圖表示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征． 考點(diǎn)　多面體的三視圖 題點(diǎn)　棱臺(tái)的三視圖 解　幾何體為三棱臺(tái)，結(jié)構(gòu)特征如下圖： (2)根據(jù)以下三視圖想象物體原形，并畫(huà)出物體的實(shí)物草圖． 考點(diǎn)　簡(jiǎn)單組合體和三視圖 題點(diǎn)　其他柱、錐、臺(tái)、球組成的三視圖 解　此幾何體上面為圓臺(tái)，下面為圓柱，所以實(shí)物草圖如圖所示． 反思與感悟　(1)通過(guò)正視圖和側(cè)視圖確定是柱體、錐體還是臺(tái)體．若正視圖和側(cè)視圖為矩形，則原幾何體為柱體；若正視圖和側(cè)視圖為等腰三角形，則原幾何體為錐體；若正視圖和側(cè)視圖為等腰梯形，則原幾何體為臺(tái)體． (2)通過(guò)俯視圖確定是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，若俯視圖為多邊形，則原幾何體為多面體；若俯視圖為圓，則原幾何體為旋轉(zhuǎn)體． 跟蹤訓(xùn)練4　某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是什么？它的高與底面面積分別是多少？ 考點(diǎn)　多面體的三視圖 題點(diǎn)　棱錐的三視圖 解　由三視圖可知，該幾何體為三棱錐(如圖)， AC＝4，BD＝3，高為2.S△ABC＝ACBD＝43＝6. 1．一條直線在平面上的平行投影是(　　) A．直線 B．點(diǎn) C．點(diǎn)或直線 D．線段 考點(diǎn)　平行投影 題點(diǎn)　平行投影的判斷 答案　C 解析　當(dāng)投影線與該直線平行時(shí)直線的平行投影為一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)投影線與該直線不平行時(shí)，直線的平行投影為一條直線． 2．將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 考點(diǎn)　簡(jiǎn)單組合體的三視圖 題點(diǎn)　切割形成幾何體的三視圖 答案　D 解析　從左往右看，主體的輪廓是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方體的對(duì)角線可以看見(jiàn)，且該對(duì)角線是從左下角往右上角傾斜的． 3．一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是(　　) A．球 B．三棱錐 C．圓柱 D．正方體 考點(diǎn)　旋轉(zhuǎn)體的三視圖 題點(diǎn)　圓柱的三視圖 答案　C 解析　球的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖均為圓，且形狀相同，大小相等；三棱錐的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖可以為全等的三角形；正方體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖均為正方形，且形狀相同，大小相等；圓柱的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖不可能形狀相同，故選C. 4．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(　　) 考點(diǎn)　由三視圖還原實(shí)物圖 題點(diǎn)　其他柱、錐、臺(tái)、球組合的三視圖還原實(shí)物圖 答案　D 解析　由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同，且上部分是一個(gè)矩形，矩形中間無(wú)實(shí)線和虛線，因此俯視圖不可能是D. 5．有一個(gè)正三棱柱(俯視圖為正三角形)的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱柱的高和底面邊長(zhǎng)分別為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　多面體的三視圖 題點(diǎn)　棱柱的三視圖 答案　2,4 解析　由正三棱柱三視圖中的數(shù)據(jù)，知三棱柱的高為2，底面邊長(zhǎng)為2＝4. 1．