高中數(shù)學 2.6平面向量數(shù)量積的坐標表示課件 北師大版必修4.ppt

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6平面向量數(shù)量積的坐標表示 1 平面向量的數(shù)量積 模 夾角 垂直的坐標表示 1 數(shù)量積的坐標表示 設向量a x1 y1 b x2 y2 則a b 2 模 夾角 垂直的坐標表示 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 2 直線的方向向量 1 定義 與直線l 的非零向量m稱為直線l的方向向量 2 性質 給定斜率為k的直線l的一個方向向量為m 共線 1 k 1 判一判 正確的打 錯誤的打 1 兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和 2 兩個向量a與b的夾角公式適用于任何向量a b 3 兩個向量的數(shù)量積小于零 兩個向量的夾角一定為鈍角 4 斜率為2的直線l的一個方向向量為 2 1 解析 1 1 正確 兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和 2 錯誤 該公式適用于非零向量a與b 3 錯誤 兩個向量的夾角為180 時 兩個向量的數(shù)量積也小于零 4 錯誤 一個方向向量為 1 2 答案 1 2 3 4 2 做一做 請把正確的答案寫在橫線上 1 已知a 則 a 2 已知a 2 1 b 1 2 則向量a與b的關系為 3 已知a 1 3 b 2 5 則a b 4 已知a 3 0 b 5 5 則a與b的夾角為 解析 1 a 答案 2 2 a b 2 1 2 0 所以a b 答案 a b 3 a b 1 2 3 5 17 答案 17 4 設兩向量a與b的夾角為 則cos 又 0 所以 答案 要點探究 知識點1數(shù)量積 模 夾角 垂直的坐標表示1 數(shù)量積的坐標表示的實質與特點 1 實質 是將向量運算轉化為代數(shù)運算 它使得數(shù)量積的計算更為方便 簡單 2 特點 等于兩個向量相應坐標乘積的和 2 向量模的坐標運算的實質a x y 則在平面直角坐標系中 一定存在點A x y 使得 a x y 所以 a 即 a 為點A到原點的距離 3 向量的夾角的坐標表示 1 來源 數(shù)量積公式的一個變形 2 適用范圍 由向量坐標計算夾角的一個公式 僅適用于兩個非零向量 3 夾角的取值范圍的確定 x1x2 y1y2的取值符號確定 角的取值范圍 其中當x1x2 y1y2 0時 0 當x1x2 y1y2 0時 當x1x2 y1y2 0時 知識拓展 1 投影的坐標表示設a x1 y1 b x2 y2 夾角為 則向量a在非零向量b方向上的投影的坐標表示為 a cos 2 兩點間的距離公式若A x1 y1 B x2 y2 則AB x2 x1 y2 y1 所以即平面直角坐標系中任意兩點間的距離公式 由此可知向量模的運算實質即為平面直角坐標系中兩點間距離的運算 微思考 1 利用數(shù)量積的坐標運算?？山鉀Q哪些問題 提示 利用數(shù)量積的坐標運算常可解決以下問題 求距離 求向量的模 求向量的夾角 證明兩向量垂直 或判斷圖形形狀等 求點的坐標及求參數(shù)的值等問題 2 兩個非零向量a x1 y1 b x2 y2 a b與a b的坐標表示有何區(qū)別 提示 若a b x1y2 x2y1 即x1y2 x2y1 0 若a b x1x2 y1y2 0 前者為兩坐標交叉積的差等于0 而后者為相應坐標的積的和等于0 兩個結論不能混淆 可以對比學習 分別記憶 即時練 已知向量a 1 2 b 3 2 則a b a b a b a與b的夾角的余弦值是 解析 a b 1 3 2 2 1 因為a b 2 4 a b 4 0 所以 a b a b cos a b 答案 知識點2直線的方向向量對直線的方向向量的兩點說明 1 個數(shù) 一條直線的方向向量有無數(shù)個 2 長度 方向向量的長度沒有限制 微思考 1 直線y kx b的方向向量是什么 提示 a 1 k 2 直線Ax By C 0 A B 0 的一個方向向量是否是提示 是 即時練 已知直線l1 3x y 2 0和l2 x 2y 1 0 求l1與l2的夾角 解析 不妨取直線l1和l2的方向向量分別為m 1 3 n 設向量m與n的夾角為 從而cos 所以 45 即直線l1和l2的夾角為45 題型示范 類型一數(shù)量積的坐標運算 典例1 1 已知向量a 1 1 b 2 x 若a b 1 則x 2 2014 渭南高一檢測 已知向量a與b同向 b 1 2 a b 10 求向量a的坐標 求a a b a b a b 若c 2 1 求 b c a 解題探究 1 已知向量的數(shù)量積如何用坐標法求未知向量的坐標 2 計算 a b a b 的方法有哪些 探究提示 1 利用向量數(shù)量積的坐標表示構造方程求得未知向量的坐標即可 2 直接展開或先分別求a b與a b的坐標 再計算 自主解答 1 a b 1 1 2 x 2 x 1 x 1 答案 1 2 因為a與b同向 又因為b 1 2 所以a b 2 0 又因為a b 10 所以1 2 2 10 解得 2 0 所以a 2 4 方法一 因為a b 2 4 1 2 3 6 a b 2 4 1 2 1 2 所以a a b 2 3 4 6 30 a b a b 3 1 6 2 15 方法二 因為a2 22 42 20 a b 10 b2 12 22 5 所以a a b a2 a b 20 10 30 a b a b a2 b2 20 5 15 因為b c 1 2 2 1 0 所以 b c a 0 a 0 延伸探究 在本題 2 的條件下求 3a b a 2b 解析 方法一 因為a 2 4 b 1 2 所以3a b 6 12 1 2 5 10 a 2b 2 4 2 4 4 8 所以 3a b a 2b 5 4 10 8 100 方法二 因為a b 10 a2 20 b2 5 所以 3a b a 2b 3a2 5a b 2b2 3 20 5 10 2 5 100 方法技巧 數(shù)量積坐標運算的符號 1 進行數(shù)量積運算時 要正確使用公式a b x1x2 y1y2 并能靈活運用以下幾個關系 a 2 a a a b a b a 2 b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 2 利用數(shù)量積的條件求平面向量的坐標 一般來說應當先設出向量的坐標 然后根據(jù)題目中已知的條件找出向量坐標滿足的等量關系 利用數(shù)量積的坐標運算列出方程組來進行求解 3 形如 ma nb ka eb m n k e R 的坐標運算 有兩條途徑 其一 展開轉化為a2 a b b2的坐標運算 其二 先求ma nb與ka eb的坐標 再運算 變式訓練 1 已知a 4 3 b 5 6 則3 a 2 4a b 解析 3 a 2 4a b 75 8 83 答案 83 2 a 4 7 b 5 2 則a b a 2a 3b a 2b 解析 a b 20 14 6 a 2a 3b a 2b 2 4 7 3 5 2 4 7 2 5 2 23 8 6 11 138 88 50 答案 補償訓練 已知2a b 4 3 a 2b 3 4 求a b的值 解析 由已知可得 4a 2b 8 6 所以 4a 2b a 2b 8 6 3 4 5 10 即5a 5 10 所以a 1 2 從而b 2a b 2a 4 3 2 4 2 1 所以a b 1 2 2 1 0 類型二向量的夾角與垂直問題 典例2 1 2013 山東高考 在平面直角坐標系xOy中 已知 1 t 2 2 若 ABO 90 則實數(shù)t的值為 2 已知c ma nb a與c垂直 b與c的夾角為120 且b c 4 a 求實數(shù)m n的值及a與b的夾角 解題探究 1 兩向量垂直如何用坐標表示 2 求向量的夾角的關鍵是什么 探究提示 1 x1x2 y1y2 0 2 求兩個向量的夾角的關鍵是確定兩個向量的數(shù)量積和兩個向量的模 再利用公式求得夾角的余弦值 進而確定角的大小 自主解答 1 2 2 1 t 3 2 t 因為 ABO 90 所以所以 0 3 2 2 2 t 0 所以t 5 答案 5 2 因為a與c垂直 所以a c 0 又因為c ma nb 所以c c ma c nb c 所以12 4 4n 所以n 4 因為b c b c cos120 所以 4 b 4 所以 b 2 所以a c ma2 4a b 0 a 所以a b 2m 又b c m a b 4b2 4 所以 4 2m2 16 所以m2 6 所以m 當m 時 a b cos 又 0 所以 當m 時 a b 所以cos 又 0 所以 綜上所述 當m n 4時 當m n 4時 方法技巧 利用數(shù)量積求兩向量夾角的步驟 變式訓練 1 2014 湖北高考 設向量a 3 3 b 1 1 若 a b a b 則實數(shù) 解析 因為a b 3 3 a b 3 3 因為 a b a b 所以 3 3 3 3 0 解得 3 答案 3 誤區(qū)警示 解題時要明確知道 a b a b 的充要條件是 a b a b 0 不要與向量平行的充要條件弄混 