三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫(huà)出的輪廓線，畫(huà)幾何體三視圖的要求是正視圖、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正，正視圖、側(cè)視圖高平齊，俯視圖、側(cè)視圖寬相等，前后對(duì)應(yīng)，畫(huà)出的三視圖要檢驗(yàn)是否符合“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的基本特征． 2．畫(huà)組合體的三視圖的步驟 特別提醒：畫(huà)幾何體的三視圖時(shí)，能看見(jiàn)的輪廓線和棱用實(shí)線表示，看不見(jiàn)的輪廓線和棱用虛線表示． 一、選擇題 1．已知△ABC，選定的投影面與△ABC所在平面平行，則經(jīng)過(guò)中心投影后所得的三角形與△ABC(　　) A．全等 B．相似 C．不相似 D．以上都不正確 考點(diǎn)　中心投影 題點(diǎn)　中心投影的判斷與應(yīng)用 答案　B 解析　中心投影的投影線交于一點(diǎn)，幾何體在這種投影下的形狀相似． 2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BB1，BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的投影為(　　) 考點(diǎn)　平行投影 題點(diǎn)　判斷平行投影的結(jié)果及應(yīng)用 答案　A 解析　點(diǎn)D在平面ADD1A1上的投影為點(diǎn)D，點(diǎn)M在平面ADD1A1上的投影為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)N在平面ADD1A1上的投影為DA的中點(diǎn)，連接三點(diǎn)可知A正確． 3．如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 考點(diǎn)　多面體的三視圖 題點(diǎn)　棱錐的三視圖 答案　D 解析　在各自的三視圖中，①正方體的三個(gè)視圖都相同；②圓錐有兩個(gè)視圖相同；③三棱臺(tái)的三個(gè)視圖都不同；④正四棱錐有兩個(gè)視圖相同． 4．一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一角，如圖所示，關(guān)于它的三視圖，下列畫(huà)法正確的是(　　) 考點(diǎn)　簡(jiǎn)單組合體的三視圖 題點(diǎn)　切割形成幾何體的三視圖 答案　A 解析　由于去掉一角后，出現(xiàn)了一個(gè)小三角形的面．正視圖中，長(zhǎng)方體上底面和右邊側(cè)面上的三角形的兩邊的正投影分別和矩形的兩邊重合，故A對(duì)，B錯(cuò)；側(cè)視圖中的線應(yīng)是虛線，故C錯(cuò)；俯視圖中的線應(yīng)是實(shí)線，故D錯(cuò)． 5．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是(　　) 考點(diǎn)　由三視圖還原實(shí)物圖 題點(diǎn)　其他柱、錐、臺(tái)、球組合的三視圖還原實(shí)物圖 答案　D 解析　由俯視圖是圓環(huán)可排除A，B，C，進(jìn)一步將三視圖還原為幾何體，可得選項(xiàng)D. 6．如圖所示為一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，則其對(duì)應(yīng)的幾何體是(　　) 考點(diǎn)　簡(jiǎn)單組合體的三視圖 題點(diǎn)　切割形成幾何體的三視圖 答案　A 解析　對(duì)于A，該幾何體的三視圖恰好與已知圖形相符，故A符合題意；對(duì)于B，該幾何體的正視圖的矩形中，對(duì)角線是虛線，故不符合題意；對(duì)于C，該幾何體的正視圖的矩形中，對(duì)角線應(yīng)該是從左上到右下的方向，故不符合題意；對(duì)于D，該幾何體的側(cè)視圖的矩形中，對(duì)角線應(yīng)該是虛線，且方向也不對(duì)，故不符合題意．故選A. 7．已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．若三棱柱的正視圖(如圖所示)的面積為8，則側(cè)視圖的面積為(　　) A．8 B．4 C．4 D．