2 設a 4 3 b 2 1 若a tb與b的夾角為45 求實數(shù)t的值 解題指南 由條件求出 a tb b及 a tb b 代入兩向量的夾角公式求解 解析 a tb 4 3 t 2 1 4 2t t 3 a tb b 4 2t t 3 2 1 5t 5 a tb 由 a tb b a tb b cos45 得5t 5 即t2 2t 3 0 所以t 3或t 1 經檢驗t 3不合題意 舍去 所以t 1 補償訓練 已知點A 2 2 B 4 1 O為坐標原點 P為x軸上一動點 當取最小值時 求向量與的夾角的余弦值 解析 設點P x 0 則所以 x 2 x 4 2 1 x2 6x 10 x 3 2 1 所以當x 3時 取最小值1 此時 2 2 3 0 1 2 4 1 3 0 1 1 所以所以cos APB 類型三數(shù)量積的坐標表示的綜合應用 典例3 1 2013 福建高考 在四邊形ABCD中 若 1 2 4 2 則該四邊形的面積為 2 2014 淮南高一檢測 已知 ABC頂點的直角坐標分別為A 3 4 B 0 0 C c 0 若c 5 求sinA的值 若A是鈍角 求c的取值范圍 解題探究 1 向量與垂直嗎 2 A是哪兩個向量的夾角 探究提示 1 因為所以2 向量與的夾角 自主解答 1 選C 因為所以AC BD是互相垂直的對角線 所以 2 3 4 c 3 4 當c 5時 2 4 所以cosA 所以sinA 若A為鈍角 則 3 c 3 16 0且與不共線 解得c 顯然此時和不共線 故當A為鈍角時 c的取值范圍為 方法技巧 三角形或四邊形形狀的判定 1 可先求各邊對應的向量及模 看各邊長度關系 2 再求它們兩兩的數(shù)量積 從而判定其內角是否為銳角 直角 鈍角 四邊形還可以從對角線對應的向量入手 變式訓練 直角坐標系xOy中 2 1 3 k 若 ABC是直角三角形 則k的可能值個數(shù)是 A 1B 2C 3D 4 解題指南 根據(jù) ABC是直角三角形求k時 應分AB AC AB BC和AC BC三種情況討論 解析 選B 若 A 90 則 6 k 0 k 6 若 B 90 則k 1 若 C 90 則 k2 k 3 0無解 所以綜上 k可能取 6 1兩個數(shù) 補償訓練 在四邊形ABCD中 6 1 x y 2 3 1 求x與y的關系式 2 若有求x y的值及四邊形ABCD的面積 解析 1 因為 6 1 x y 2 3 x 4 y 2 所以 x 4 2 y 又 x y 所以x 2 y y x 4 0 即x 2y 0 2 因為 6 1 x y x 6 y 1 x y 2 3 x 2 y 3 且所以即 x 6 x 2 y 1 y 3 0 又由 1 的結論x 2y 0 所以 6 2y 2y 2 y 1 y 3 0 化簡得y2 2y 3 0 所以y 3或y 1 當y 3時 x 6 于是有所以所以S四邊形ABCD 同理y 1時 x 2 于是有所以所以S四邊形ABCD 即或S四邊形ABCD 16 規(guī)范解答 平面向量數(shù)量積坐標表示的綜合應用 典例 12分 2014 蕪湖高一檢測 已知O為坐標原點 A 3 0 B 0 3 C cos sin 1 若求cos2 sin2 2 若且 0 求夾角的大小 審題 抓信息 找思路 解題 明步驟 得高分 點題 警誤區(qū) 促提升失分點1 若在 處將平面向量數(shù)量積 模 夾角的坐標表示錯誤 實際考試中至多得6分 失分點2 若在 處忽視 1 的代換 則無法進一步將 弦 化為 切 實際考試中至多得10分 失分點3 若在 處由三角函數(shù)值求角 忽視了角的范圍 則導致求角出錯或過程不嚴謹 實際考試中扣1至2分 悟題 提措施 導方向1 記準平面向量數(shù)量積 模 夾角的坐標表示解答向量問題 必須要記清 用準常用公式 如本例中數(shù)量積 向量的模和向量夾角公式的應用要準確 2 幾何問題轉化為坐標運算解答向量問題要注意認真審題 恰當?shù)貙⑾蛄康淖鴺诉\算與向量加 減 數(shù)乘 數(shù)量積的定義和幾何意義結合起來分析問題 如本例中根據(jù)轉化為坐標關系 類題試解 2013 江蘇高考 已知a cos sin b cos sin 0 1 若 a b 求證 a b 2 設c 0 1 若a b c 求 的值 解析 1 由題意得 a b 2 2 即 a b 2 a2 2a b b2 2 又因為a2 b2 a 2 b 2 1 所以2 2a b 2 即a b 0 故a b 2 因為a b cos cos sin sin 0 1 所以由此得 cos cos 由0 得0 又0 故 代入sin sin 1得 sin sin 而 所以