2 考點(diǎn)　多`面體的三視圖 題點(diǎn)　棱柱的三視圖 答案　C 解析　設(shè)該三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為a，則2a＝8，所以a＝4，該三棱柱的側(cè)視圖是一個(gè)矩形，一邊長(zhǎng)為4，另一邊長(zhǎng)等于三棱柱底面等邊三角形的高，即為，所以側(cè)視圖的面積為4，故選C. 8．一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是面積為1的正方形，則這個(gè)幾何體的俯視圖一定不是(　　) 考點(diǎn)　由三視圖還原實(shí)物圖 題點(diǎn)　其他柱、錐、臺(tái)、球組合的三視圖還原實(shí)物圖 答案　B 解析　由于原幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是面積為1的正方形，所以對(duì)于A，原幾何體為三棱柱；對(duì)于B，一定不能滿足其正視圖和側(cè)視圖都是面積為1的正方形；對(duì)于C，原幾何體為正方體；對(duì)于D，原幾何體如圖所示． 二、填空題 9.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐P－ABC的正視圖與側(cè)視圖的面積的比值為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　多面體的三視圖 題點(diǎn)　棱錐的三視圖 答案　1 解析　依題意得三棱錐P－ABC的正視圖與側(cè)視圖分別是一個(gè)三角形，且這兩個(gè)三角形的一條邊長(zhǎng)都等于正方體的棱長(zhǎng)，這條邊上的高也都等于正方體的棱長(zhǎng)，因此三棱錐P－ABC的正視圖與側(cè)視圖的面積的比值為1. 10．一個(gè)幾何體的三視圖所示，則該幾何體是________． 考點(diǎn)　旋轉(zhuǎn)體的三視圖 題點(diǎn)　圓臺(tái)的三視圖 答案　圓臺(tái) 11．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　簡(jiǎn)單組合體的三視圖 題點(diǎn)　其他柱、錐、臺(tái)、球組合的三視圖 答案　4＋ 解析　依題意得幾何體的側(cè)視圖面積為22＋2＝4＋. 12．已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同(其中AB＝AC，四邊形BCDE為矩形)，則該組合體的俯視圖可以是圖中的________．(把你認(rèn)為所有正確圖形的序號(hào)都填上) 考點(diǎn)　簡(jiǎn)單組合體的三視圖 題點(diǎn)　其他柱、錐、臺(tái)、球組合的三視圖 答案?、佗冖邰? 解析　由正視圖和側(cè)視圖可知幾何體為錐體和柱體的組合體． (1)若幾何體為圓柱與圓錐的組合體，則俯視圖為③； (2)若幾何體為棱柱與圓錐的組合體，則俯視圖為④； (3)若幾何體為棱柱與棱錐的組合體，則俯視圖為①； (4)若幾何體為圓柱與棱錐的組合體，則俯視圖為②. 三、解答題 13．畫(huà)出下列幾何體的三視圖． 考點(diǎn)　多面體的三視圖 題點(diǎn)　棱柱的三視圖 解　題圖①為正六棱柱，可按棱柱的畫(huà)法畫(huà)出，其三視圖如圖a；題圖②為一個(gè)圓錐與一個(gè)圓臺(tái)的組合體，按圓錐、圓臺(tái)的三視圖畫(huà)出它們的組合形狀，其三視圖如圖b. 　　 四、探究與拓展 14．已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于(　　) A．1 B. C. D. 考點(diǎn)　多面體的三視圖 題點(diǎn)　棱柱的三視圖 答案　C 解析　由正方體的俯視圖是面積為1的正方形可知，正方體的正視圖面積的取值范圍為[1，]，故選C. 15．一個(gè)物體由幾塊相同的正方體組成，其三視圖如圖所示，試據(jù)圖回答下列問(wèn)題： (1)該物體有多少層？ (2)該物體的最高部分位于哪里？ (3)該物體一共由幾個(gè)小正方體構(gòu)成？ 考點(diǎn)　由三視圖還原實(shí)物圖 題點(diǎn)　由立(長(zhǎng))方體組合的三視圖還原實(shí)物圖 解　(1)該物體一共有兩層，從正視圖和側(cè)視圖都可以看出來(lái)． (2)該物體最高部分位于左側(cè)第一排和第二排． (3)從側(cè)視圖及俯視圖可以看出，該物體前后一共三排，第一排左側(cè)2個(gè)，右側(cè)1個(gè)；第二排左側(cè)2個(gè)，右側(cè)沒(méi)有；第三排左側(cè)1個(gè)，右側(cè)1個(gè)．該物體一共由7個(gè)小正方體構(gòu)成．